王華本，鹿建銀，史先桂，朱良月

（安徽新華學(xué)院，安徽合肥230088）

IT創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班卡諾圖的教學(xué)研究與分析

王華本，鹿建銀，史先桂，朱良月

（安徽新華學(xué)院，安徽合肥230088）

本文介紹了卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理，方法和步驟，指出用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)在分析和設(shè)計(jì)邏輯電路中的靈活應(yīng)用.

數(shù)字電路；卡諾圖；化簡(jiǎn)方法；邏輯函數(shù)

安徽新華學(xué)院從2010年開始，依托于省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目：IT服務(wù)外包應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)成立了IT創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班，以下稱為特色班，也就是計(jì)算機(jī)課程教學(xué)改革的先鋒班，如果改革成功了，以后計(jì)算機(jī)的課程改革就水到渠成了，在這種大環(huán)境的支撐下，各門課程開始打破傳統(tǒng)的教學(xué)方法，本文以《數(shù)字邏輯》電路中卡諾圖的教學(xué)方法改革為例來探討卡諾圖的教學(xué).

卡諾圖是一種重要的化簡(jiǎn)工具，廣泛應(yīng)用于數(shù)字邏輯電路，是貫穿整個(gè)數(shù)字邏輯電路的核心內(nèi)容，如果不能熟練靈活地掌握，對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)很大的障礙.在學(xué)習(xí)卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)候，要注意總結(jié)得到規(guī)律，從而簡(jiǎn)化整個(gè)學(xué)習(xí)過程.卡諾圖化簡(jiǎn)法不需要特殊的技巧,也不必熟記各種邏輯代數(shù)公式,只要遵循一定的規(guī)則就能得到化簡(jiǎn)結(jié)果.而代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)即沒有固定的方法和步驟，也沒有函數(shù)式是否化到最簡(jiǎn)的判別方法，就像是在黑暗中摸索，很難掌握其中的技巧.卡諾圖又稱為K圖，是以圖形化的形式表現(xiàn)出來的，它是類似于真值表的一種表示，這里要求變量的排列一定要按格雷碼排列，相鄰代碼之間只能有一個(gè)變?cè)?，目的是作為一?duì)互反變量消去.整個(gè)化簡(jiǎn)過程是在圖中操作的，直觀地表示出來結(jié)果，操控性很強(qiáng)，用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的優(yōu)越性就可以充分地體現(xiàn)出來，利用卡諾圖可以快速化簡(jiǎn)邏輯函數(shù).并且很容易判斷函數(shù)是否是最簡(jiǎn)式.

1 卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理

要想把知識(shí)熟練地掌握，必須能夠?qū)ぴ淳康?，把其?nèi)部的實(shí)質(zhì)挖掘出來，學(xué)習(xí)卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法也是同樣的道理.卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種更直接、簡(jiǎn)單、明了的圖形化表示.其根源一是變量排列遵循循環(huán)碼，循環(huán)碼是按照鏡面映射原理來分布的；二是消去相鄰項(xiàng)變量；三是相鄰項(xiàng)包括物理相鄰和邏輯相鄰，這里的相鄰是指卡諾圖的相鄰小方格只要一個(gè)變?cè)?一個(gè)邏輯函數(shù)的卡諾圖就是將此函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中的各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入一個(gè)方格圖內(nèi)，這里面要注意的是每個(gè)小方格上面變量的排列遵循格雷碼的，此方格圖稱為卡諾圖.卡諾圖的構(gòu)造特點(diǎn)使卡諾圖具有一個(gè)重要性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項(xiàng)，并消去互反變量.

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理：主要是利用卡諾圖的相鄰性，對(duì)相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行合并，以消去互反變量.若是有2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并，可以消去1個(gè)變量；若是4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并，可以消去2個(gè)變量；若是8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并，可以消去3個(gè)變量.總之，若是2 n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)合并，則可以消去n個(gè)變量.卡諾圖的相鄰性包括三重含義：第一是緊挨相鄰也就是最小項(xiàng)是實(shí)實(shí)在在的相鄰，有時(shí)候也可以理解為物理相鄰；第二是相對(duì)相鄰，因?yàn)榭ㄖZ圖上面的變量排列是遵循格雷碼的，所以卡諾圖上面相對(duì)的最小項(xiàng)是相鄰的，有時(shí)候也可稱為邏輯相鄰；第三是相重相鄰，如果把整個(gè)卡諾圖進(jìn)行折疊的話，能夠重合的，稱為相重相鄰，也可以稱之為邏輯相鄰.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)關(guān)鍵就是找相鄰項(xiàng)，并進(jìn)行合并已達(dá)到消互反變量的目的.

2 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)步驟

如果要想利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，必須先把邏輯關(guān)系等效轉(zhuǎn)換到卡諾圖中，然后才能利用卡諾圖的規(guī)律進(jìn)行函數(shù)的化簡(jiǎn)，也就是把邏輯依據(jù)和圖形特征結(jié)合起來，通過把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個(gè)簡(jiǎn)單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)的目的.現(xiàn)在分為四個(gè)步驟來描述用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的具體過程.

2.1 畫卡諾圖

根據(jù)給定的邏輯函數(shù)確定變量的個(gè)數(shù)，然后畫出相應(yīng)的卡諾圖，注意卡諾圖上變量的排列一定遵循格雷碼，也就是相鄰代碼之間只有一個(gè)變?cè)嬁ㄖZ圖關(guān)鍵就是要邏輯關(guān)系對(duì)等到卡諾圖中.

方法一：將真值表中F=1的項(xiàng)轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)的小方格中；

方法二：將邏輯函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式，如（1）式為原函數(shù)表達(dá)式：

把F先化為標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式，如（2）式所示：

方法三：用補(bǔ)齊因子或觀察法填寫卡諾圖中對(duì)應(yīng)的小方格.

先用補(bǔ)齊因子的方法填寫卡諾圖，如式（3）所示：

然后再根據(jù)觀察法可以直接填寫卡諾圖.這種方法比較簡(jiǎn)單，千萬注意變量的排列要按照循環(huán)碼的規(guī)則來進(jìn)行.

2.2 找相鄰項(xiàng)

第一種相鄰：緊挨相鄰，就是把物理上相鄰的最小項(xiàng)先找到，也就是實(shí)實(shí)在在的相鄰.也可以認(rèn)為是物理上相鄰.

第二種相鄰：相對(duì)相鄰，即卡諾圖中某行或某列的兩頭的最小項(xiàng)；也可以認(rèn)為是邏輯上相鄰.

第三種相鄰：相重相鄰，即對(duì)折起來位置重合的最小項(xiàng).可以認(rèn)為是邏輯上相鄰.

2.3 畫卡諾圈

對(duì)卡諾圖中有“1”的方格畫相鄰區(qū)域圈并遵循畫圈的三條規(guī)則：

規(guī)則一：“多”，即每個(gè)卡諾圈中所包圍的小方格的個(gè)數(shù)要越多越好，因?yàn)樵蕉嗾f明可以合并的變量的個(gè)數(shù)也就越多，函數(shù)每一項(xiàng)的變量也就越少，即函數(shù)表達(dá)式也就越簡(jiǎn)單.這里面的“多”是有條件限制的，必須要求卡諾圈中所包圍小方格的個(gè)數(shù)一定要是2 n個(gè)；

規(guī)則二：“少”，即卡諾圈的個(gè)數(shù)越少越好，卡諾圈的個(gè)數(shù)越少就說明函數(shù)表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)越少，即函數(shù)表達(dá)式也就越簡(jiǎn)單；

規(guī)則三：“新”，即每個(gè)卡諾圈中必須要有新的最小項(xiàng)被包圍.如果沒有新的最小項(xiàng)被包圍，所畫的卡諾圈實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)冗余圈，對(duì)于化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，我們當(dāng)然以化為最簡(jiǎn)單的函數(shù)為目的的，所以這個(gè)“新”體現(xiàn)了用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)一個(gè)很重要的特性.

畫卡諾圈是使用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)最關(guān)鍵的部分，只要按照上面所總結(jié)的三個(gè)字：“多”“、少”、“新”來畫卡諾圈，應(yīng)該能夠很快速、準(zhǔn)確地畫出最簡(jiǎn)單邏輯函數(shù)的所對(duì)應(yīng)的卡諾圈.

2.4 寫出結(jié)果

將每個(gè)圈中的公有變量因子找出來，得到對(duì)應(yīng)的“與”項(xiàng)，并把各個(gè)圈得到的與項(xiàng)相加起來，便得到化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式.

3 卡諾圖的靈活運(yùn)用

卡諾圖是化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的工具，在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中起到很重要的作用，特別是在設(shè)計(jì)時(shí)序邏輯電路時(shí)候能使電路中各變量之間的關(guān)系變得非常清楚、明了和直觀.

例1 三變量邏輯函數(shù)Y的真值表如表所示，用卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn).

解 (1)畫卡諾圖：

將真值表中F=1的項(xiàng)轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)的小方格中，如圖1所示：

(2)找相鄰項(xiàng)：緊挨相鄰，兩個(gè)最小項(xiàng)；相對(duì)相鄰，包括4個(gè)最小項(xiàng).

圖1 函數(shù)關(guān)系從真值表轉(zhuǎn)到卡諾圖

(3)畫卡諾圈：只要根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系很容易找到最小項(xiàng)，畫卡諾圈也就輕而易舉了.

(4)寫出結(jié)果：按照上面的步驟很容易，寫出最后的化簡(jiǎn)結(jié)果如（4）式，F(xiàn)=+A B（4）

只要按照上面所總結(jié)出的四部曲，很容易化簡(jiǎn)邏輯函數(shù).

例2 將函數(shù)F=∑M(0,2,3,8,9,19,11,14,15)用卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn).

解 (1)畫卡諾圖：將標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式，最小項(xiàng)填1

(2)找相鄰項(xiàng)：緊挨相鄰；相對(duì)相鄰；相重相鄰

(3)畫卡諾圈：如圖2示：

圖2 畫好卡諾圈后卡諾圖

例3 化簡(jiǎn)函數(shù)

解 方法一：先使用分配律，把原式（6）變?yōu)椋?）式

用卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn)，首先用觀察法找到每個(gè)與項(xiàng)，再畫卡諾圈.然后把邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)移到卡諾圖中，發(fā)現(xiàn)最小項(xiàng)包含所有的小方格，很明顯：就是一個(gè)大圈覆蓋16個(gè)小方格，即F=1.

方法二：用代數(shù)法化簡(jiǎn)

兩種方法中可以比較出用卡諾圖進(jìn)行化簡(jiǎn)：簡(jiǎn)單、快速、準(zhǔn)確，并且很容易判斷出化簡(jiǎn)后的函數(shù)是不是最簡(jiǎn)單的，很容易判斷結(jié)果的對(duì)錯(cuò)；公式法化簡(jiǎn)繁瑣，一直在黑暗中摸索，最后函數(shù)是不是最簡(jiǎn)單的不容易判斷出，可以看出公式法化簡(jiǎn)的弊端很明顯地體現(xiàn)出來了.下面我們討論在設(shè)計(jì)組合邏輯電路中的使用卡諾圖的優(yōu)勢(shì).

例4 根據(jù)如表1所示真值表，設(shè)計(jì)一個(gè)組合邏輯電路，其中A、B為輸入；X、Y為輸出；C為控制端.

表1 真值表

(1)畫卡諾圖：很容易把表1中的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)移到卡諾圖中.

(2)寫函數(shù)表達(dá)式：寫出標(biāo)準(zhǔn)的與或邏輯表達(dá)式如式（9）（10）所示：

(3)用卡諾圖化簡(jiǎn)：再根據(jù)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟很容易得出最簡(jiǎn)式（11）、（12）

(4)設(shè)計(jì)電路：最后根據(jù)用卡諾圖化簡(jiǎn)所得到的最簡(jiǎn)邏輯函數(shù)（11）（12），畫出最后的組合邏輯電路圖.

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)候，我們是有一套規(guī)則的，但在實(shí)際使用的時(shí)候，不能機(jī)械地按規(guī)則來，而是根據(jù)實(shí)際情況靈活使用，如下面我們來設(shè)計(jì)實(shí)際時(shí)序邏輯電路用卡諾圖化簡(jiǎn)時(shí)候就要同時(shí)考慮到JK觸發(fā)器的特征方程，要能找到所化簡(jiǎn)的觸發(fā)器的次態(tài)方程與特征方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是盲目地按規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn).

例5 用JK觸發(fā)器設(shè)計(jì)一個(gè)按自然態(tài)序變化的7進(jìn)制同步加法計(jì)數(shù)器.

解 根據(jù)題意畫整體卡諾圖，如圖3所示：

從整體卡諾圖中可以分離出四個(gè)單張卡諾圖，分別是三個(gè)觸發(fā)器Q0、Q1、Q2和一個(gè)輸出Y，根據(jù)四個(gè)單張卡諾圖很容易寫出函數(shù)表達(dá)式（13）（14），這里特別注意的是寫函數(shù)表達(dá)式（13）時(shí)候一定要和JK觸發(fā)器的特征方程（15）要一一對(duì)應(yīng)，目的是為得出每個(gè)觸發(fā)器的驅(qū)動(dòng)方程如式（16）所示.最后我們根據(jù)式（14）（16）就可以很容易畫出題

圖3 整體卡諾圖

目所要求的電路圖.

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)越于用代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)，卡諾圖較直觀，明了，而代數(shù)法煩瑣，稍微不留神，很容易出錯(cuò).但是用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)也有局限性，當(dāng)變量個(gè)數(shù)大于6時(shí)，畫圖以及對(duì)圖形的識(shí)別都變得相當(dāng)復(fù)雜.通常情況下，用卡諾圖對(duì)5變量以下的函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)尤其得心應(yīng)手.當(dāng)然卡諾圖在其他方面還有更廣泛的應(yīng)用，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中應(yīng)該好好體會(huì).

4 結(jié)語(yǔ)

卡諾圖化簡(jiǎn)法又稱為圖形化簡(jiǎn)法.卡諾圖化簡(jiǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀，有一定的化簡(jiǎn)步驟可循，不易出錯(cuò)，且容易化到最簡(jiǎn)并使得解題過程更迅速,更準(zhǔn)確,更方便,使原本較復(fù)雜的問題得到簡(jiǎn)化.因而用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)在實(shí)際分析與設(shè)計(jì)電路中得到了廣泛的應(yīng)用.在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)候，一定要善于總結(jié)，用自己的語(yǔ)言簡(jiǎn)明扼要的進(jìn)行概述，這樣所學(xué)知識(shí)才能變?yōu)殪`活應(yīng)用.

〔1〕秦曾煌.電工學(xué)（第六版）——電子技術(shù)（下冊(cè)）[M].高等教育出版社.

〔2〕唐介.電工學(xué)[M].高等教育出版社.

〔3〕葉挺秀.電工電子學(xué)[M].高等教育出版社.

〔4〕孫駱生.電工學(xué)基本教程（第三版）（下冊(cè)）[M].高等教育出版社.

〔5〕閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社.

G712

A

1673-260X（2013）03-0232-03

項(xiàng)目來源：安徽新華學(xué)院省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目：IT服務(wù)外包應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)(2009zcpys01)