沈衛(wèi)國

（《區(qū)域供熱》雜志編輯部，北京 100026）

一、基礎(chǔ)微積分導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)中的“貝克萊悖論”

眾所周知，牛頓等在微積分導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程中，會(huì)產(chǎn)生所謂“貝克萊悖論”。就以最簡單的二次函數(shù)y＝x2為例，牛頓等對(duì)其導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)步驟為：

令Δx→0，則有

見圖1所示。圖中B點(diǎn)沿曲線趨近A點(diǎn)，并重合。這時(shí)產(chǎn)生一個(gè)問題：當(dāng)Δx→0而Δx≠0時(shí)，式（1）等號(hào)右邊的Δx≠0，最后結(jié)果2x顯然得不到；但當(dāng)Δx＝0時(shí)，數(shù)學(xué)中分母不能為0，此式為“不定式”，是非法的。此即著名的“貝克萊悖論”。

圖1

二、傳統(tǒng)微積分理論中對(duì)“貝克萊悖論”的解決方案及其問題

微積分在牛頓、萊布尼茨時(shí)代，不甚注重嚴(yán)格性。推導(dǎo)中的粗疏和不嚴(yán)格之處并未引起多大注意。只是在貝克萊提出這個(gè)著名悖論后，方才引起人們的重視。其后，經(jīng)過歐拉、拉格朗日、波爾查諾、柯西、達(dá)朗貝爾等的工作，終于得到現(xiàn)在已成經(jīng)典的“ε－δ方法”［1］［2］。一般認(rèn)為，這一方法本質(zhì)上是建立在潛無窮觀上的，它允許Δx→0，但Δx≠0，取極限后，用人為“定義”的方法令這個(gè)極限值即為該點(diǎn)的函數(shù)值，以保持函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性。此方法只是表面上消除了牛頓求導(dǎo)方法中的在Δx＝0時(shí)的貝克萊悖論問題。［1］但實(shí)際上，由于此種方法的人為性，它并未給出在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求解過程中，在該點(diǎn)究竟發(fā)生了什么。它號(hào)稱“求出”了某點(diǎn)的某值，又不允許到達(dá)該點(diǎn)而獉只能無限接近，同時(shí)該點(diǎn)函數(shù)之值又被人為“定義”也就是“規(guī)定”出而非求出它剛好能夠（可視為“碰巧”）等于該點(diǎn)所具有的、別的點(diǎn)趨近于它的“極限”值。如此拖泥帶水的方法很不自然，不能令人滿意。比如，文獻(xiàn)［1］中舉的一個(gè)有關(guān)求某點(diǎn)速度的例子，最后得到：

其中Δs為距離增量；Δt為時(shí)間增量；v為某點(diǎn)速度。很顯然，Δs／Δt是有明確的物理意義的，Δt不能等于0。可是在Δt＝0時(shí)的那一瞬間（時(shí)刻），究竟發(fā)生了什么？為什么還會(huì)有、且唯一有精確的、原本只作為Δt→0而Δt≠0的極限存在的v值？這一切都沒有給出令人信服的解釋。我們知道，速度這一概念按傳統(tǒng)理解，為單位時(shí)段物體所運(yùn)動(dòng)的距離。離開了“時(shí)段”概念（無論其多?。?，還能有速度概念嗎？我們所說的或所認(rèn)為的“瞬時(shí)速度”、“某時(shí)刻的速度”，究竟所指為何？難道不是嗎：在Δt＝0時(shí)，即時(shí)間看起來“靜止”時(shí)，Δs的確也只能為0，那么Δs／Δt順理成章地為0／0不是很自然嗎？但如此一來，又明顯違反基本數(shù)學(xué)原則。物理上也解釋不通這個(gè)“瞬間速度”究竟是什么。但多少年來，人們又在毫無顧忌地使用這個(gè)概念?？傊瑔栴}仍舊沒有從根本上被解決和解釋。

還有一個(gè)問題。微積分求導(dǎo)的“現(xiàn)代解釋”中的潛無窮觀點(diǎn)及過程不能自然到達(dá)所求點(diǎn)，只能靠“定義”，而現(xiàn)實(shí)中的運(yùn)動(dòng)、速度，“到達(dá)某點(diǎn)”及經(jīng)過某段路徑都是實(shí)實(shí)在在的，本質(zhì)上是一個(gè)實(shí)無窮過程，這是一個(gè)矛盾?？傊?，現(xiàn)在的微積分理論并不像一些人所聲稱的那樣在邏輯上是“嚴(yán)謹(jǐn)”的，用人為“定義”所求點(diǎn)函數(shù)存在且連續(xù)的不自然的方法，只是在表面上消除 “貝克萊悖論”。我們不應(yīng)忘記，微積分中某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是被牛頓等（推導(dǎo)、計(jì)算）出來的，而不是定義出來的。在這個(gè)意義上，貝克萊悖論并未在根本上被解決，它依然存在。事實(shí)上，如前文所述，即使要用“定義”某點(diǎn)連續(xù)的方式來消除貝克萊悖論，也要事先求出該點(diǎn)極限值，但事實(shí)上存在一個(gè)ε－δ方法潛無窮極限悖論：設(shè)有ε，總有δ，就意味著不可能有到達(dá)Δt＝0之時(shí)，那怎會(huì)知道存在一個(gè)極限？很顯然，這是已知Δt＝0時(shí)函數(shù)之值后才如此說的。而如果事先已知Δt＝0時(shí)函數(shù)有值，為何又偏說到達(dá)不了Δt＝0的位置，只因?yàn)榇藭r(shí)會(huì)出現(xiàn)情況？靠外部定義（如文獻(xiàn)［1］中所言）不能解決（Δt＝0處的）理論問題，它只是權(quán)宜之計(jì)，不是理論推出來的。

也就是說，如果極限值不是求出來的，你怎么會(huì)知道由ε－δ法會(huì)接近它（因ε－δ方法永達(dá)不到它）？而如是求出來的，又會(huì)出現(xiàn)情況，產(chǎn)生悖論，可見此類方法還是很有問題的。

總之，所謂ε－δ方法，實(shí)質(zhì)隱藏了貝克萊悖論。它說的是存在一個(gè)極限，只要對(duì)任何（所有）│xx0│ ＜δ的x，都有│f（x）－A│＜ε，則f（x）在x＝x0處有極限A，但如何保證（證明）對(duì)所有x都有上述極限？你還得認(rèn)為在x＝x6時(shí)函數(shù)已經(jīng)有了A值。A即是如此已經(jīng)被“求得”的，因?yàn)樵谖覀兊玫剑ㄇ蟪觯┐嬖跇O限A的結(jié)論之前，它已經(jīng)存在于│f（x）－A│＜ε的式子中了。也只有如此才能證明ε－δ方法可用。所以這是邏輯循環(huán)，不過只明說一半來“消除”悖論，貝克萊悖論被隱藏起來了。牛頓是同時(shí)令Δx＝0、Δx≠0，而ε－δ方法本質(zhì)上實(shí)際是事先用Δx＝0求出極限（無論人們承認(rèn)與否），再定義其處連續(xù)，然后再令Δx≠0，不承認(rèn)有Δx＝0這回事罷了。固一旦求出Δx＝0的值，再令其為不可達(dá)的極限，再令（定義）其有值（連續(xù)），曾經(jīng)的Δx就不再出現(xiàn)，即Δx＝0與Δx≠0不過是不像牛頓方法那樣出現(xiàn)罷了，這里是不同時(shí)出現(xiàn)，但仍然出現(xiàn)過。它是“潛在”地使用實(shí)無窮，而“實(shí)在”地使用潛無窮罷了。實(shí)無窮并未如所認(rèn)為那樣“徹底出局”，只不過是將貝克萊悖論由顯形式變?yōu)榱穗[形式。

圖2

以上，筆者從函數(shù)極限、連續(xù)性的角度揭示了貝克萊悖論并未像人們宣稱的那樣被消除。實(shí)際上，那還只是一個(gè)間接矛盾。更明確的悖論，是直接從定義、定義域出發(fā)來看問題。我們說，ε－δ方法、極限、函數(shù)的連續(xù)性等本質(zhì)上依賴曲線上二點(diǎn)的方法對(duì)其它函數(shù)都適用，但對(duì)導(dǎo)函數(shù)、對(duì)速度函數(shù)不適用。此點(diǎn)竟被以往論者所未見。這里有一個(gè)直觀的說明，見圖2。一個(gè)直角三角形，設(shè)有直接定義在Δx、Δy之上的函數(shù)即該三角形的兩個(gè)直角邊（或言“長與寬”、“底與高”）之比。在被賦與物理意義后，我們完全可以理解成是速度。顯然，在Δx→0而Δx≠0時(shí)，上述函數(shù)都有定義。無論Δx（進(jìn)而Δy，也就是三角形）多么小。這時(shí)傳統(tǒng)的ε－δ方法當(dāng)然可用。但一旦到達(dá)A點(diǎn)，Δx＝0（Δy＝0），三角形根本不存在了，也就根本談不上已消失了的“三角形的兩個(gè)直角邊之比”了。比如，我們可以設(shè)Δy＝Δx，則在Δx→0時(shí)也如此。在Δx＝0時(shí)，顯然這個(gè)函數(shù)是有其極限的，即極限也等于1。但函數(shù)本身為不定式，說明根本沒有定義。函數(shù)按定義在A點(diǎn)不連續(xù)，因?yàn)榇藭r(shí)三角形已不存在了。所以，我們完全可以根據(jù)此函數(shù)的特殊性（直角三角形二直角邊之比），補(bǔ)充一個(gè)明確的定義：該函數(shù)在A點(diǎn)無值、無定義（或言不確定、定義域不包括A（Δx＝0時(shí)）點(diǎn)）。所以函數(shù)在某點(diǎn)有極限，但完全可以不連續(xù)和沒有確定值，除非重新用定義“令”其有值。但如此一來，則與原定義（定義域）直接矛盾，形成真正意義的邏輯矛盾或悖論。這實(shí)際就是貝克萊悖論的本質(zhì)。可見，所謂的“無定義”有兩種：一種只不過是“缺失”，補(bǔ)充定義即可；另一種則是“公理保障”性的“無定義”，實(shí)際即等價(jià)于“不允許有定義”。如兩條邊的長度比之于三角形的頂點(diǎn)、速度的本源性定義之于某時(shí)刻等等。

因此，傳統(tǒng)上那種認(rèn)為由ε－δ方法，在Δx、Δy之上直接定義也僅由它們的定義之下求出極限，再定義極限點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)有值并連續(xù)的悖論消除法，不但沒有如愿，反倒使矛盾更明確了。

因此，貝克萊悖論完全未被消除，其本質(zhì)并不只是傳統(tǒng)上認(rèn)為的廣義的、大多數(shù)的、一般意義的函數(shù)能否在A點(diǎn)連續(xù)、有極限的問題，而是導(dǎo)數(shù)、速度函數(shù)及更直接地直角三角形的二直角邊之比這個(gè)特殊的函數(shù)，在三角形的頂點(diǎn)A究竟有無定義的問題，也就是一個(gè)定義域包括不包括A點(diǎn)的問題。以往傳統(tǒng)上的ε－δ方法，只是給出了的連續(xù)性問題，但不可能解決導(dǎo)函數(shù)、速度函數(shù)這個(gè)特殊函數(shù)在A點(diǎn)的連續(xù)性問題。如果強(qiáng)行定義，必與原定義直接矛盾。而所謂原定義，就是：導(dǎo)函數(shù)、速度函數(shù)在傳統(tǒng)方法下在A點(diǎn)“無定義”。

以往，這個(gè)“原定義”沒有被明確提出，它僅以隱形式存在，這里我們將其“發(fā)現(xiàn)”并明確提出，作為“補(bǔ)充定義”。它直接與ε－δ方法的導(dǎo)函數(shù)在所求點(diǎn)連續(xù)、有值的“定義”矛盾。由此我們可以看出，所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，并未像人們宣稱的那樣被消除，而只是被掩飾了。它依然存在。

有人認(rèn)為，教學(xué)中學(xué)生在理解ε－δ方法、極限概念及貝克萊悖論的消除上有困難，實(shí)際上，這一點(diǎn)不奇怪。因?yàn)樵趯?dǎo)函數(shù)這一類特殊函數(shù)中，貝克萊悖論實(shí)際根本就未被消除。一個(gè)本身就有破綻的理論，怎么能被人毫無疑問地接受呢？

順便提一下，圖2中A點(diǎn)的“三角形二直角邊的比”（或等價(jià)地“導(dǎo)函數(shù)”、“瞬時(shí)速度”）還可以被定義嗎？以下我們將會(huì)看到，當(dāng)然可以。但這不能由傳統(tǒng)作法那樣用這里的Δx、Δy來得到或定，這個(gè)三角形在A點(diǎn)已經(jīng)收縮成一點(diǎn)了。但它可以由另一個(gè)三角形的直角邊Δx′、Δy′來定義，即以下我們可以看到，如此一個(gè)簡單之極的思路與辦法，是如何最終不但巧妙、而且與現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)、物理世界完全協(xié)調(diào)并極其自然地解決了這個(gè)竟然延續(xù)了如此長時(shí)間的問題（悖論）的。

三、有關(guān)導(dǎo)數(shù)的一種全新求解方式及其與傳統(tǒng)方法的比較

我們?nèi)砸远魏瘮?shù)y＝x2為例。設(shè)其與一直線y＝bx－c有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)，我們求其交點(diǎn)。聯(lián)立二方程，有：

將下式代入上式，則有x2－bx＋c＝0，其通解為：

當(dāng)b2＝4ac時(shí)，直線與曲線y＝x2只有一個(gè)交點(diǎn)（解），為曲線y＝x2的切線，即而b為直線（此時(shí)為切線）的斜率，即

與微積分牛頓方法得到的（1′）式完全一樣。我們?cè)O(shè)Δy′、Δx′為該直線上任意兩點(diǎn)間的縱、橫坐標(biāo)差，則顯然

參見圖3。

圖3

總之，當(dāng)曲線上的Δx＝0時(shí)，切線上的（曲線外的）Δx′完全可以甚至必須不等于0，Δx、Δx′是兩回事，我們要求的實(shí)際是Δx＝0時(shí)的值。這在以往，沒有從根本上搞清楚。至于導(dǎo)的理論解釋將在下文進(jìn)行進(jìn)一步的討論。可以看出，當(dāng)曲線上的Δx≠0時(shí)時(shí)顯然仍有確定值，這就是Δx＝0時(shí)所求的曲線在該點(diǎn)的切線斜率，或該點(diǎn)的“瞬時(shí)速度”?？傊⒉焕頃?huì)Δx是否為0。在Δx為0與不為0時(shí)，它都存在。因此我們完全可以有把握地宣告，這一方法將徹底消除微積分導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)推導(dǎo)中的無窮小量、潛無窮疑難和由之產(chǎn)生的貝克萊悖論。

這是此方法與牛頓等的方法及現(xiàn)代微積分的ε－δ方法的根本區(qū)別，它無需人為“定義”函數(shù)的連續(xù)性等等。對(duì)直線斜率，這里再進(jìn)一步明確證明一下（其實(shí)多余）。

設(shè)：y＝bx＋d，同時(shí)有y＋Δy′＝b（y＋Δx′）＋y，前式代入后式，消去同類項(xiàng)后，得到：

Δy′＝bΔx′，即有

顯然，公式（1）中的無窮小Δx是無法舍棄的，它再小在圖1中也與曲線上二點(diǎn)的連線為同一數(shù)量級(jí)。顯然不要求Δx′、Δy′分別為無窮小量，而是宏觀量。它的意義是此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)突然不再受力時(shí)的直線勻速運(yùn)動(dòng)的速度。總之，定義在曲線與其割線的二個(gè)交點(diǎn)之間的線段的斜率函數(shù)（A函數(shù)，或稱為變速運(yùn)動(dòng)時(shí)實(shí)際存在著的平均速度函數(shù)），是以曲線與其割線的兩個(gè)交點(diǎn)為自變量的復(fù)合函數(shù)，它在這二點(diǎn)重合時(shí)（成為切點(diǎn)）無值。而且它無論與曲線的切線的斜率函數(shù)（B函數(shù)，即瞬時(shí)速度函數(shù)，只以曲線上的一點(diǎn)（切點(diǎn)）為自變量），還是與定義域不受這個(gè)曲線與其割線的兩個(gè)交點(diǎn)的限制并可以過渡到曲線的切線（當(dāng)然只與該曲線交于一點(diǎn)，即切點(diǎn)）的斜率函數(shù)（C函數(shù)，變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的實(shí)際平均速度也就是A函數(shù)的擴(kuò)展函數(shù)，在二或一個(gè)交點(diǎn)時(shí)都適用）根本就不是同一個(gè)函數(shù)，盡管C函數(shù)在大多數(shù)情況下（⊿x≠0時(shí)，即在割線狀態(tài)下時(shí)）與A函數(shù)的數(shù)值一樣。這也是人們長期未能嚴(yán)格區(qū)分它們的原因。這里我們可以十分清晰地看出，傳統(tǒng)理論（無論牛頓、萊布尼茲還是ε－δ法），都是在A函數(shù)下討論問題的，但它們又都認(rèn)為在曲線與其割線的兩個(gè)交點(diǎn)合二為一時(shí)仍有值（這可看成是傳統(tǒng)微積分理論的公理體系及其核心），這直接導(dǎo)致貝克萊悖論，即產(chǎn)生矛盾。而在本文實(shí)際上已經(jīng)提出的微積分的公理體系下（B函數(shù)，特別是C函數(shù)。篇幅所限，不再詳述），則再也不會(huì)產(chǎn)生悖論了。

至此，牛頓等的方法及所謂ε－δ方法對(duì)可導(dǎo)函數(shù)在運(yùn)算上和求實(shí)際問題上是完全可以的，但在理論解釋上有問題的原因已獲澄清。

對(duì)比公式（1）和公式（5）可以看出，牛頓方法中Δx＝0（公式（1））即公式（5）中的，即b2＝4ac，但牛頓實(shí)際求出的是作為切線的直線的斜率而不是Δx＝0時(shí)曲線上割線的清楚此點(diǎn)后，牛頓方法在操作意義上就可以放心使用了。

雖然如此，但實(shí)際我們可以有更易理解的方式。見圖4。此實(shí)際就是中值定理的結(jié)果。我們完全可以不像圖1那樣，令B點(diǎn)趨向A點(diǎn)，曲線的割線旋轉(zhuǎn)，斜率變化。而是沿箭頭方向平推，直線斜率保持不變。A、B點(diǎn)最后匯集于C點(diǎn)（割線變切線）。此時(shí)依賴于曲線上A、B二點(diǎn)作為端點(diǎn)的無意義；但不依賴A、B點(diǎn)作為端點(diǎn)的割線斜率在成為切線后仍有值，而在割線狀態(tài)時(shí)都是平均速度，不過一個(gè)僅限于曲線范圍（定義域僅在曲線定義域內(nèi)），另一個(gè)可以不限于曲線的定義域范圍而已。當(dāng)割線（平均速度）變到切線（瞬時(shí)速度）時(shí)，斜率數(shù)值不變，完全不用考慮什么極限。ε－δ、潛無窮、無窮小等等，這一過程的描述，更能突出本文的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)思想與牛頓法及ε－δ法的本質(zhì)區(qū)別，也更好理解。我們可以理解成是用一個(gè)更直接了當(dāng)?shù)姆绞剑瑥氐邹饤墲摕o窮、無窮小、極限之類的概念，而得到中值定理。當(dāng)然，每一種新的思路與方法，都應(yīng)該能夠解決哪怕是部分原先的理論所解決不了的問題。比如所謂函數(shù)在某點(diǎn)或處的連續(xù)但不可導(dǎo)的問題，分形的不可導(dǎo)問題等，我們應(yīng)認(rèn)為現(xiàn)之所謂的“不可導(dǎo)”，實(shí)際只能是指在牛頓法或ε－δ方法下不可導(dǎo)。這反映了這類方法的局限性。本質(zhì)是：如果求導(dǎo)必須依賴函數(shù)上二點(diǎn)的相互無限接近，當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)附近的振蕩頻率趨于無窮時(shí)，自然找不到導(dǎo)數(shù)所要求的函數(shù)的單值性，所以“不可導(dǎo)”。但在本文提出的思路及方法下，僅只求函數(shù)曲線上一點(diǎn)的切線，只要函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)就應(yīng)該有導(dǎo)數(shù)，原則上也應(yīng)能被求出?；螂m不好求或全部求出，但可證導(dǎo)數(shù)肯定處處存在。就如無理數(shù)無法全部列出，但肯定完備一樣。即如果在某函數(shù)曲線的某點(diǎn)處，函數(shù)“振蕩”次數(shù)趨于無窮，傳統(tǒng)上這當(dāng)然不可導(dǎo)。但既然“允許”函數(shù)趨向某點(diǎn)時(shí)可以“振蕩”無窮次，那其“波長”也應(yīng)被“允許”是趨于無窮小的。雖如此，但其畢竟還是波長，還是連續(xù)的，也就應(yīng)有定義在無窮小區(qū)間上的拐點(diǎn)及其位置處的切線，也就是導(dǎo)數(shù)，除非不承認(rèn)這種無窮次振蕩的函數(shù)存在。此種思想，可能也可用到測度、積分理論上。更深入的研究與討論，完全是可以期待的，本文只是拋磚引玉。

圖4

圖5

四、對(duì)一些基本概念（速度、瞬時(shí)速度、平均速度）的更詳細(xì)、嚴(yán)格的討論

還是先從前文已詳細(xì)討論過的貝克萊悖論開始。如：在二次曲線y＝x2下，有Δy＝2x·Δx＋Δx2，在Δy、Δx→0而不等于0時(shí)，都對(duì)。也可以說Δx決定Δy值。但當(dāng)Δx＝0時(shí)，上式為：0＝2x·0＋x·0，也對(duì)，即縱、橫坐標(biāo)的增量都沒有了，割線的二交點(diǎn)匯集到二次曲線上的一點(diǎn)。但一旦把Δx除到等式左邊的分母上，就有在增量Δx為0時(shí)，2x是什么？不好解釋了。如果我們像牛頓一樣，給Δy、Δx賦與物理意義，這反映了在Δx即時(shí)間增量（進(jìn)程）為0時(shí)，即在某曲線（可理解成有加速運(yùn)動(dòng)）上的增量也自然為0，其比0／0不存在。但該點(diǎn)（瞬時(shí)、時(shí)刻）究竟還有沒有值？（其中Δy′、Δx′；dy′、dx′為切線、割線上的，所涉及的二點(diǎn)與曲線可以無關(guān)且任意，見前文）。顯然，Δx、Δy直接與曲線上的二點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，當(dāng)然都是可以為0（曲線上二點(diǎn)化一點(diǎn)）的，但此時(shí)其比值不成立。中的dy、dx，盡管我們可以認(rèn)為其為無窮小量，但由于前文理由，此時(shí)貝克萊悖論仍存在，即存在一個(gè)等式右邊的無窮小量dx的與等式左邊分母上的無窮小量dx不能同時(shí)舍棄或不舍棄的問題。唯一可以保證邏輯上無問題的，唯有值，它們與曲線上二點(diǎn)直接相關(guān)的Δx、dx等于0與否無關(guān)。它們唯一地決定于曲線上的點(diǎn)而非兩點(diǎn)，即與切線相交的那一點(diǎn)，另一點(diǎn)無論遠(yuǎn)近，都明確在曲線之外、切線之上。而非曲線上“真實(shí)的運(yùn)動(dòng)”。真實(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡與時(shí)間的比為平均速度，而直線（切線）上的斜率處處一樣，自然在該點(diǎn)也一樣。除該點(diǎn)外，與曲線y＝x2無任何關(guān)聯(lián)。這就是曲線上該點(diǎn)的“瞬時(shí)速度”概念，即在Δx＝0時(shí)刻，物理質(zhì)點(diǎn)如突然不再受力，該質(zhì)點(diǎn)將沿該直線（切線）運(yùn)動(dòng)而脫離曲線y＝x2。在這個(gè)意義上，瞬時(shí)速度也是“真實(shí)的”。但如果實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線y＝x2，物理上即是質(zhì)點(diǎn)始終受力，則此時(shí)的“瞬時(shí)速度”，即不是現(xiàn)實(shí)中的速度，因?yàn)榧词挂粋€(gè)無窮小的時(shí)間“進(jìn)程”，也有無窮小的速度增量。加速度及速度增量是無法用令時(shí)間間隔Δx→dx即達(dá)到無窮小而不等于0來徹底消除的。

我們可以十分尖銳地以一個(gè)實(shí)例來揭示此問題：設(shè)一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在某時(shí)刻受到一個(gè)瞬時(shí)力，產(chǎn)生瞬時(shí)加速度（無論是改變運(yùn)動(dòng)方向還是運(yùn)動(dòng)速度），請(qǐng)問，該時(shí)刻（瞬時(shí)）的速度、加速度為何？

由于該質(zhì)點(diǎn)受瞬時(shí)力后，運(yùn)動(dòng)軌跡或其速度矢量圖將出現(xiàn)折線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)即受力點(diǎn)，如圖5。因此，該點(diǎn)的速度是A點(diǎn)后的折線（實(shí)線3），還是A點(diǎn)后的延長線（虛線2）、還是A點(diǎn)前一刻的實(shí)線1？

不徹底搞清“瞬時(shí)速度”、“瞬時(shí)加速度”等概念，此問題別看簡單，卻很難回答。事實(shí)上，此問題在本文之前，別說回答，甚至都未見提出。我們說，在理論上，某絕對(duì)意義的瞬時(shí)、時(shí)刻，只能有一個(gè)物理動(dòng)作、事件發(fā)生。在絕對(duì)意義的該時(shí)刻，不可能又啟動(dòng)施力，又撤消該力。換言之，該“瞬時(shí)力”的撤除或消失，必在理論上的下一時(shí)刻，而無論這一時(shí)段多短。也就是說，既然“產(chǎn)生”、“發(fā)生”屬于這一時(shí)刻了，那“撤除”、“消失”只能屬于下一時(shí)刻?？傊魏瘟?，從產(chǎn)生、存在到消失都必須要有一個(gè)時(shí)段，盡管此時(shí)段在理論上可以無窮小下去，但必存在于兩個(gè)時(shí)刻、兩個(gè)瞬時(shí)之間。一個(gè)絕對(duì)意義的抽象的“脈沖”，只可能屬于一個(gè)抽象意義的時(shí)刻，而一個(gè)時(shí)刻不可能同時(shí)又有、同時(shí)又無脈沖。無脈沖的只能是下一時(shí)刻。在此意義上，圖5的折線實(shí)際放大來看在折點(diǎn)A處是彎曲的，如圖6①，即使力為絕對(duì)意義的、抽象的脈沖（作用時(shí)間間隔為0），也是圖6②的情況。

圖6

總之，A、B分別為不同的時(shí)刻，無論其間隔可以多小，A為開始施力處，B為力的撤消處。如此我們可以看出，所謂A點(diǎn)（時(shí)刻）的“瞬時(shí)加速度”，使其后的B點(diǎn)（時(shí)刻）速度改變或運(yùn)動(dòng)方向改變了，因此A點(diǎn)（時(shí)刻）的瞬時(shí)速度不應(yīng)該是圖中A點(diǎn)后的實(shí)線3了，而只能是實(shí)線1或虛線2，其二者實(shí)際是一回事，只不過解釋稍有不同，即實(shí)線1的解釋是：A點(diǎn)（時(shí)刻）的瞬時(shí)速度，是施力前的質(zhì)點(diǎn)速度；而虛線2的解釋是：A點(diǎn)（時(shí)刻）的瞬時(shí)速度，是在A點(diǎn)如該瞬時(shí)力未實(shí)施時(shí)的A點(diǎn)后的速度。這二種解釋當(dāng)然是同一個(gè)事物的兩面。由此，我們可以看出，在勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于平均速度與瞬時(shí)速度完全一樣，因此盡管本質(zhì)上速度概念要涉及一個(gè)時(shí)間段（再小也要有），因此仍然存在何為“瞬時(shí)速度”的問題，但它被掩蓋了，而且無足輕重。但在變速（加速）運(yùn)動(dòng)時(shí)就完全不一樣了，此問題再也含糊不下去了。否則就會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論。而筆者由一個(gè)新的微積分導(dǎo)數(shù)的求解思路進(jìn)而引伸出的對(duì)瞬時(shí)速度的理解與定義，既可以使無時(shí)間段大小的瞬時(shí)（時(shí)刻）速度在曲線運(yùn)動(dòng)、加速運(yùn)動(dòng)時(shí)有定義（定義在抽象的時(shí)間點(diǎn)即時(shí)刻上，而不是時(shí)間段上（哪怕再?。质顾俣龋ㄈ魏嗡俣?，無論平均、瞬時(shí)、加速、曲線等）的需要一個(gè)時(shí)段的本質(zhì)得以被解釋及說明，而在傳統(tǒng)微積分理論中，此二者是直接矛盾的。所以我們說，傳統(tǒng)微積分的問題，并不僅限于微積分，實(shí)際上它是對(duì)這些基本概念沒有厘清的必然結(jié)果。下面，我們根據(jù)以上分析，給出曲線運(yùn)動(dòng)或有加速度時(shí)的瞬時(shí)速度的一個(gè)完整定義：曲線運(yùn)動(dòng)、加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬時(shí)速度，是指該時(shí)刻如果施于運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的力突然撤消時(shí)的質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度；或在該時(shí)刻一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)突然被施力加速時(shí)，施力加速前一時(shí)刻的速度（對(duì)應(yīng)圖上實(shí)線1）?；?yàn)榕c前一定義統(tǒng)一，我們也可認(rèn)為是如果在該時(shí)刻本應(yīng)施加的力未施加時(shí)的（還未施加就被撤消了）勻速直線運(yùn)動(dòng)速度（對(duì)應(yīng)圖中虛線2）。注意，此時(shí)雖然名為“瞬時(shí)速度”，其本質(zhì)僅是在運(yùn)動(dòng)曲線上該點(diǎn)（瞬時(shí)）的的二點(diǎn)間（二時(shí)刻間）、但此二點(diǎn)在切線上并不固定而可隨意選定的勻速直線運(yùn)動(dòng)速度，此切線的一點(diǎn)與所論曲線相交，另一點(diǎn)無論遠(yuǎn)近，都在所論曲線之外。

以上，我們用曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)在某瞬間突然不受力后的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，來定義該瞬間的“瞬時(shí)速度”。但還應(yīng)回答為什么質(zhì)點(diǎn)在該瞬時(shí)突然不受力，質(zhì)點(diǎn)會(huì)沿切線方向運(yùn)動(dòng)。以下給一證明。

證明曲線上某點(diǎn)上的質(zhì)點(diǎn)如突然不受力，只能沿切線方向運(yùn)動(dòng)：曲線上某點(diǎn)的切線與曲線只有唯一交點(diǎn)。在此點(diǎn)，物理質(zhì)點(diǎn)受力則作曲線運(yùn)動(dòng)，不受力則作切線方向的直線勻速運(yùn)動(dòng)，所以不可能沿其它直線運(yùn)動(dòng)。其它直線，不是與曲線不相交（無關(guān)），就是與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，而后者意味著，一個(gè)沿曲線正向運(yùn)動(dòng)或反向運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，不受力后比始終受力的情況彎折度還大。如圖7，顯然不合理。

圖7

總之，以往的微積分理論之所以會(huì)產(chǎn)生問題，本質(zhì)上就是沒有分清質(zhì)點(diǎn)受力時(shí)的“真實(shí)的”變速運(yùn)動(dòng)與一旦在某時(shí)刻不受力時(shí)質(zhì)點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)（此為該點(diǎn)的瞬時(shí)速度，因始自該點(diǎn)）之間的區(qū)別。幾何直觀上，平均速度在曲線上用二點(diǎn)間的割線表征，只要二點(diǎn)不重合成一點(diǎn)，割線再小也是割線。由于速度隨時(shí)在變（方向、速率），所以僅就“速度”概念而言，此時(shí)在現(xiàn)實(shí)中只能是“平均”的；而二點(diǎn)重合的某時(shí)刻、瞬間的“瞬時(shí)速度”，既然有值，就不會(huì)是在該實(shí)際曲線上現(xiàn)實(shí)發(fā)生的。但速度概念按定義又離不開“時(shí)段”概念，抽象的“點(diǎn)”、時(shí)刻是無“時(shí)段”可言的，于是只能是該點(diǎn)（時(shí)刻）切線上的二點(diǎn)間的斜率，而絕非曲線本身上的二點(diǎn)。以往之所以人們未能意識(shí)到此問題，恐怕還有一個(gè)原因，那就是在不受力的勻速度直線運(yùn)動(dòng)中，平均速度和瞬時(shí)速度在數(shù)值上是一樣的，人們將二者混為一談。延及曲線、變速運(yùn)動(dòng)，就未能嚴(yán)格區(qū)分二者在概念上的絕大差異，因此帶來理解上的困難，以致完全忽視了這個(gè)問題。總之，由筆者此文的分析，在微積分的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)中可以徹底擯棄“無窮小”、“無限接近”、“潛無窮”、“極限”這樣的概念的，并澄清了貝克萊悖論。我們可以再一次以一個(gè)簡單的圖來表示這個(gè)思想（見圖8）。

圖8

我們甚至可以給出一個(gè)證明：瞬時(shí)速度只能是離開曲線的直線（勻速）速度。因：速度或?qū)?shù)定義：既為比值，自然離不開的自變量的不為0，即Δx≠0，否則就有不成立、無定義。但瞬時(shí)速度又必須每點(diǎn)有定義，即在Δx＝0時(shí)有定義。而這與速度的一般定義即要求Δx≠0表觀矛盾。所以只能是在該點(diǎn)與曲線相交的一條直線上的Δx′≠0的速度（在曲線的Δx＝0時(shí)），即有（直線上的），得證。簡而言之，切線與曲線之間，不可能有兩個(gè)以上的交點(diǎn)；而割線和曲線之間，不可能只有一個(gè)交點(diǎn)。而速度按其本源性定義，要求定義線段上的二點(diǎn)以對(duì)應(yīng)區(qū)別于“時(shí)刻”的“時(shí)段”，所以在切點(diǎn)我們所談?wù)摰乃俣?，只能是涉及切線上的二點(diǎn)的。它既不可能涉及曲線上的二點(diǎn)（一如牛頓、ε－δ法那樣），也不可能只涉及曲線上的一點(diǎn)。正確的理解應(yīng)是：它可以定義在曲線的一點(diǎn)上，但必須與切線上的另一點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。即：作為本源性定義，它必須定義在切線上的二點(diǎn)上（定義域）；而作為次生定義，它可以定義在曲線與切線的交點(diǎn)上。但我們必須清楚，作為速度的本源定義只能與一個(gè)時(shí)段相關(guān)聯(lián)。在“時(shí)刻”上并無本源性速度可言，如要給以定義，必須按本文的理解來解釋這一次生的定義才行。

總之，只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，才應(yīng)該有現(xiàn)實(shí)中發(fā)生的速度、瞬時(shí)速度概念。在現(xiàn)實(shí)中發(fā)生的變速、曲線運(yùn)動(dòng)中，嚴(yán)格講應(yīng)該沒有這兩個(gè)概念，只有“平均速度”及“加速度”概念。如果說有，也是在本文定義下的，即需要“實(shí)際”在某點(diǎn)之后脫離曲線的切線上的“線段”的縱、橫坐標(biāo)差之比，也僅在此意義上，我們才可以把這個(gè)東西看成曲線上該點(diǎn)的“瞬時(shí)速度”。它雖然在曲線上每個(gè)點(diǎn)都有值，但不要忘了其“物理”、“現(xiàn)實(shí)”意義究竟是什么。也就是：在點(diǎn)（不是線段）上是無法定義本源性的“速度”的，速度只能是某時(shí)段中質(zhì)點(diǎn)走過的路程與該時(shí)段之比。瞬時(shí)速度是在這一基本定義上派生出來的“次級(jí)定義”，即在某時(shí)刻如不受力，質(zhì)點(diǎn)下一步將以什么樣的速度（勻速）運(yùn)動(dòng)下去。著名的芝諾悖論中的“飛矢不動(dòng)”悖論，也說明這個(gè)問題：時(shí)刻只與位置關(guān)聯(lián)。某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)物體只有某位置?？梢哉f某時(shí)刻到達(dá)某位置，但這不是速度，速度只與“時(shí)段”相關(guān)聯(lián)而非“時(shí)刻”。通常說某“時(shí)刻”的速度，只有指勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)在該時(shí)刻（點(diǎn)）的前一時(shí)段或后一時(shí)段的速度，即該點(diǎn)（時(shí)刻）的到達(dá)速度與離去速度，為該點(diǎn)“瞬時(shí)速度”。而在曲線、加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則為一旦在該時(shí)刻、瞬間質(zhì)點(diǎn)解除所受之力，則下一“時(shí)段”應(yīng)具有的速度為該曲線、加速度在該“時(shí)刻”的瞬時(shí)速度。由于其前一時(shí)段必受力（否則不會(huì)是曲線運(yùn)動(dòng)），所以不能再用前一時(shí)段的平均速度來定義該點(diǎn)（時(shí)刻）的瞬時(shí)速度了。通俗些講，飛矢不動(dòng)（芝諾悖論）的正解為：運(yùn)動(dòng)定義：隨時(shí)間流動(dòng)（時(shí)段內(nèi)）的位置差的變化；靜止（不動(dòng)）定義：隨時(shí)間流動(dòng)（時(shí)段內(nèi)）位置不變。原因自然是現(xiàn)實(shí)中時(shí)間總在“流動(dòng)”，不會(huì)靜止不動(dòng)。飛矢不動(dòng)，指“瞬時(shí)”，即時(shí)間如果固定時(shí)的情況，此時(shí)的“不動(dòng)”，不能理解成“隨時(shí)間流動(dòng)不動(dòng)（無位置變化）”，而是指時(shí)間不流動(dòng)（固定）時(shí)，位置也固定。這在現(xiàn)實(shí)中當(dāng)然不可能發(fā)生（原因自然是沒有不流動(dòng)的時(shí)間），過去將二者混為一談了。因此，嚴(yán)格講在某時(shí)刻我們只能說“到達(dá)”（處于、位于）某位置，而不能說“靜止”于某位置，即使真的靜止也一樣（嚴(yán)格講，因這里針對(duì)的是“時(shí)刻”而非“時(shí)段”）。

既然“靜止”的定義是在某時(shí)間段內(nèi)物體保持位置不變，那么在此時(shí)間段內(nèi)，我們才可以說“每時(shí)每刻都靜止”，即才有每一的靜止概念。它是一個(gè)“次生”的概念。

同樣，運(yùn)動(dòng)、速度是相對(duì)靜止而言的，也是定義在某時(shí)間段上的，正是有了這個(gè)本源性的定義，我們才可以說“每時(shí)每刻都在運(yùn)動(dòng)”、“每時(shí)每刻都有速度”這樣的話。也就是，由這里的運(yùn)動(dòng)、速度定義，在該時(shí)段內(nèi)每一時(shí)刻所論物體不會(huì)靜止，于是它只有在該時(shí)刻也在運(yùn)動(dòng)、也有速度。雖然在該瞬時(shí)，它運(yùn)動(dòng)的距離為0，但這不是“靜止”，這是兩個(gè)概念。前文已經(jīng)說了，“靜止”嚴(yán)格講其本源性的定義是指在某內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離為0，而不是某的運(yùn)動(dòng)距離為0。所以某瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)距離為0，不能作為“靜止”的定義，也自然不能就看成“靜止”。于是，它就完全是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的情況，即看成在該瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)和有瞬時(shí)速度，盡管在該瞬時(shí)所論物體的運(yùn)動(dòng)距離為0也罷。該瞬時(shí)的速度與運(yùn)動(dòng)，也可理解成在下一時(shí)刻（瞬時(shí)），物體必不再留在原地，而是位置有變，這就是前一瞬時(shí)有運(yùn)動(dòng)、有速度所致。

總之，嚴(yán)格講，速度就是勻速，變速是改變了的勻速、變化了的速度。速度是不變的，才可能在無窮小時(shí)或有限時(shí)仍有確定值，微積分研究變速自然要賦與新意了。時(shí)間過程（進(jìn)程）不能為0，最多只能是無窮小，但再小也要有，時(shí)間過程而時(shí)間到達(dá)無過程，只能到達(dá)、經(jīng)過，“時(shí)刻”本身沒有甚至無窮小的過程。時(shí)間過程和到達(dá)時(shí)刻為兩個(gè)不同的概念，不能混淆。能證明此點(diǎn)的其實(shí)正是貝克萊悖論。其邏輯是：如不區(qū)分，必推出0又非0的貝克萊悖論，所以必為二個(gè)概念。總之，由速度的定義，離不開時(shí)段與距離，但它又是在每一時(shí)刻有定義、有值的。本質(zhì)上，它就是矛盾的，表觀上也是如此。只不過在勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度、平均速度、瞬時(shí)速度其值全一樣，因此人們并未深究。但在加速、曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)就不一樣了，深層次的矛盾暴露了出來。主要體現(xiàn)在傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)過程中的貝克萊悖論上。其本質(zhì)是沒有嚴(yán)格對(duì)速度概念進(jìn)行徹底澄清。按本文提出的瞬時(shí)速度定義，當(dāng)可徹底消除貝克萊悖論，而且揭示了瞬時(shí)速度這一物理概念的本質(zhì)，其相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)涵也得到了說明。從另一角度看，由于任何力作用產(chǎn)生的效果（比如使質(zhì)點(diǎn)軌跡彎曲）都需要作用時(shí)間，而抽象的“瞬時(shí)”無這種必要的時(shí)間段，所以可視為在此抽象的“瞬時(shí)”質(zhì)點(diǎn)未受力，或力不起作用。因此，雖然抽象時(shí)點(diǎn)（瞬時(shí)）上本沒有本源性的“瞬時(shí)速度”定義，也就是說抽象的瞬間、瞬時(shí)、時(shí)刻、時(shí)間點(diǎn)上，無定義速度必須要有的要素“時(shí)段”，但由于在其上未受力的意義上，可以把在該瞬時(shí)如不受力的時(shí)段上的直線勻速運(yùn)動(dòng)的速度成該抽象時(shí)間點(diǎn)上的“瞬時(shí)速度”。這是一種外延、外推性的瞬時(shí)速度定義，這個(gè)意義上，瞬時(shí)速度又是處處現(xiàn)實(shí)存在的。以往這種細(xì)微的區(qū)別，是沒有被徹底澄清的，由此才產(chǎn)生諸多問題，也是貝克萊悖論產(chǎn)生的根本原因。在這方面，某種“辯證思維”的確是需要的，也就是，我們應(yīng)分清一種概念在何種意義上（前提下）成立，在何種意義上（前提下）不成立。

對(duì)于這個(gè)重要的問題，我們可以總結(jié)如下：在某一抽象的、絕對(duì)意義的時(shí)間點(diǎn)（時(shí)刻、瞬時(shí)），正像在直角三角形的頂點(diǎn)不會(huì)再有“長、寬比”一樣，不會(huì)有現(xiàn)實(shí)中已發(fā)生的速度（無論等于0還是不等于0的）存在。因在此時(shí)刻時(shí)段為0（時(shí)刻的定義），而速度的本原性定義，是必須建立在時(shí)段不為0的基礎(chǔ)之上的。固然，在賦值而非本原的意義上，我們可以強(qiáng)行定義或賦值直角三角形的長寬比（二直角邊之比）在該頂點(diǎn)仍有值（對(duì)應(yīng)于勻速直線運(yùn)動(dòng)），但如果此直角三角形的斜邊為曲線（對(duì)應(yīng)于變速運(yùn)動(dòng)），由于隨二直角邊的長度的改變，其比值不是常數(shù)，無固定值，因此在其頂點(diǎn)不可能再有確定的、涉及三角形二直角邊比值的賦值存在。對(duì)速度在某點(diǎn)的賦值性定義（即前面提到的“次生定義”）而言，情況也是如此，而這正是傳統(tǒng)微積分理論的癥結(jié)所在。

最后，對(duì)第三節(jié)中求導(dǎo)的解方程法再做一些更嚴(yán)格的討論。必須說明，當(dāng)4式的方程組中的直線方程為x＝D（D為常數(shù)）時(shí)，等于強(qiáng)行令二次方程的通解（5式）中的x只取一值，而放棄了在通解公式中存在的另一值，因此該直線與曲線不但不可能再有兩個(gè)交點(diǎn)，而且必然與曲線交叉而不是切線。但這并不是這里的做法所得到的結(jié)果。這是因?yàn)?，?dāng)上述直線方程x＝D中的系數(shù)（這里僅僅是D）改變時(shí)，其與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的性質(zhì)不會(huì)改變，這意味著它是與曲線交叉的直線而不是切線。因?yàn)槿缡乔芯€，當(dāng)方程中的a、b、c等系數(shù)單獨(dú)或共同有很小改變時(shí)，幾何上意味著此時(shí)曲線的切線不是斜率不變地平移，就是以切點(diǎn)為軸心地旋轉(zhuǎn)，或二者的疊加。這必然導(dǎo)致：不是直線將與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，就是直線與曲線脫離接觸而再無交點(diǎn)可言。而這正是5式中根號(hào)下的部分為0時(shí)才可能發(fā)生的的情況。也就是，只要令其等于0，得到的與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，就是該曲線在交點(diǎn)處的切線。因此，前文中4式到7式所給出的求曲線的切線（導(dǎo)數(shù)）的方法，是完備的。這里的論述可以看成是一個(gè)證明。

對(duì)于微分，本文沒有涉及。這主要是筆者認(rèn)為微積分理論中最關(guān)鍵的部分還是導(dǎo)數(shù)問題。導(dǎo)數(shù)問題澄清了，微分問題自然迎刃而解。此外，篇幅也不允許筆者再對(duì)微分問題多做討論。這里只做一些相應(yīng)的簡單提示：對(duì)于微分公式中dy、dx等是否無窮小的問題，歷來頗有爭論。顯然，導(dǎo)數(shù)的求得（或更確切地說是得到）依賴于dx的趨于0，并且還不止于此，還要在dx＝0時(shí)“有極限”并“有定義”。而公式中包含導(dǎo)數(shù)的微分被定義成全部增量的“主部”或更確切的“線性主部”、“線性部分”，其中的dx卻可以是宏觀量。不同的東西，卻用相同的符號(hào)表示，其本質(zhì)是顯示了這里面有未被澄清的東西。特別是在需要積分時(shí)令dx趨向于0時(shí)，其是否到達(dá)0，及“線性主部”外的“高階無窮小”是否為0的問題，又將顯現(xiàn)。有人強(qiáng)辯說微分的一般定義、公式是無問題的。因它不涉及無窮小。但那沒有用，因?yàn)槲⒎值膬r(jià)值和經(jīng)常的使用，正是需要dx趨于0的（在積分中）。在筆者此文的討論中，這個(gè)問題根本不存在了。這從1＇式和7式的區(qū)別就可以看出來。7式正是作為直線的切線的斜率，它不依賴于無窮小等等，其中的增量是用dx＇等表示的，而用牛頓及極限方法求得的1＇式，嚴(yán)重依賴于無窮小、潛無窮等概念，其中的增量是用dx等表示的，明確地表示區(qū)別。于是，這個(gè)疑難問題不再存在。

五、辯證地看待微積分基礎(chǔ)問題

筆者曾有專文討論“辯證邏輯問題”［5］。在那篇文章中，筆者提出即使空間中的一個(gè)點(diǎn)，如欲準(zhǔn)確描述其狀態(tài)也得用多維空間的視角。這就是所謂“辨證”的本質(zhì)，就是全面地看問題，多維、“立體”地看問題，“多視角”地看問題，不要平面地看問題。因此可說這些都是等價(jià)命題。多維視角，就是辯證視角。這樣，不同維中的“正”、“負(fù)”概念及表觀的對(duì)立、矛盾概念，可以不再相互矛盾。微積分的基礎(chǔ)性推導(dǎo)問題，本質(zhì)也屬此類問題，是辯證法、辯證邏輯的一個(gè)生動(dòng)體現(xiàn)。以往它為什么會(huì)產(chǎn)生“悖論”、“矛盾”？本文中已徹底搞清楚了，那就是未能嚴(yán)格區(qū)分勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度、瞬時(shí)速度和變速、曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均速度間的本質(zhì)差異和區(qū)別。在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些概念起碼在數(shù)值上是無差異的，但一旦推廣到變速，就需要我們擴(kuò)充“視角”，從“多視角”的角度來看問題了。如果還是“平面”地、“線性”地看問題，勢必產(chǎn)生矛盾、悖論，也解釋不了“非線性”的現(xiàn)象。而一旦嚴(yán)格區(qū)別不同概念、論域，則知它們代表的是完全不同事物，矛盾、悖論立消。

［1］徐利治．論無限—無限的數(shù)學(xué)與哲學(xué)［M］．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

［2］［美］卡爾·B·波耶．微積分概念發(fā)展史［M］．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007．

［3］沈衛(wèi)國．論熵、不可逆過程及數(shù)學(xué)中的無窮［M］．福州：海風(fēng)出版社，2009．

［4］沈衛(wèi)國．論自然科學(xué)的若干基本問題［M］．福州：海風(fēng)出版社，1998．

［5］沈衛(wèi)國．辯證邏輯與智能［J］．智能系統(tǒng)報(bào)，2011，（04）．