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        一個數(shù)值求積公式的漸進(jìn)性質(zhì)*

        2013-06-19 05:14:30龍愛芳胡軍浩
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分量級插值

        龍愛芳 胡軍浩

        (中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 武漢 430074)

        0 引 言

        隨著科學(xué)技術(shù)和計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,計算方法也顯得日益重要,在計算方法中占有重要地位的數(shù)值積分也在飛速發(fā)展.而數(shù)值積分公式要提高精度的基礎(chǔ)是積分中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì).文獻(xiàn)[1-2]給出積分中值定理中間點(diǎn)的漸近形態(tài)的2個結(jié)論,文獻(xiàn)[3]給出曲線積分中值定理中間點(diǎn)的一個一般性的結(jié)果,文獻(xiàn)[4-6]根據(jù)積分中值定理中間點(diǎn)的漸近形態(tài)得到數(shù)值積分公式的漸近性.對于數(shù)值積分公式,最好是精度要高,同時計算也要簡單,這是一個矛盾的事情.要想得到高精度的數(shù)值積分公式,必須提供導(dǎo)數(shù),精度越高需提供的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)就越高,如果被積函數(shù)比較復(fù)雜,計算導(dǎo)數(shù)是非常麻煩的.有沒有精度相對較高,而不需要計算導(dǎo)數(shù)的數(shù)值積分公式?答案是肯定的:Simpson公式只需要提供3 個節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,有3次代數(shù)精度,誤差量級為O(h5);復(fù)化Simpson公式只需計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,誤差量級為O(h4).本文構(gòu)造的數(shù)值積分公式同樣可以不用計算導(dǎo)數(shù)值,只需要計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,計算量與復(fù)化Simpson 相當(dāng),但它卻有比復(fù)化Simpson更高的精度,誤差量級為O(h6),和文獻(xiàn)[5-6]相比具有形式更簡單,計算量更小等優(yōu)點(diǎn).下面介紹本文的數(shù)值求積公式.

        1 數(shù)值求積公式

        1.1 插值多項式的構(gòu)造

        構(gòu)造滿足插值條件:

        的次數(shù)不超過4的Hermite插值多項式H(x),其中xk,xk+1,xk+2為3個等距節(jié)點(diǎn),即xk+1=xk+h,xk+2=xk+2h,則H(x)可以表示為

        其中:插值基函數(shù)αk(x),αk+1(x),αk+2(x),βk(x),βk+1(x)分別具有如下的表達(dá)式:

        至此,滿足插值條件的Hermite插值多項式構(gòu)造完畢,余項表達(dá)式為

        1.2 數(shù)值求積公式的構(gòu)造

        式(1)兩邊求積分并應(yīng)用式(2)進(jìn)一步分析得:

        在式(3)中令xk=a 可得本文的第一個數(shù)值求積公式

        則至少具有5次代數(shù)精度且誤差量級為O(h7)的數(shù)值積分公式構(gòu)造完畢.并有式(3)得到如下積分中值定理:

        定理1 如果f(x)在區(qū)間[a,a+2h]上有直到6階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則存在ξ∈(a,a+2h),成立

        下面研究式(5)中間點(diǎn)ξ的漸進(jìn)性.

        假設(shè)有形如

        的數(shù)值求積公式,設(shè)η=a+λh,要使式(6)的代數(shù)精度盡可能高,下面確定λ的值.

        在式(6)中,顯然當(dāng)f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5時準(zhǔn)確成立,當(dāng)f(x)=x6時,

        左邊=右邊,即無論η取(a,a+2h)中的任何值,數(shù)值求積式(6)均有至少6次代數(shù)精度.

        式(6)中,當(dāng)f(x)=x7時

        于是得到了本文的至少具有7次代數(shù)精度的第二個求積公式

        下面研究式(7)的誤差量級.

        比較左邊和右邊知數(shù)值求積式(7)的誤差量級為O(h9).

        定理2 如果f(x)在[a,a+2h]上有直到8階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有

        1.3 求積公式的進(jìn)一步改進(jìn)

        由于本文得到的兩個數(shù)值求積公式雖然精度高,但是必須計算節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù),為了克服這一缺點(diǎn),應(yīng)用式(5)復(fù)化求積得:

        故得到本文的第三個數(shù)值求積公式:

        它只需要計算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,不用計算任何導(dǎo)數(shù)值,計算量與復(fù)化Simpson公式相當(dāng),但精度卻得到很大的提高,誤差量級提高了兩次.

        定理3 如果f(x)在[a,b]上有直到6階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則有

        1.4 數(shù)值試驗(yàn)

        表1 三個數(shù)值求積公式的計算結(jié)果

        表2 復(fù)化Simpson公式和本文復(fù)化公式(9)的計算結(jié)果

        2 結(jié) 論

        1)由本文的積分中值定理

        給出數(shù)值求積公式

        2)據(jù)積分中值定理中間點(diǎn)ξ的漸近性態(tài),得到具有更高精度(7次)的數(shù)值求積公式

        3)為了避免導(dǎo)數(shù)計算,應(yīng)用復(fù)化求積,給出本文的第三個數(shù)值求積公式

        從計算結(jié)果可以看出,本文給出的3個數(shù)值求積公式均非常有效.

        [1]王福良,楊彩萍.積分中值定理中間點(diǎn)漸近形態(tài)的研究[J].天津師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,22(2):38-40.

        [2]趙奎奇.積分中值定理中值研究的進(jìn)一步結(jié)果[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2006,36(4):292-295.

        [3]趙益坤.關(guān)于曲線積分中值定理中間點(diǎn)的一個一般性的結(jié)果[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23(1):166-169.

        [4]YANG Caiping.A result on the mean value theorem for integrals[J].Journal of Mathematics for Technology,2001,17(4):91-92.

        [5]劉彬清.一類高斯求積公式的極限性質(zhì)[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,20(4):137-139.

        [6]劉彬清.關(guān)于一些求積公式的漸近性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2002(2):83-87.

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