涂鮮萍，李 飛，雷賢卿，王海洋，崔靜偉

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 引言

平面是構(gòu)成機(jī)械零件的重要幾何要素之一，常作為機(jī)械零件檢測(cè)和使用的基準(zhǔn)。平面度誤差是包容實(shí)際平面或?qū)嶋H平面任何一個(gè)指定范圍，且距離為最小的兩理想平行平面之間的距離。平面度誤差的大小對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的質(zhì)量和使用壽命有著至關(guān)重要的作用，因此，對(duì)平面度誤差進(jìn)行快速、精確的評(píng)定具有重要的實(shí)際意義。

平面度誤差評(píng)定的主要方法有最小二乘法、對(duì)角線平面法、三遠(yuǎn)點(diǎn)平面法和最小區(qū)域法等，其中，最小區(qū)域法評(píng)定平面度誤差的結(jié)果最接近理想誤差值，且符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。目前，關(guān)于平面度誤差的最小區(qū)域評(píng)定算法還沒有國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，不同廠家生產(chǎn)的同一類型的測(cè)量?jī)x器得出的誤差評(píng)定結(jié)果也有差異，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)較大的差別，亦即現(xiàn)有的評(píng)定算法不能滿足新型測(cè)量設(shè)備對(duì)計(jì)算軟件的要求［1］。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)平面度誤差評(píng)定的算法進(jìn)行了大量的研究，比較有代表性的算法有:蜂群算法［2］、遺傳算法［3－4］、粒子群算法［5］、增量算法［6］、測(cè)點(diǎn)分類法［7］、區(qū)域搜索法［8］、計(jì)算幾何法［9－10］和凸包法［11］等，這些成果都有一定的實(shí)用價(jià)值，對(duì)平面度誤差評(píng)定算法的研究起到了積極的推動(dòng)作用，但這些優(yōu)化算法較難被實(shí)際操作人員所掌握，因此，研究一種簡(jiǎn)單直觀、易于被廣大質(zhì)檢計(jì)量人員掌握的平面度評(píng)定算法是十分必要的。

本文結(jié)合幾何形狀誤差的定義及平面度誤差的幾何特征，提出了一種新的平面度誤差評(píng)定算法——遍歷搜索算法，可以實(shí)現(xiàn)平面度誤差的快速準(zhǔn)確評(píng)定。

1 遍歷搜索算法的原理

首先，在被測(cè)平面的測(cè)量數(shù)據(jù)中選取3 個(gè)相距較遠(yuǎn)測(cè)量點(diǎn)為參考點(diǎn)，以3 個(gè)參考點(diǎn)為基準(zhǔn)，在測(cè)量平面垂直的方向上上下等距擴(kuò)展長(zhǎng)度為f/2 的區(qū)域。將擴(kuò)展后的區(qū)域f 做n 等分，構(gòu)造出(n +1)個(gè)輔助點(diǎn);根據(jù)3 點(diǎn)確定一個(gè)平面的原理，3 個(gè)擴(kuò)展區(qū)域上的等分點(diǎn)依次連接，則可構(gòu)造出(n+1)3個(gè)輔助平面。依次以輔助平面作為被測(cè)平面的假定理想平面，計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)與假設(shè)理想平面之間的距離的極差，可以得到(n+1)3個(gè)極差值;根據(jù)平面度誤差的定義可知，極差值中的最小者就是被測(cè)平面的最小區(qū)域平面度誤差。

2 平面度誤差遍歷搜索算法的步驟

設(shè)被測(cè)平面上的測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)為Pi(xi，yi，zi)，(i=1，2，…，N)。

2.1 構(gòu)造輔助點(diǎn)

為確保平面度誤差評(píng)定的準(zhǔn)確性，一般選取被測(cè)平面上的邊緣點(diǎn)作為參考點(diǎn)來(lái)構(gòu)造輔助點(diǎn)。

設(shè)Pa(xa，ya，za)、Pb(xb，yb，zb)和Pc(xc，yc，zc)是被測(cè)平面上的3 個(gè)邊緣點(diǎn)(見圖1)。分別以點(diǎn)Pa、Pb和Pc為參考點(diǎn)，在平行于Z 軸(垂直于被測(cè)平面)方向上上下等距擴(kuò)展長(zhǎng)度為f/2 的區(qū)域(f 的值取最小二乘平面度誤差值或依據(jù)加工精度估計(jì))，然后將擴(kuò)展區(qū)域n 等分，可以得到(n + 1)個(gè)等分點(diǎn)，從而得到了輔助點(diǎn)Pk(xa，ya，zk)(k = 1，2，…，n)、Pm(xb，yb，zm)(m = 1，2，…，n)和Pt(xc，yc，zt)(t = 1，2，…，n)。所構(gòu)造輔助點(diǎn)的Zk、Zm、Zt的坐標(biāo)值計(jì)算由式(1)確定。

圖1 平面度誤差遍歷搜索評(píng)定原理

2.2 構(gòu)造假定理想平面

由3 點(diǎn)可以確定一個(gè)平面原理可知:所構(gòu)造的輔助點(diǎn)Pk(xa，ya，zk)、Pm(xb，yb，zm)和Pt(xc，yc，zt)的組合可構(gòu)成(n +1)3個(gè)假設(shè)理想平面。假設(shè)理想平面方程通式為Ax +By +Cz +D = 0，通過線性方程組可以得到(n +1)3個(gè)平面方程的系數(shù)Akmt、Bkmt、Ckmt和Dkmt:

其中，k，m，t=1，2，…，n。

2.3 計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)與假設(shè)理想平面之間的距離極差值

利用式(3)計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)與每一個(gè)假設(shè)理想平面之間的距離，并計(jì)算出所有測(cè)量點(diǎn)與每一個(gè)假設(shè)理想平面之間的距離的極差值。有(n +1)3個(gè)假設(shè)的理想平面，就可以得到(n +1)3個(gè)距離極差值。根據(jù)平面度誤差的定義可以知道，(n +1)3個(gè)距離的極差值中的最小者就是最小區(qū)域平面度誤差，用F 表示。

3 實(shí)例驗(yàn)證

測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)［11］，通過本文所提算法與其他算法對(duì)同一組數(shù)據(jù)處理結(jié)果的比較，驗(yàn)證平面度遍歷搜索算法的正確性。

文獻(xiàn)［1－2，10］對(duì)文獻(xiàn)［11］中的測(cè)量數(shù)據(jù)(見表1)進(jìn)行了處理，其評(píng)定結(jié)果如表2 所示。

采用本算法時(shí)，擴(kuò)展區(qū)域取f=0.15 mm(f 的值依據(jù)文獻(xiàn)［1］中的最小二乘平面度誤差值來(lái)選取)，初始參考點(diǎn)的選取分兩種情況:一種取被測(cè)平面的邊緣點(diǎn)P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P15(0.6，1.0，－0.019 97)、P25(1.0，1.0，－0.021 21);另一種取邊緣點(diǎn)P1(0.2，0.2，－0.064 50)、P21(1.0，0.2，0.057 73)、P25(1.0，1.0，－0.021 21)。在擴(kuò)展區(qū)域上等分點(diǎn)數(shù)不同的情況下，算法的評(píng)定結(jié)果分別如表3 和表4 所示。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

表2 不同算法的處理結(jié)果

表3 初始參考點(diǎn)為P1、P15、P25時(shí)的計(jì)算結(jié)果

表4 初始參考點(diǎn)為P1、P21、P25時(shí)的計(jì)算結(jié)果

對(duì)比表2、表3 和表4 可以看出:對(duì)同一組數(shù)據(jù)，本文提出的平面度誤差遍歷算法結(jié)果與其他文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果相一致。

從表3 和表4 可以看出:初始點(diǎn)及擴(kuò)展區(qū)域確定后，區(qū)域的等分點(diǎn)數(shù)越多，算法得到的誤差值越小，但當(dāng)?shù)确贮c(diǎn)數(shù)達(dá)到一定程度后，有局部的反差(如表3 中等分點(diǎn)數(shù)20 和30，40 與50，60 與70 以及表4中等分點(diǎn)數(shù)80 與90)，是由于等分方法不同、等分點(diǎn)不重合導(dǎo)致評(píng)定結(jié)果的局部發(fā)散，但隨著等分點(diǎn)數(shù)的增加，得到的誤差值越來(lái)越小的規(guī)律不會(huì)改變。

為使算法更具實(shí)用性，作者做了大量的試驗(yàn)，如在參考點(diǎn)不同、擴(kuò)展區(qū)域不同、等分點(diǎn)數(shù)不同的情況下評(píng)定結(jié)果的比對(duì)等，表明在應(yīng)用該算法時(shí)，擴(kuò)展區(qū)域過大，需增加等分點(diǎn)數(shù)導(dǎo)致計(jì)算量增加，擴(kuò)展區(qū)域過小會(huì)錯(cuò)失最優(yōu)輔助平面而導(dǎo)致評(píng)定不準(zhǔn)確。一般情況下，擴(kuò)展區(qū)域取最小二乘平面度誤差值或者與之相近的數(shù)值，等分點(diǎn)之間的距離(區(qū)域除以等分點(diǎn)數(shù))取5 μm 左右，即可實(shí)現(xiàn)被測(cè)平面的納米級(jí)評(píng)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合平面度誤差的幾何特性，研究了平面度誤差的遍歷算法。該算法不要求測(cè)樣點(diǎn)均勻選取，其原理簡(jiǎn)單，易于編程。實(shí)例驗(yàn)證表明:該算法具有較好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，為平面度誤差的精確評(píng)定提供了一種新的評(píng)定方法。

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