唐 軼，陳 奎，谷 露，王 飛，于 琪

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州 221008）

0 引言

隨著電力電子技術(shù)和器件的發(fā)展，非線性負(fù)荷在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，電力系統(tǒng)諧波污染日益嚴(yán)重，諧波已成為影響電能質(zhì)量的主要問(wèn)題[1]。對(duì)諧波分量參數(shù)的高精度估計(jì)將有利于電能質(zhì)量的評(píng)估和采取相應(yīng)的必要治理措施。

快速傅立葉變換(FFT)是諧波分析最快捷的工具[2]。但非同步采樣時(shí)，快速傅立葉變換應(yīng)用于諧波分析容易造成頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，影響諧波相量計(jì)算的準(zhǔn)確度。針對(duì)FFT算法的不足，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出的一系列加窗插值 FFT算法[3-5]、多項(xiàng)式擬合的雙譜線插值方法[6-8]和其他加窗FFT校正算法[9-13]等都有效地提高了諧波分析精度。但隨著插值修正曲線擬合函數(shù)的階次增高及諧波含有次數(shù)的增多，諧波估計(jì)精度提高的同時(shí)計(jì)算量大量增加。本文將提出諧波高精度估計(jì)的另一條思路，基于傅立葉變換時(shí)域收縮頻域延伸的性質(zhì)計(jì)算出各諧波頻率，進(jìn)而精確計(jì)算諧波各參數(shù)的方法。

1 基于傅立葉變換時(shí)頻收伸性的測(cè)頻原理

設(shè)被分析電力信號(hào)為

采樣被分析電力信號(hào)得

式中：Ts為采樣周期；是p次諧波信號(hào)的實(shí)際數(shù)字角頻率。

對(duì) ()xn 加對(duì)稱余弦窗(Hanning窗、Nattall窗等)函數(shù) ()wn，得序列w()

x n的連續(xù)譜函數(shù)為

考慮到 Xw(k)的對(duì)稱性，僅用正頻段來(lái)分析Xw(k)，將上式簡(jiǎn)化為

若從截?cái)鄶?shù)據(jù)N的起始點(diǎn)向后延伸用相同窗函數(shù)截?cái)郙長(zhǎng)度數(shù)據(jù)得則w()x m 與w()x n有相同的相位。對(duì)w()x m 進(jìn)行FFT變換，根據(jù)Fourier變換的“時(shí)間尺度伸縮”性質(zhì)，得

設(shè)第pk條和第pl條譜線分別為兩次 FFT變換p次諧波的最大譜線，由于w()x m 與w()x n有相同的相位，則兩次FFT變換的相位差為零，即

因此得

2 時(shí)域收縮比M/N對(duì)測(cè)頻誤差的影響

式（9）可求得各次諧波的頻率。由于各次諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍，而一般由于基波幅值大，諧波相對(duì)于基波小，諧波對(duì)基波的譜間干擾相對(duì)小，因此，當(dāng)只需計(jì)算各次諧波的參數(shù)時(shí)，可只計(jì)算出基波的頻率，各次諧波的頻率乘以一個(gè)整數(shù)即可。

本文所提的諧波參數(shù)的測(cè)量是通過(guò)在頻域內(nèi)對(duì)窗函數(shù)插值獲得的，各諧波的幅值是先計(jì)算出它們的頻率，而后在頻域內(nèi)插值求得的，因此，各諧波頻率的測(cè)量精度是諧波參數(shù)測(cè)量精度的關(guān)鍵。設(shè)為電網(wǎng)的基波實(shí)際頻率，1f為式（9）電網(wǎng)基波頻率的測(cè)量值，則頻率測(cè)量的絕對(duì)誤差為：圖1是采樣頻率Ts=5 120 Hz，用Nattall窗函數(shù)截?cái)鄶?shù)據(jù)長(zhǎng)度N=1 024時(shí)，不同M/N值條件下計(jì)算基波頻率誤差曲線。觀察頻率誤差曲線，總體來(lái)說(shuō)這種測(cè)頻方法在10×M/N為整數(shù)時(shí)的測(cè)量精度都比較高，頻率測(cè)量的絕對(duì)誤差小于0.001(10-3)Hz，并且，曲線呈現(xiàn)兩邊高中間低的趨勢(shì)，因此可推測(cè)，從圖1也可看出取10M/N=5，即是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

圖1 不同M/N值條件下計(jì)算頻率誤差曲線Fig. 1 Error curve of the calculation frequency under different M/N value

3 窗函數(shù)插值計(jì)算電力諧波參數(shù)

設(shè)ωpd為p次諧波處的峰值譜線的數(shù)字角頻率與p次諧波信號(hào)的實(shí)際數(shù)字角頻率的差值（如圖2）。

圖2 非同步采樣和非整周期截?cái)嗪蟮念l譜Fig. 2 Spectrum under non-coherent sampling or non-integral period truncation

由式（6）可得

由此可得P次諧波的幅值為

p次諧波的相位為即窗寬為

從式（6）和式（7）來(lái)看，相位譜與截?cái)啻昂瘮?shù)無(wú)關(guān)，但實(shí)際上，由于是由的虛部和實(shí)部分別計(jì)算得到，而 Xw( kp)和 Xw(lp)的虛部和實(shí)部的計(jì)算精度都要受“譜間干擾”的影響，因此，窗函數(shù)對(duì)jpk和 jpl的計(jì)算精度有直接的影響。選擇合適的窗函數(shù)截?cái)喾治鰯?shù)據(jù)對(duì)提高電力諧波參數(shù)的計(jì)算精度有不小的影響。加窗的目的是降低旁瓣“譜間干擾”，而不能減小主瓣“譜間干擾”。人們希望窗函數(shù)頻譜的旁瓣最大幅值愈小、旁瓣幅值衰減愈快愈好，這意味著主瓣功率的集中度愈高愈好。主瓣功率的集中度與主瓣寬度相關(guān)聯(lián)，一般說(shuō)來(lái)，主瓣功率愈集中，主瓣寬度也愈寬，測(cè)量精度愈高。如漢寧窗的主瓣寬度為4個(gè)譜線分辨率，4wD，而納托爾窗的主瓣寬度為8個(gè)譜線分別率，即8wD，納托爾窗的主瓣功率集中度比漢寧窗高，圖3誤差曲線也明顯顯示采用納托爾窗截?cái)喾治鰯?shù)據(jù)具有更高的計(jì)算精度。圖3是不同窗函數(shù)截?cái)鄷r(shí)的測(cè)量誤差曲線，它是由式(1)模型，基波頻率50.3 Hz，以頻率5 120 Hz采樣，截?cái)鄶?shù)據(jù)長(zhǎng)度為N=1 024，取進(jìn)行仿真計(jì)算得到，模型參數(shù)見(jiàn)表1。由圖3曲線可見(jiàn)，窗函數(shù)對(duì)頻率的測(cè)量精度的影響還是比較大的，選擇窗函數(shù)旁瓣幅值小并且衰減快的窗函數(shù)（如Nattall）將有利于提高測(cè)量精度。

圖3 不同窗函數(shù)截?cái)鄺l件下頻率計(jì)算誤差曲線Fig. 3 Error curve of the calculation frequency under different windows

表1 仿真信號(hào)的基波及諧波成分Table 1 Components of the simulated harmonic signal

從式（9）、式（11）和式（13）來(lái)看，本文方法與其他校正FFT類方法一樣，也可用于間諧波的分析。然而，就校正FFT這類方法而言，能否精確地分析被分析信號(hào)取決于被分析信號(hào)中信號(hào)頻率間隔是否大于截?cái)啻昂瘮?shù)主瓣寬度，因?yàn)榧哟爸荒芙档团园辍白V間干擾”，而不能減小主瓣“譜間干擾”。按IEC標(biāo)準(zhǔn)[14]，諧波和間諧波的分析數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為10周波（50 Hz），因此，相應(yīng)的分析頻率分辨率為5 Hz。因此，如果僅測(cè)量電力諧波，所選窗函數(shù)的主瓣寬度只要小于等于10個(gè)譜線分別率wD，就不會(huì)發(fā)生“主瓣的譜間干涉”，計(jì)算精度一般都可接受。當(dāng)間諧波的頻率與頻率最近的諧波頻率間隔比較大（大于窗函數(shù)的主瓣寬度）時(shí)，也可同時(shí)測(cè)量間諧波,但當(dāng)2者的頻率間隔小于窗函數(shù)主瓣寬度時(shí)，將出現(xiàn)不能接受的測(cè)量誤差。減小窗函數(shù)主瓣寬度有 2條路徑：一是選擇主瓣寬度相對(duì)窄的窗函數(shù)，如漢寧窗只有4wD寬。當(dāng)然這會(huì)降低測(cè)量精度，但實(shí)際上，一方面，“國(guó)標(biāo)”對(duì)諧波測(cè)量精度的最高要求另一方面，由于信號(hào)傳感器精度的限制，追求過(guò)高的理論分析精度也沒(méi)有太大意義，一般實(shí)際測(cè)量絕對(duì)誤差能達(dá)到10-2足已，可見(jiàn)，適當(dāng)考慮選擇主瓣寬度相對(duì)窄的窗函數(shù)是現(xiàn)實(shí)可行的。二是延長(zhǎng)數(shù)據(jù)的截?cái)嚅L(zhǎng)度，頻率分辨率與被分析數(shù)據(jù)截?cái)嚅L(zhǎng)度成反比，截?cái)喾治鰯?shù)據(jù)長(zhǎng)度越長(zhǎng)wD越小。例如用漢寧窗截?cái)嚅L(zhǎng)度為20周波（200 ms）的被分析數(shù)據(jù)，則410wD=Hz，也即只要被分析信號(hào)中的任何諧波與間諧波的頻率間隔都大于10 Hz，分析誤差是可接受的。倘若被分析電力信號(hào)中有頻率間隔小于10 Hz的兩個(gè)諧波和間諧波信號(hào)，則它們?cè)诜治鰰r(shí)將發(fā)生“主瓣譜間干涉”，就可能帶來(lái)難以接受的測(cè)量誤差。因此，一般說(shuō)來(lái)，校正FFT這類算法不太適用于復(fù)雜諧波（既含有諧波，又含有間諧波）的分析。

對(duì)照文獻(xiàn)[3-13]可見(jiàn)，本文所提的電力諧波測(cè)量計(jì)算方法與各種FFT插值校正法或雙譜線擬合方法相比有基本相同的測(cè)量計(jì)算精度，但在計(jì)算耗時(shí)上則大大減小，可應(yīng)用于嵌入式系統(tǒng)。并且，本文所提算法的主要計(jì)算量在2次FFT上，而DSP信號(hào)處理器內(nèi)帶有硬件FFT，不需要占用計(jì)算時(shí)間，因此，該算法更適合于應(yīng)用在 DSP數(shù)字信號(hào)處理器上，用單片DSP數(shù)字信號(hào)處理器即可實(shí)現(xiàn)電力諧波的在線測(cè)量。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文采用如圖 4方法來(lái)模擬測(cè)量。首先由Matlab按式（1）模型和表 1參數(shù)建模，然后用dSPACE的DS1104板進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換，將所建模型轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，最后用“合眾達(dá)公司”的DSP2812板，通過(guò)16位A/D采樣轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，并用本文算法計(jì)算，完成模擬測(cè)量。A/D采樣頻率為5 120 Hz、分析數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1 024點(diǎn)（10個(gè)周波）。采用該模擬測(cè)量方法對(duì)驗(yàn)證算法的有效性有兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：一是它很好地模擬了實(shí)際測(cè)量過(guò)程，分析數(shù)據(jù)中包含了信號(hào)調(diào)理誤差、A/D采樣誤差和采樣噪聲；二是可精確知道被分析信號(hào)的參數(shù)。若采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析，由于并不知道被測(cè)實(shí)際信號(hào)的參數(shù)，需要有一測(cè)量?jī)x測(cè)出實(shí)際信號(hào)的參數(shù)。而任何測(cè)量?jī)x是有誤差的，我們能知道的也只能是實(shí)際諧波信號(hào)有誤差的“測(cè)量參數(shù)”，顯然，用這一有誤差的參數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)”來(lái)評(píng)價(jià)某算法的有效性有偏頗。

圖4 模擬測(cè)量框圖Fig. 4 The diagram of simulation tests

圖5 模擬測(cè)量誤差曲線Fig. 5 Error curve of simulation tests

圖5 是采用本文所提方法，用納托爾窗截?cái)? 024點(diǎn)數(shù)據(jù)，由圖4模擬測(cè)量得到的誤差曲線。由誤差曲線可見(jiàn)，本文所提出的方法有足夠用于實(shí)際測(cè)量的精度，滿足“國(guó)標(biāo)”對(duì)諧波測(cè)量精度的最高要求，而計(jì)算量則大大降低。

5 結(jié)論

本文提出了一種電力諧波分析的新方法，即先高精度地估計(jì)出含有諧波的電力信號(hào)中的基波參數(shù)（幅值、頻率和相位），進(jìn)而，通過(guò)窗函數(shù)頻域內(nèi)插值的方法精確計(jì)算出各次諧波的參數(shù)。通過(guò)同一電力信號(hào)的仿真試驗(yàn)證明，本文提出的電力諧波高精度估計(jì)方法與各種加窗插值估計(jì)電力諧波的分析方法有基本等同的估計(jì)精度，而在計(jì)算速度上有明顯的優(yōu)勢(shì)，并且，本文所提算法的主要計(jì)算量在2次FFT上，而DSP信號(hào)處理器內(nèi)帶有硬件FFT，不需要占用計(jì)算時(shí)間，因此，該算法更適合于應(yīng)用在DSP數(shù)字信號(hào)處理器上，用單片DSP數(shù)字信號(hào)處理器即可實(shí)現(xiàn)電力諧波的在線測(cè)量，因此，是一種很有實(shí)用價(jià)值的對(duì)平穩(wěn)電力諧波進(jìn)行高精度估計(jì)的方法。

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