許明明 劉 曉 史慶藩

（1北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100081）

（2北京理工大學(xué)物理學(xué)院，北京 100081）

1 引言

在工程物理實(shí)際問題中，常常需要考慮定體積容器內(nèi)部的氣體平均溫度的變化，而不考慮溫度場的具體分布變化.在理論計算中，常用最為簡便的集總參數(shù)法求得瞬時溫度響應(yīng)曲線，其中集總方程的前提假設(shè)是：溫度梯度為零或非常?。˙i＜0.1），溫度分布僅與時間有關(guān)，與位置無關(guān)，且物體的導(dǎo)熱系數(shù)為定值［1］；浙江大學(xué)胡亞才等人提出了以物體內(nèi)部最大溫差與物體和環(huán)境最大溫差之比作為適用集總參數(shù)法的判據(jù)，拓展了非穩(wěn)態(tài)集總參數(shù)法的適用范圍［2］；顧祥紅在定導(dǎo)熱系數(shù)下，對無限大平板、圓柱、圓球體形固體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的集總參數(shù)法做了一系列研究［3］，但未對變導(dǎo)熱系數(shù)的氣態(tài)物質(zhì)做研究.因此對于氣態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程以及變導(dǎo)熱系數(shù)的復(fù)雜物理與工程問題需要進(jìn)一步研究.

本文以一定體積的圓柱體敞口容器為例，將其內(nèi)部氣體模擬成定體積的物體.考慮到小體積情況下氣體對流很快，溫度梯度小，故取平均溫度變化來表征容器內(nèi)部整體的溫度變化.由于氣體的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化，因此可以考慮把導(dǎo)熱系數(shù)分段取值，同時運(yùn)用非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱集總參數(shù)法進(jìn)行計算，以此得到敞口容器恒溫?zé)嵩醇訜徇^程中容器內(nèi)的平均溫度隨時間的變化規(guī)律.最后，以孔明燈實(shí)驗(yàn)為例，探討所提出的計算方法的有效性.

2 計算方法

2.1 物理模型

如圖1所示，取平行圓柱體作為微元控制體，對其應(yīng)用熱力學(xué)第一定律，可得到關(guān)于溫度T的通用導(dǎo)熱方程［4］

其中，T是x、y、z和t的函數(shù)；κ是導(dǎo)熱系數(shù)；ρ是密度；c是比熱容；q?是單位體積內(nèi)的能量轉(zhuǎn)換速率.在一定體積的敞口容器內(nèi)部，對流的空氣溫度梯度較小，故可以忽略，式（1）則變?yōu)?/p>

圖1 敞口容器示意圖

式中，α＝κ／ρc，是熱擴(kuò)散系數(shù).由于空氣的熱擴(kuò)散系數(shù)α很大，所以容器內(nèi)部的空氣平均溫度變化很快，溫度梯度可以忽略.因此可取空氣的平均溫度來表征容器內(nèi)部的溫度.

2.2 分段迭代法

由熱力學(xué)第一定律，在一個瞬時t時刻，傳入熱量的速率必定等于傳出熱量的速率加上儲熱速率

式中，qs為敞口容器與熱源間導(dǎo)熱速率；qi為容器內(nèi)部空氣儲熱速率；qj為容器壁與外界對流空氣的換熱速率.

在未加恒溫?zé)嵩碩s時，容器內(nèi)外部環(huán)境溫度相等.當(dāng)在敞口處加一恒溫?zé)嵩磿r，隨著容器內(nèi)部溫度升高，氣體導(dǎo)熱系數(shù)上升，密度減小.依據(jù)一個大氣壓下空氣的物性值表［5］，將導(dǎo)熱系數(shù)和密度變化每隔k℃取一段，取其平均值作為該段的導(dǎo)熱系數(shù)κn和密度ρn，則各段的敞口容器與熱源間的導(dǎo)熱速率由牛頓冷卻定律給出

式中，qsn、κn為各階段取值；A0為導(dǎo)熱面積，即容器底部與恒溫?zé)嵩唇佑|的敞口面積.

各個階段敞口容器內(nèi)空氣熱量儲存速率為

式中，qin、ρn為各階段取值；V為容器體積；Cp為氣體比熱容.

容器邊界與外界空氣壁面的熱傳遞可以用電路表示法等效，這個系統(tǒng)的一維熱傳遞速率可以表示為［4］

式中，qjn為各階段取值，分母為容器壁兩側(cè)總溫差，分子為總熱阻.

各階段容器壁內(nèi)外換熱速率可以表示為

其中，δ為容器薄壁的厚度.本文研究的容器壁在厚度為10-5m量級，故在內(nèi)外換熱過程中可以將圓柱容器當(dāng)作大的薄壁處理，A為薄壁表面積.

聯(lián)立式（3）、（4）、（5）、（7），可得敞口容器各階段的導(dǎo)熱溫度瞬時響應(yīng)方程微分式

將各階段初始條件代入（10）式即可求解容器內(nèi)平均溫度隨時間的變化關(guān)系.

將非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱到穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程依次分成n個階段：

第一階段初始條件為：t＝0，（t）＝T0邊界條件為：Ts（0）＝Ts，T0（0）＝T0.

由于熱源為恒溫?zé)嵩?，敞口容器外壁處在對流的環(huán)境中，邊界條件不會改變，在迭代過程中的每個初始條件可由前一個方程解出.每階段的相關(guān)物性取值可以查參考文獻(xiàn)［5］中的空氣物值表.依次迭代方程，可以得到其全過程的溫度瞬時響應(yīng)變化曲線.

3 應(yīng)用實(shí)例

本文以自制一定體積的圓柱形孔明燈為例，檢驗(yàn)本文發(fā)展的新方法的有效性.取圓柱形孔明燈底部開口直徑d＝0.015m，高度l＝0.65m，燈籠壁為防火紙，厚度δ＝0.0007m，導(dǎo)熱系數(shù)κ＝0.154W／（m·K）.下部的恒溫?zé)嵩礊榉綁K蠟燭，可以假設(shè)其在燈籠下部開口的面積上的平均溫度Ts＝900℃，外界空氣溫度T0＝27℃.用帶30cm探針數(shù)顯測溫計插于上部.

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖2中圓點(diǎn)線），如果取整個導(dǎo)熱系數(shù)的變化范圍的平均值進(jìn)行1次迭代，則計算結(jié)果如圖2中的虛線所示.與實(shí)際結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，兩條曲線在中間部分較為吻合，兩端相差較大.

圖2 平均溫度瞬時響應(yīng)曲線

因此我們對其進(jìn)行分段迭代，來對初始階段和末階段進(jìn)行修正.分段如下：

初始慢速升溫階段：在27～127℃范圍，取κ1＝20.76W／（m·K）；

中間穩(wěn)定升溫階段：在127～227℃范圍，取κ2＝31.71W／（m·K）；

末態(tài)快速升溫階段：在227～327℃范圍，取κ3＝44.27W／（m·K）.

經(jīng)過三次迭代得到的計算結(jié)果如圖2中的實(shí)線所示.可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)三次迭代修正后，理論計算得到的溫度變化曲線與實(shí)測結(jié)果符合較好，這說明通過對初始階段和末態(tài)階段的導(dǎo)熱系數(shù)取不同平均值后，可以對該階段進(jìn)行較好的修正.因此在不考慮計算的繁雜性下，可以進(jìn)行更多次的分段迭代，以取得更好的計算效果.

4 結(jié)論

針對變導(dǎo)熱系數(shù)條件下定體積容器內(nèi)部氣體平均溫度變化的工程物理計算問題，本文發(fā)展了基于分段迭代法的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱集總參數(shù)法.以敞口容器為物理模型，給出了變導(dǎo)熱系數(shù)條件下容器內(nèi)部的平均溫度變化的一次、三次迭代計算結(jié)果，通過和孔明燈加熱實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，只需三次分段迭代即可取得較好的計算效果.事實(shí)上，在不考慮計算的復(fù)雜性的情況下，通過更多分段結(jié)果的迭代，可以得到與實(shí)際結(jié)果更加相符的圖像.

［1］Pitts D R，Sissom L E.Schaum's Outline of Theory and Problems of Heat Transfer［M］.2ed.Colubus，Ohio：McGraw-Hill Companies，Inc.1998：99～100.

［2］胡亞才，翁海勇，屠傳經(jīng).集總參數(shù)法適用條件研究［J］.浙江大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1995（4）：470～475.

［3］顧祥紅.0＜Bi＜∞時非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱集 參數(shù)法探討［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008（4）：638～640.

［4］Incropera F P，DdWitt D P.Fundamentals of Heat and Mass Transfer［M］.6th ed.Hoboken，NJ：John Wiley ＆Sons，Inc.2007：44～45.

［5］Pitts D R，Sissom L E.Schaum's Outline of Theory and Problems of Heat Transfer［M］.2ed.Colubus，Ohio：McGraw-Hill Companies，Inc.1998：276～277.