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        兩個變系數(shù)非線性Schr?dinger 的精確解

        2013-07-10 04:53:14黃彥輝張金良魏鵬波
        關(guān)鍵詞:橢圓型孤子二階

        黃彥輝,張金良,魏鵬波

        (河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南洛陽471023)

        0 引言

        變系數(shù)非線性Schr?dinger 方程

        當(dāng)考慮到色散系數(shù)、非線性參數(shù)和增益系數(shù)為z 函數(shù)時,方程(1)是光通訊中非常重要的模型。文獻[1]利用變系數(shù)F-展開法導(dǎo)出了方程(1)的Jacobi 橢圓函數(shù)解;文獻[2]從可積的觀點,基于Lax 對得到了Darboux 變換,借助于該變換,導(dǎo)出了方程(1)的精確多孤子解,并由此得到了顯式單孤子解和二孤子解。文獻[3]先預(yù)設(shè)解形式,直接代入方程(1),得到方程的顯式精確解;文獻[4]利用變分法,得到了方程(1)的顯式解析近似解;借助于Lie 群約化方法,文獻[5]導(dǎo)出了方程(1)的精確解。

        本文考慮的另一個變系數(shù)非線性Schr?dinger 方程為:

        其中,φ(z,t)為電場的復(fù)包絡(luò);α1(z)、α2(z)、α3(z)、α4(z)和α5(z)分別為二階色散、非線性Kerr 效應(yīng)引起的自相位調(diào)制、自陡崤和自頻移參數(shù);Γ(z)為增益參數(shù)。由于有著廣泛的應(yīng)用,方程(2)已引起眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻[6 -10]研究了方程(2),得到了顯式亮孤子解、暗孤子解。文獻[11]利用擴展的tanh-展開法,在參數(shù)滿足一定的條件下得到了擬亮孤子解、暗孤子解。文獻[12]借助于輔助橢圓型方程,導(dǎo)出了方程(1)和方程(2)的精確解。

        本文利用齊次平衡原則[13-16]及二階線性輔助常微分方程,求出輔助橢圓型方程的精確解,借助于輔助橢圓型方程,導(dǎo)出了兩個變系數(shù)非線性Schr?dinger 方程(1)和方程(2)的精確解。

        1 輔助橢圓型方程的精確解

        考慮

        依據(jù)齊次平衡原則,設(shè)輔助橢圓型方程(3)的精確解形如下:

        其中,d-1和d1為待定常數(shù);G = G(ξ)滿足二階輔助常微分方程:

        其中,μ 為待定常數(shù)。

        將式(4)代入式(3)并利用式(5),得方程(3)的精確解如下。

        情形1 A >0,B <0。

        情形2 A <0,B <0。

        情形3 A = 0,B <0。

        2 方程(1)和方程(2)的精確解

        由文獻[12]知,方程(1)的精確解表示為:

        方程(1)中的系數(shù)α(z)、β(z)和γ(z)滿足

        其中,D0、D1、A 和B 為常數(shù);φ(ξ)滿足輔助方程(3)。

        借助于輔助方程(3)的解,可得方程(1)的精確解,表示為:

        情形1 A >0,B <0。

        情形2 A <0,B <0。

        情形3 A = 0,B <0。

        由文獻[12]知,方程(2)的精確解可分為兩種情況:(Ⅰ)α1(z)+ 3κα3(z)≠0;(Ⅱ)α1(z)+3κα3(z)= 0。

        對于以上兩種情況,方程(2)的精確解可借助于輔助方程(3)的解導(dǎo)出,為了簡潔起見,本文不再一一列出。

        3 結(jié)論與分析

        本文用二階線性常微分方程導(dǎo)出了輔助橢圓型方程的精確解,然后,借助于該輔助橢圓型方程推導(dǎo)出了兩個變系數(shù)NLS 類方程的解以及相應(yīng)的約束條件,和文獻[3,10]中的算法相比,本文的計算方法更簡潔、直接。

        [1] Zhang J F,Dai C Q,Yang Q,et al.Variable-coefficient F-expansion Method and Its Application to Nonlinear Schr?dinger Equation[J].Optics Communications,2005,252:408 -421.

        [2] Hao R Y,Li L,Li Z H,et al. A New Approach to Exact Soliton Solutions and Soliton Interaction for the Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,236:79 -86.

        [3] 張善卿,李志斌.一類變系數(shù)非線性Schr?dinger 方程的精確解析解[J].華東師范大學(xué)學(xué)報,2003(2):32 -35.

        [4] Wen S C,Xu W C,Guo Q,et al.Evolution of Solitons of Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Parameters[J].中國科學(xué):A 輯,1997,40:1300 -1304.

        [5] 阮航宇,陳一新.尋找變系數(shù)非線性方程精確解的新方法[J].物理學(xué)報,2000,49(2):177 -180.

        [6] Hao R Y,Li L,Li Z H,et al. A New Way to Exact Quasi-soliton Solutions and Soliton Interaction for the Cubic-quintic Nonlinear Schr?dinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2005,245(1/6):383 -390.

        [7] Yang R C,Hao R Y,Li L,et al. Dark Soliton Solution for Higher-order Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,242(1/3):285 -293.

        [8] Hao R Y,Li L,Li Z H,et al. Exact Multi-Soliton Solutions of the Higher Order Nonlinear Schr?dinger Equation with Variable Coefficients[J].Phys Rev E,2004,70:066603.

        [9] Yang R C,Li L,Hao R,et al.Combined Solitary Wave Solutions for the Inhomogeneous Higher-order Nonlinear Schrodinger Equation[J].Phys Rev E,2005,71:036616.

        [10] Yang R C,Hao R U,Li L,et al. Dark Soliton Solution for Higher-order Nonlinear Schrodinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2004,242:285 -293.

        [11] Zhang J F,Yang Q,Dai C Q. Optical Quasi-soliton Solutions for Higher-order Nonlinear Schr?dinger Equation with Variable Coefficients[J].Optics Communications,2005,248:257 -265.

        [12] Zhang J L,Li B A,Wang M L.The Exact Solutions and the Relevant Constraint Conditions for Two Nonlinear Schr?dinger Equations with Variable Coefficients[J].Chaos,Solitons and Fractal,2009,39:858 -865.

        [13] Wang M L.Solitary Wave Solutions for Variant Boussinesq Equations[J].Physics Letters A,1995,199:169 -172.

        [14] Wang M L,Zhou Y B,Li Z B.Application of a Homogeneous Balance Method to Exact Solutions of Nonlinear Equations in Mathematical Physics[J].Physics Letters A,1996,216:67 -75.

        [15] Zhang J L,Wang Y M,Wang M L,et al.New Application of the Homogeneous Balance Principle[J].Chinese Physics,2003,12:245 -250.

        [16] 王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應(yīng)用[J].蘭州大學(xué)學(xué)報,1999,35(3):8 -16.

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