徐 壯，竺小松，李陳磊

(合肥電子工程學(xué)院，合肥 230031)

0 引言

多載波信號(hào)傳輸技術(shù)由于其頻譜利用率高、抗干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn)，在通信系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用，例如用于多載波雷達(dá)系統(tǒng)、JTIDS 干擾系統(tǒng)以及各種頻率分集系統(tǒng)等［1-2］。由于多載波信號(hào)是由多個(gè)正弦子載波組成，隨著子載波數(shù)的增加，其波形的幅值呈高斯分布，會(huì)形成高于平均幅度的時(shí)域尖峰，也就是峰值功率。一般情況下，載波數(shù)目N 越大，峰值功率也越大。為了不失真地傳輸這些高峰值功率的多載波信號(hào)，發(fā)送端對(duì)高功率放大器的線性度要求很高，同時(shí)接收端對(duì)前端放大器以及A/D 變換器的線性度要求也很高且輸出效率很低。

峰值功率很大程度上取決于正弦子載波的初始相位，多載波信號(hào)以相同相位相加時(shí)會(huì)產(chǎn)生高于平均幅度的時(shí)域尖峰，不同相位相加時(shí)會(huì)使信號(hào)的平均幅度下降。因此，通過采取尋找最佳的正弦子載波初始相位的辦法，可以有效地降低信號(hào)的峰值功率。已有許多文獻(xiàn)［3-5］對(duì)尋找最佳的初始相位序列進(jìn)行了研究。1954年，Shapiro和Rudin 提出了一種相位序列［3］，當(dāng)子載波數(shù)為2的冪次時(shí)，PAPR 降至3 dB左右。1965年，Newman 提出了一種相位序列［4］，當(dāng)子載波數(shù)為3時(shí)，其性能最差，PAPR 達(dá)到3.68dB，但隨著子載波數(shù)的增加，其PAPR 逐漸收斂于2.6 dB。1994年，S.Narahashi 提出了一種相位序列［5］，其性能與Newman相位序列接近，只是當(dāng)子載波數(shù)小于6時(shí)，其性能稍優(yōu)于Newman 相位序列。由于Newman 相位序列和Narahashi 相位序列都是在N 趨向無窮大時(shí)通過逼近理論推導(dǎo)出來的，在N的取值不是很大的情況下，其結(jié)果并不理想。本文采用共軛梯度法對(duì)Newman 相位序列進(jìn)行了優(yōu)化，并對(duì)其結(jié)果與Newman 法和Narahashi 法所得的結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 兩種著名的初相優(yōu)化方案

N個(gè)多載波信號(hào)相加可表示為

為了方便討論和分析，假設(shè)Ak在整個(gè)時(shí)間域中相等，則s(t）的瞬時(shí)功率為

根據(jù)PAPR的原始定義得

其中

Newman 相位

Narashina 相位

表1分別給出了當(dāng)N 不同時(shí)采用Newman 法和Narahashi 法所求得得PAPR 值［6］。

2 共軛梯度算法原理

共軛梯度法是利用目標(biāo)函數(shù)梯度逐步產(chǎn)生共軛方向作為線搜索方向的方法［7］，每次搜索方向都是在目標(biāo)函數(shù)梯度的共軛方向上，搜索步長通過一維極值算法確定。

表1 不同方法的PRPR 結(jié)果比較

共軛梯度法搜索的第一步是沿負(fù)梯度方向。從任意點(diǎn)X(k）出發(fā)，按S(k）=－▽f (X(k））方向找到X(k+1），設(shè)按S(k+1）=－▽f (X(k+1））+βkS(k）來產(chǎn)生搜索方向。

在上式中βk的選擇上，應(yīng)使n 維歐氏空間En中的兩個(gè)非零向量S(k）與S(k+1）關(guān)于矩陣A 共軛。即

以AS(k）乘以兩邊，于是有

由(7）、(8）兩式可得

由于計(jì)算不方便，通過簡化可得

綜上所述，N 維目標(biāo)函數(shù)共軛梯度搜索可表示為

3 基于共軛梯度法降低多載波信號(hào)的峰均比

求解峰均值過程可以等價(jià)為尋找使得P0(t）最小的{θk}的過程，但是實(shí)現(xiàn)的過程是非常困難的。為了便于用共軛梯度法進(jìn)行搜索，進(jìn)行了下列數(shù)學(xué)分析推導(dǎo)［8］。根據(jù)施瓦茲不等式有下列不等式成立:

由方差公式 D [ X ]=E [ X2]－E2［X］，則EP0(t）的方差δ2為

由(14）、(15）兩式得

可見，如果δ2能夠取得最小，就可以推出P0(t）此時(shí)也是最小，而δ2最小是一個(gè)多參數(shù)(含θ1θ2…θN）的目標(biāo)函數(shù)，即轉(zhuǎn)化為用共軛梯度法求無約束多維極值問題minδ2，θk∈Rn。

具體的算法步驟如下:

(2）若‖▽?duì)?(θ1）‖≤ε，停止，極小值點(diǎn)為θ1，否則轉(zhuǎn)步驟(3）;

(3）取p1=－▽?duì)?(θ1）;

(5）若‖▽?duì)?(θk+1）‖≤ε，停止，極小值點(diǎn)為θk+1，否則轉(zhuǎn)步驟(6）;

(6）若k+1=n，令θ0=θn，轉(zhuǎn)步驟(3），否則轉(zhuǎn)步驟(7）;

4 仿真分析

在matlab的開發(fā)環(huán)境下，分別仿真計(jì)算了子載波數(shù)N=2～36時(shí)信號(hào)s(t）的幅值和PAPR(dB），設(shè)共軛梯度法的搜索精度ε=10－6、s(t）的幅值A(chǔ)=1。在同等情況下，與Newman方法和Narahashi方法進(jìn)行了性能比較。

圖1為載波數(shù)2≤N≤36時(shí)3 種算法降低PAPR的比較圖。如圖1所示，在N ≤10的情況下，共軛梯度法求的PAPR 要明顯低于Newman 法和Narahashi 法所得的PAPR 值。

圖1 3 種算法PAPR 比較

圖2為載波數(shù)N=16時(shí)3 種算法的振幅瞬時(shí)包絡(luò)圖。從圖中可看出，文中的算法能更有效地改善多載波的包絡(luò)特性。

圖2 N=16時(shí)多載波信號(hào)的包絡(luò)圖

5 結(jié)束語

本文分析了抑制多載波高峰均值的相位組合理論，推導(dǎo)簡化了初始相位來降低峰均值的公式，將峰均比的抑制問題轉(zhuǎn)化為N 維變量的尋優(yōu)問題。結(jié)合共軛梯度法收斂速度快、穩(wěn)定性高的優(yōu)點(diǎn)，將其成功地運(yùn)用到峰均比抑制的問題上。實(shí)驗(yàn)仿真表明，在不過分增加復(fù)雜度的情況下，新方法要優(yōu)于Newman 法和Narahashi 法。從圖1 可看出，隨著N的增加，其峰均值要比Newman 法低0.2～0.3 dB。從圖2 可看出，文中的算法能更有效地改善多載波的包絡(luò)特性，使其包絡(luò)更具有平穩(wěn)性。

［1］D R Gimlin，C R Patisul.On minimizing the Peakto-average power ratio for the sum of N sinusoides［J］.IEEE Transactions on Communications，1993，41(4）:631-635.

［2］P Chaudury，W Mohr ，S Onoe.The 3GPP proposal for IMT-2000［J］.IEEE Communication Magazine，1999，37(12）:72-81.

［3］Boyd Stephen.Multicarrier signals with low crest factor ［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1986，33(10）:1018-1022.

［4］D J Newman.An L1 external problem for polynomials［J］.Proc.Amer.Math.Soc.1965，16(5）:1287-1290.

［5］S Narahashi，T Nojima.New phasing scheme of N-multiple carriers forreducing peak-to-average power ratio ［J］.Electronics Letters，1994，30(17）:1382-1383.

［6］江濤.OFDM 無線通信系統(tǒng)中峰均功率比的研究［D］.武漢:華中科技大學(xué)，2004.

［7］郭科，陳聆，魏有華.最優(yōu)化方法及其應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［8］S Narahashi，K Kumagai，T Nojima.Minimising peak-to-average powerratio of multitone signals using steepest descent method［J］.IEEE Electronics Letters，1995，31(18）:1552-1554.