吳 超，單 奇

(中國電子科技集團公司第三十八研究所，合肥 230088)

0 引言

制導(dǎo)雷達(dá)系統(tǒng)是一種由各類探測、控制、數(shù)據(jù)傳輸、通信等設(shè)備集成的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)中的地面設(shè)備［1］。制導(dǎo)雷達(dá)的數(shù)據(jù)處理分系統(tǒng)需要完成發(fā)現(xiàn)目標(biāo)、形成航跡、識別分類、威脅估計、火控跟蹤、殺傷評估等多個任務(wù)［2］。其中，數(shù)據(jù)處理使用的跟蹤濾波算法直接決定著雷達(dá)形成航跡的精度，影響防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的殺傷能力，是制導(dǎo)雷達(dá)系統(tǒng)研究的核心課題之一。

隨著當(dāng)前第四代戰(zhàn)斗機技術(shù)的成熟和世界各國現(xiàn)役戰(zhàn)斗機向四代機的批量換裝，防空導(dǎo)彈系統(tǒng)面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。第四代戰(zhàn)斗機普遍具備超機動能力，其加速度可達(dá)9G左右，戰(zhàn)斗機的飛行軌跡在空間位置上可以表現(xiàn)出距離變化率銳減、驟增等現(xiàn)象。這就要求雷達(dá)系統(tǒng)具備更高的數(shù)據(jù)率和高精度的跟蹤能力來精確掌控飛機的運動軌跡。

國內(nèi)外制導(dǎo)雷達(dá)數(shù)據(jù)處理多采用α-β 濾波、卡爾曼濾波、自適應(yīng)卡爾曼濾波或者交互多模型等方法，在濾波過程中使用CV、CA、Singer 等直線運動模型［3］。使用直線模型逐段擬合目標(biāo)飛行軌跡的這類型方法在低數(shù)據(jù)率跟蹤弱機動能力的目標(biāo)時可以獲得滿意的精度。但是，用于對具備高機動性飛機執(zhí)行跟蹤時，運動模型與機動模式的不匹配將導(dǎo)致跟蹤精度的大幅度降低，甚至引致濾波器發(fā)散目標(biāo)丟批，嚴(yán)重制約著防空導(dǎo)彈系統(tǒng)的殺傷性能。

針對上述問題，本文提出了一種用于制導(dǎo)雷達(dá)的新的交互多模型跟蹤濾波方法。與傳統(tǒng)的使用直線運動模型的交互多模型算法相比，本文提出的方法顯著提高了跟蹤的精度，同時對于目標(biāo)機動/非機動轉(zhuǎn)換有一定的識別能力和魯棒的跟蹤性能。

1 考慮轉(zhuǎn)彎機動的交互多模型跟蹤方法

1.1 UKF-IMM3方法描述

在航跡跟蹤中，任意的時刻目標(biāo)可能進(jìn)行已知和未知的機動，使得目標(biāo)運動模式具備不確定性。這種不確定性導(dǎo)致目標(biāo)機動跟蹤成為一個混合估計問題。作為解決混合系統(tǒng)狀態(tài)估計的次優(yōu)算法，交互多模型算法(IMM）是國內(nèi)外雷達(dá)數(shù)據(jù)處理中使用較為普遍的跟蹤算法。利用交互式多模型算法對當(dāng)前時刻目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計時，考慮每個模型都有可能成為當(dāng)前有效的系統(tǒng)模型，每個濾波器的初始條件都是基于前一時刻各條件模型濾波結(jié)果的合成。

影響交互多模型算法性能的一個關(guān)鍵因素是目標(biāo)運動模型集的選擇。以往對飛機目標(biāo)的運動建模中，常選用常速度模型(CV 模型）和Singer 模型［4］。CV模型反映了目標(biāo)常速度沿直線飛行時的運動狀態(tài)，Singer 模型反映目標(biāo)加速度為零均值一階馬爾科夫過程時目標(biāo)的運動狀態(tài)。這兩種模型的運動方程是線性的，能很好地擬合目標(biāo)直線航路飛行下一時刻狀態(tài)與當(dāng)前時刻狀態(tài)之間的遞推關(guān)系。但是，當(dāng)前各國主力戰(zhàn)機都已具備反電子偵察手段，飛行員在獲知戰(zhàn)機被防空導(dǎo)彈系統(tǒng)鎖定的情報時會操縱戰(zhàn)機做大范圍高強度的機動飛行直至擺脫鎖定。在這一系列戰(zhàn)術(shù)動作中，飛機的航路不再是直線，使用CV和Singer 模型進(jìn)行跟蹤必然精度下降甚至失跟。

因此，本文提出了一種考慮轉(zhuǎn)彎機動的交互多模型濾波(UKF-IMM3）方法。該方法的模型集包括非機動段常速運動模式CV 模型、直線機動模式Singer模型和曲線機動模式常速轉(zhuǎn)彎模型(Constant Turn，CT 模型）。

整個UKF-IMM3 濾波方法的執(zhí)行流程如圖1所示:

(1）對雷達(dá)量測作坐標(biāo)變換，計算變換導(dǎo)致誤差的前兩階矩。根據(jù)一階矩對變換后量測進(jìn)行無偏修正，根據(jù)二階矩構(gòu)造量測噪聲協(xié)方差矩陣。

(2）使用3個模型濾波器并行執(zhí)行當(dāng)前時刻點跡的濾波，CV和Singer 模型使用卡爾曼濾波器，CT 模型使用不敏卡爾曼濾波器。

(3）根據(jù)各濾波器的協(xié)方差矩陣分配權(quán)重，計算各濾波器輸出的加權(quán)結(jié)果作為對當(dāng)前點跡的整體濾波輸出。

圖1 UKF-IMM3 濾波方法的執(zhí)行流程

1.2 二維修正無偏的量測轉(zhuǎn)換

對于雷達(dá)來說，目標(biāo)的測量通常在空間極坐標(biāo)系中完成，而后續(xù)的量測數(shù)據(jù)處理是在直角坐標(biāo)系中完成。在將雷達(dá)量測數(shù)據(jù)用于數(shù)據(jù)處理之前，需要通過合適的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法把量測數(shù)據(jù)從極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中。Duan［5］等在2004年提出的修正無偏的量測轉(zhuǎn)換是目前從極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的精度較高的計算方法。

對于量測數(shù)據(jù)距離r、方位θ，其具有距離量測誤差~r、方位量測誤差~θ，兩者相互獨立，滿足高斯分布，均值為零且標(biāo)準(zhǔn)差分別為δr，δθ。其坐標(biāo)變換公式為

量測噪聲矩陣為

其中

使用修正無偏量測轉(zhuǎn)換之后對于X，Y的數(shù)據(jù)可以執(zhí)行后續(xù)的解耦濾波。

1.3 交互多模型算法

交互多模型算法是一個遞推算法。該算法的一個循環(huán)過程如下［6］:

步驟1 輸入交互

模型預(yù)測概率:

混合概率:

其中i，j=1，…，r。

濾波器初始狀態(tài)估計:

其中j=1，…，r。

步驟2 模型匹配濾波與預(yù)測

卡爾曼濾波:

把濾波結(jié)果作為下一時刻與模型Mj相匹配的濾波輸入變量，然后每個濾波器按照各自的卡爾曼濾波算法進(jìn)行狀態(tài)濾波得到各自的狀態(tài)估計^Xi(k|k）及協(xié)方差矩陣Pi(k|k）。

計算似然函數(shù)Λj(k）:

步驟3 模型概率更新

計算模型Mj的后驗概率:

步驟4 輸出綜合

IMM 濾波方法在一個濾波周期內(nèi)同時進(jìn)行多個基于不同目標(biāo)運動模型的濾波器工作的算法，該算法整體狀態(tài)估計通常為多個濾波器狀態(tài)估計的有效混合。通過同時使用多個模型，有效的解決了估計過程中由于目標(biāo)模型的不確定性而帶來的困難。

1.4 不敏卡爾曼濾波(UKF）

UKF 是基于不敏變換發(fā)展起來的。它通過一組確定大小的樣本點來反映狀態(tài)向量的分布，經(jīng)過任意非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換后，這些樣本點仍能夠很好地反映狀態(tài)的分布，從而精度可以逼近2 階以上［7］。詳盡的UKF算法步驟可以參見文獻(xiàn)［8-9］。

2 運動模型

2.1 CV 模型

離散化后二維CV 模型的時間系統(tǒng)表達(dá)式為

其中，ω(k）是均值為零、方差為δ2的高斯白噪聲。

2.2 Singer 模型

Singer 模型把機動噪聲作為有色噪聲建立數(shù)學(xué)模型，認(rèn)為目標(biāo)加速度是具有指數(shù)自相關(guān)的零均值隨機過程。

離散化后二維Singer 模型的時間系統(tǒng)表達(dá)式為

其中，ω(k）是零均值白噪聲過程;方差為2ασ2，σ2為機動加速度方差，α 是機動時間常數(shù)τ的倒數(shù)，其取值依賴于機動時間持續(xù)長短。

2.3 CT 模型

由于武器系統(tǒng)應(yīng)對的多是敵方目標(biāo)，在缺乏目標(biāo)類型的先驗知識的情況下，敵目標(biāo)機動能力無法確定，也就不能得到敵目標(biāo)圓周運動的角速度先驗，所以本文的濾波算法中加入了未知轉(zhuǎn)彎角速度ω的CT 運動模型［10］。

在未知轉(zhuǎn)彎角速度ω的CT 模型中，目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角速度作為狀態(tài)向量中的一個分量需要估計。此時擴展的目標(biāo)狀態(tài)向量為

離散二維CV 模型的時間系統(tǒng)表達(dá)式為

3 仿真實驗

實驗采用Matlab (2008a）軟件進(jìn)行仿真計算。實驗場景包含了對目標(biāo)9G 加速度的機動規(guī)避和多次機動的仿真模擬。仿真產(chǎn)生的航跡數(shù)據(jù)加入量測噪聲，假設(shè)雷達(dá)距離量測精度為60 m，方位角量測精度為0.1°，跟蹤數(shù)據(jù)率為16 Hz。實驗中對本文提出的使用CV、Singer、CT 運動模型的交互多模型不敏卡爾曼濾波算法(UKF-IMM3算法）與現(xiàn)有的使用CV、Singer 運動模型的交互多模型卡爾曼濾波算法(KFIMM2算法）采用蒙特卡羅仿真(獨立運行100 次）進(jìn)行對比分析。

3.1 實驗場景1

在航路仿真的過程中，目標(biāo)飛行速度設(shè)置為1260 km/h。假設(shè)雷達(dá)站處于坐標(biāo)原點，目標(biāo)從(137 km，143 km）處進(jìn)入，向站直線飛行80 km，然后以9 G的加速度逆時針轉(zhuǎn)半圈，之后背站直線飛行20 km，再以9G的加速度順時針轉(zhuǎn)半圈，最后直線飛向雷達(dá)站。其中一次仿真加噪的航路如圖2所示。

圖2 場景1 航路仿真圖

在模型狀態(tài)方程的設(shè)計上，CV 模型選擇小的噪聲方差qcv=1e－6以準(zhǔn)確模擬直線飛行;Singer模型選擇噪聲方差qsinger=1和α=1/20 提高模型的適應(yīng)性，避免濾波發(fā)散;由于CT 模型的先驗角速度不可靠，所以設(shè)置大的噪聲方差qcT=1。

圖3 顯示了跟蹤場景①航路時UKF-IMM3算法各模型的概率變化。在320 s 附近和410 s 附近，CT模型的概率明顯上升達(dá)到3個模型概率的最大值，此時正是目標(biāo)進(jìn)行機動轉(zhuǎn)彎的時刻;其余時間CV 模型和Singer 模型的概率都大于CT 模型(CV 模型的概率大于Singer 模型），符合目標(biāo)進(jìn)行直線飛行的運動狀態(tài)。

圖3 場景1 跟蹤UKF-IMM3 各模型的概率

圖4 是兩種算法對場景1 跟蹤的X和Y 位置均方根誤差圖(實驗數(shù)據(jù)圖中的曲線根據(jù)16 Hz為刻度的數(shù)據(jù)點繪制，為了圖形的清晰，僅在每隔10 s的數(shù)據(jù)點畫上標(biāo)識符號，下同）。其中加號線是量測的誤差曲線，叉號線是KF-IMM2的誤差曲線，圈號線是UKF-IMM3的誤差曲線。經(jīng)過10 s后兩種算法逐步收斂。在300 s 前KF-IMM2算法優(yōu)于UKF-IMM3算法。到了320 s和410 s 附近，目標(biāo)進(jìn)行快速機動，KFIMM2算法的模型失配，導(dǎo)致均方根誤差有兩次大的躍升，其后精度一直差于UKF-IMM3算法;而UKFIMM3算法包含了處理機動的CT 模型，其均方根誤差在這兩個時間點沒有大的波動，整個跟蹤過程中誤差曲線基本光滑。

圖4 場景1 跟蹤的位置均方根誤差

圖5 是兩種算法對場景1 跟蹤的X和Y 速度均方根圖。其中叉號線是KF-IMM2 速度誤差曲線，圈號線是UKF-IMM3 速度誤差曲線。在10 s 鐘跟蹤之后，兩種算法逐步收斂。到了320 s和410 s 附近，KFIMM2算法的均方根誤差有兩次大幅度的躍升，同時UKF-IMM3算法的均方根誤差也發(fā)生躍升，但是躍升幅度小于KF-IMM2。整體而言，UKF-IMM3的速度均方誤差小于KF-IMM2的誤差。

圖5 場景1 跟蹤的速度均方根誤差

表1 記錄了場景1中兩種算法跟蹤全過程的X、Y坐標(biāo)位置反算回雷達(dá)極坐標(biāo)系后計算得到的全局的距離均方根誤差和全局的方位均方根誤差。在直線飛行段，UKF-IMM3的距離和方位精度不如KF-IMM2;在機動飛行段，UKF-IMM3的精度則好于KF-IMM2。全局來看，UKF-IMM3 距離誤差是量測誤差的24.5%，方位誤差是量測誤差的20.0%;與KF-IMM2 相比，距離誤差減小了11.9%，方位誤差減小了33.3%。

表1 場景1 跟蹤距離和方位的均方根誤差對比

3.2 實驗場景2

為了模擬實戰(zhàn)中敵方目標(biāo)躲避我方雷達(dá)鎖定的戰(zhàn)術(shù)動作，仿真了目標(biāo)高加速度多次機動的航跡:目標(biāo)開始時從150 km 遠(yuǎn)處向站飛行，直線飛行1 min后以9G加速度逆時針轉(zhuǎn)一個整圓，而后直線飛行1 min 再以9G 加速度順時針轉(zhuǎn)整圓，繼續(xù)重復(fù)如上運動2 次，最后向站飛行1 min。目標(biāo)保持1260 km/h的恒定線速度。其中一次仿真加噪的航路如圖6所示。

圖6 場景2 航路仿真圖

圖7 顯示了跟蹤場景2 航路時UKF-IMM3算法各模型的概率變化。在整個跟蹤過程中，CT 模型的概率有6 次明顯超過CV和Singer 模型的概率之和，符合目標(biāo)6 次機動的運動模式。

圖7 場景2 跟蹤UKF-IMM3 各模型的概率

圖8 是兩種算法對場景2 跟蹤的X和Y 位置均方根誤差圖。跟蹤10 s后兩種算法逐步收斂。在整個跟蹤過程中，KF-IMM2算法的均方根誤差有6 次明顯的躍升，對應(yīng)目標(biāo)進(jìn)行機動時KF-IMM2的運動模型與實際運動模式失配;而UKF-IMM3 由于包含CT 模型可以光滑的處理目標(biāo)機動過程。經(jīng)過6 次機動，UKF-IMM3的位置均方根誤差明顯小于KF-IMM2的誤差。

圖8 場景2 跟蹤的位置均方根誤差

圖9 是兩種算法對場景1 跟蹤的X和Y 速度均方根圖。在目標(biāo)做6 次機動的時刻，KF-IMM2算法的速度誤差都有大幅躍升;在機動時刻UKF-IMM3算法的速度誤差也有增大，但是增大幅度小于KF-IMM2。從第1 次機動開始，KF-IMM2的X 坐標(biāo)速度的誤差明顯大于UKF-IMM3，同樣的，KF-IMM2的Y 坐標(biāo)速度的誤差也略大于UKF-IMM3。

圖9 場景2 跟蹤的速度均方根誤差

表2 記錄了場景2中兩種算法跟蹤全過程的X，Y 坐標(biāo)位置反算回雷達(dá)極坐標(biāo)系后計算得到的全局的距離均方根誤差和全局的方位均方根誤差。在機動段，UKF-IMM3算法精度的提升非常明顯。全局上，UKF-IMM3 距離誤差是量測誤差的32.2%，方位誤差是量測誤差的20.0%;與KF-IMM2 相比，距離誤差減小了46.4%，方位誤差減小了66.7%。

表2 場景2 跟蹤距離和方位的均方根誤差對比

實驗結(jié)果顯示，在高數(shù)據(jù)率跟蹤時UKF-IMM3 對目標(biāo)快速機動的反應(yīng)能力比KF-IMM2 更強。在目標(biāo)作快速機動時，通過直線來擬合機動曲線的KF-IMM2算法對于每個機動轉(zhuǎn)彎都會產(chǎn)生較大的跟蹤誤差，出現(xiàn)的時機就在目標(biāo)的距離變化率由正轉(zhuǎn)負(fù)或是由負(fù)轉(zhuǎn)正時;而使用UKF-IMM3算法使用的CV、Singer、CT 模型集則更好地擬合了目標(biāo)的運動模式，特別是在目標(biāo)執(zhí)行多次快速機動時CT 模型的介入明顯減小跟蹤的誤差。

4 結(jié)束語

跟蹤制導(dǎo)雷達(dá)要求數(shù)據(jù)處理軟件能直接跟武器系統(tǒng)鉸鏈，直接引導(dǎo)武器系統(tǒng)去打擊目標(biāo)，所以要求數(shù)據(jù)處理軟件跟蹤精度高，跟蹤延遲小，穩(wěn)定度高。而跟蹤濾波正是影響制導(dǎo)雷達(dá)數(shù)據(jù)處理跟蹤精度的關(guān)鍵問題。本文提出一種使用未知角速度ω的CT 模型的交互多模型(UKF-IMM3）跟蹤方法，此方法具有如下優(yōu)勢:

(1）采用交互多模型的結(jié)構(gòu)，適合跟蹤目標(biāo)機動/非機動飛行的全過程。

(2）針對現(xiàn)有的算法使用直線模型來擬合機動曲線，難以精確跟蹤目標(biāo)快速機動的問題。UKF-IMM3通過加入未知角速度ω的CT 模型，更好的擬合缺乏先驗信息目標(biāo)的運動模式，適合于防空系統(tǒng)對敵方目標(biāo)直線段和機動段的全過程跟蹤。

(3）現(xiàn)有的跟蹤方法使用線性濾波器跟蹤會引入較大的線性誤差，而本文的方法通過使用不敏卡爾曼濾波具備更好跟蹤精度。

仿真實驗設(shè)計了兩個實驗場景，包含了目標(biāo)執(zhí)行蛇形規(guī)避和多次快速機動的仿真。與現(xiàn)有的以直線擬合機動的濾波算法相比，本文提出的方法顯著地提高了跟蹤精度，同時在目標(biāo)轉(zhuǎn)入機動的時刻具有一定的識別能力和魯棒的跟蹤性能。今后的工作集中在對于UKF-IMM3算法速度跟蹤性能上的調(diào)優(yōu)，以及算法向工程應(yīng)用的轉(zhuǎn)化。

［1］黃槐，齊潤東，文樹梁.制導(dǎo)雷達(dá)技術(shù)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2006.

［2］王小謨，張光義.雷達(dá)與探測——信息化戰(zhàn)爭的火眼金睛［M］.2 版.北京:國防工業(yè)出版社，2008.

［3］何友，修建娟，張晶煒，等.雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用［M］.2 版.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［4］Li X R，Jilkov V P.Survey of Maneuvering Target Tracking Part I:Dynamic Models［J］.IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems，2003，39(4）:1333-1364.

［5］Duan Z S，Han C Z，Li X Rong.Comments on“unbiased converted measurements for tracking”.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2004，40(4）:1374-1377.

［6］Li X R，Jilkov V P.Survey of Maneuvering Target Tracking Part V:Multiple-Model Methods［J ］.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2005，41 (4）:1255-1321.

［7］Julier S J，Uhlmann J K.Unscented Filtering and Nonlinear Estimation［J］.Proc.of the IEEE，2004，92 (3）:401-422.

［8］單奇，鈕俊清，李川.炮位偵校雷達(dá)的數(shù)據(jù)處理研究［J］.雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)，2010，8(2）:171-176.

［9］鈕俊清，單奇，任清安，等.跟蹤彈道導(dǎo)彈全階段的可變多模型方法［J］.雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)，2011，9(3）:224-231.

［10］韓崇昭，朱洪艷，段戰(zhàn)勝，等.多源信息融合［M］.2 版.北京:清華大學(xué)出版社，2010.