李愛民 江金環(huán)(北京工業(yè)大學(xué),北京 100022)

非完整約束系統(tǒng)的正則對(duì)稱性*

李愛民 江金環(huán)
(北京工業(yè)大學(xué),北京 100022)

本文研究了非完整約束正規(guī)Lagrange量系統(tǒng)在相空間中的對(duì)稱性質(zhì),導(dǎo)出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理;對(duì)非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在考慮非完整約束與系統(tǒng)的固有約束相容的基礎(chǔ)上,分析該系統(tǒng)在相空間中的對(duì)稱性質(zhì),導(dǎo)出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理。建立了非完整系統(tǒng)的一個(gè)積分理論,并對(duì)這兩種系統(tǒng)分別舉例,求出了相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)守恒量。

附加非完整約束;奇異Lagrange量;相空間;正則對(duì)稱性

0 引言

一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所受到的附加(外在)約束除由幾何約束及可積分的微分約束外,還可受到不能積分的微分約束,這樣的系統(tǒng)就叫非完整系統(tǒng),該系統(tǒng)受到的附加(外在)不能積出的微分約束就叫做非完整約束。由于非完整約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的積分十分困難,甚至系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不可積,因此,對(duì)該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)守恒量的研究對(duì)了解該系統(tǒng)的物理狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)就更加重要。非完整約束奇異系統(tǒng)不僅受非完整附加(外在)約束,而且由于描述該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的Lagrange量奇異而導(dǎo)致相空間還存在固有(內(nèi)在)約束[1],因而研究其相空間的對(duì)稱性與守恒量的關(guān)系就更加復(fù)雜,也更加有意義。

對(duì)非完整約束正規(guī)Lagrange量系統(tǒng),非完整約束結(jié)合正則動(dòng)量的定義,可化為正則變量的函數(shù),本文先分析該系統(tǒng)在相空間中的對(duì)稱性質(zhì),導(dǎo)出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理;對(duì)非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在考慮非完整約束與系統(tǒng)的固有約束相容的基礎(chǔ)上(即非完整約束能化為正則變量 的函數(shù),且出現(xiàn)在相空間的附加約束與固有約束相容),分析該系統(tǒng)在相空間中的對(duì)稱性質(zhì),導(dǎo)出了該系統(tǒng)的正則方程與正則Noether定理,這實(shí)際上給出了非完整系統(tǒng)的一個(gè)積分理論。并對(duì)這兩種系統(tǒng)分別舉例說明,求出了相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)守恒量。

1 正規(guī)Lagrange量系統(tǒng)

對(duì)非完整約束正規(guī)Lagrange量力學(xué)系統(tǒng),設(shè)描寫系統(tǒng)的Lagrange量為L),其中廣義坐標(biāo)為qi(i=1,2,…,n),且系統(tǒng)所受的非完整外在約束記為

位形空間該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程(ЧeTaeB型)為

利用Legendre變換,引入正則共軛動(dòng)量[2]

對(duì)受非完整約束并用正規(guī)Lagrange量描述的廣義力學(xué)系統(tǒng),考慮增廣相空間中有限李群下的整體無窮小變換[4]

在(12)式的變換下,假設(shè)系統(tǒng)的正則作用量

假設(shè)變換(12)式所確定的等時(shí)變分δqi=△qi-△t適合下列條件

那么,用λw(t)乘(16)式后與(15)式合并,有

由于李群參數(shù)εσ獨(dú)立,從而得

這就得到非完整約束力學(xué)系統(tǒng)相空間的正則Noether定理:如果變換(12)式所確定的等時(shí)變分δqi適合(16)式(即約束加在虛位移上的條件),且系統(tǒng)的正則作用量在(12)式變換下適合(14)式,那么,該系統(tǒng)在相空間中存在r個(gè)正則形式的守恒量(19)式。

例1.一力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange量為

利用系統(tǒng)的正則方程(11)式,即沿著系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的軌線,由(17)得

非完整約束條件為

其中J,k為常數(shù),x,y,θ為坐標(biāo)參數(shù)[6]。

顯然時(shí)間平移變換下,系統(tǒng)的Lagrange量(20)式和非完整約束(21)式不變,從而(14)式中的,Ω= 0,此時(shí)變換(12)式中注意到(21)式是廣義速度的齊次函數(shù),δG,因而時(shí)間平移變換滿足(16)式,由(19)式得到系統(tǒng)的能量守恒,

這與用其他方法求得的結(jié)果相同[8]。

2 奇異Lagrange量系統(tǒng)

對(duì)非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),設(shè)描寫系統(tǒng)的Lagrange量為

且系統(tǒng)所受的附加非完整約束記為

由于Lagrange量的奇異性,該系統(tǒng)在相空間還存在固有(內(nèi)在)約束[9],設(shè)決定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的固有約束記為

設(shè)內(nèi)在約束在等時(shí)變分下適合

將(10)和(26)式聯(lián)合,得非完整約束奇異系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

此時(shí)假定外在約束Gw=0,與內(nèi)在約束φα=0,是相容,且由(3)式可解出的˙qi代入(24)式后,可化為正則變量qi,pi的函數(shù)可用正則變量qi,pi來表達(dá)。在此假設(shè)下,聯(lián)合(17)式和(26)式,并利用(27)式,可得非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)相空間的正則Noether定理:如果在(12)式變換下,系統(tǒng)的正則作用量的變更適合(14)式,且變換(12)式所確定的等時(shí)變分適合(16)式和(26)式,那么,此非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)在相空間中存在r個(gè)正則形式的守恒量(19)式。

例2.一動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange量為[10]

所受的附加非完整約束為

其中a為常數(shù)。

正則動(dòng)量分別為

固有約束為

正則Hamilton量為

顯然在時(shí)間平移變換下,系統(tǒng)的Lagrange量(28)式和非完整約束(29)式(可用正則變量表達(dá))不變,時(shí)間平移變換下,變換(12)式中τσ=1,ζiσ=0,ηiσ=0。注意到(29)式是廣義速度=的二次齊次函數(shù),因此,時(shí)間平移變換下,δqi分別滿足(16)式和(26)式,按(19)式,此非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng)存在能量守恒

3 結(jié)論

非完整約束奇異Lagrange量系統(tǒng),在一定條件下,即非完整約束中出現(xiàn)的˙qi由正則動(dòng)量的定義,可用來替代qi,pi且出現(xiàn)在相空間的附加約束與固有初級(jí)約束相容,此時(shí)對(duì)系統(tǒng)的描述可過渡到相空間形式,研究其正則對(duì)稱性。本文對(duì)非完整約束系統(tǒng)正則對(duì)稱性的研究,實(shí)際上給出了非完整系統(tǒng)的一個(gè)積分理論。當(dāng)所研究的系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束Hamilton系統(tǒng),由正則約束隨時(shí)間演化的穩(wěn)定性,進(jìn)一步可求出相空間的次級(jí)約束,從而,可研究該系統(tǒng)的量子化。

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O412.3;O413.3

A

1672-9846(2013)03-0068-03

2013-07-22

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“約束奇異系統(tǒng)的量子理論及其在凝聚態(tài)等領(lǐng)域的應(yīng)用”(編號(hào):10647102);北京工業(yè)大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目“約束奇異系統(tǒng)量子水平的變換性質(zhì)及應(yīng)用”(編號(hào):52006015200701)。

李愛民(1964-),女,湖南臨湘人,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院副教授,博士,主要從事經(jīng)典與量子約束奇異系統(tǒng)的基本理論及應(yīng)用研究。

江金環(huán)(1973-),女,河北邢臺(tái)人,北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院講師,博士,主要從事量子場論研究。