陳 楊

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 210003)

0 引言

多體系統(tǒng)是指通過一定方式相互連接的多個(gè)剛體或者剛體與彈性體的復(fù)雜系統(tǒng)。近年來，多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題被受到普遍關(guān)注，如何建模和數(shù)值解析是對(duì)其研究的主要內(nèi)容。多體系統(tǒng)的位形空間的位數(shù)增大，使得動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)也增大，加上多種系統(tǒng)的耦合等因素使動(dòng)力學(xué)方程出現(xiàn)剛性問題，提高動(dòng)力學(xué)問題求解的精度和穩(wěn)定性變得越來越重要。

三維多剛體系統(tǒng)與二維多剛體系統(tǒng)相比運(yùn)動(dòng)分析比較復(fù)雜，但求解方法相似，也是由位置坐標(biāo)和方位坐標(biāo)組成。位置坐標(biāo)表示較為固定，是由坐標(biāo)系基點(diǎn)坐標(biāo)來確定;方位坐標(biāo)則具有多種不同的形式，如方向余弦矩陣、歐拉角、卡爾丹角、有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)、歐拉參數(shù)等，最常用的是歐拉角和歐拉參數(shù)。

對(duì)多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的求解最早是采用運(yùn)動(dòng)-彈性動(dòng)力學(xué)方法，即KED(Kinetic Elastic Dynamic Amasses）法［1］。該法不考慮構(gòu)件的彈性變形對(duì)其大范圍運(yùn)動(dòng)的影響，通過對(duì)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析得到構(gòu)件運(yùn)動(dòng)特性，且考慮構(gòu)件的慣量特性，以慣性力的形式加到構(gòu)件上，根據(jù)慣性力和系統(tǒng)外力對(duì)構(gòu)件進(jìn)行彈性變形和強(qiáng)度、剛度的分析，實(shí)質(zhì)上是把多柔體系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄤傮w系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的簡(jiǎn)單疊加。該方法不能滿足輕質(zhì)、高速的現(xiàn)代機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析。為了能夠更加真實(shí)地分析多柔體系統(tǒng)的機(jī)械特性，考慮彈性變形對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)的影響，人們提出用混合坐標(biāo)來描述柔性體變形［2］。建立浮動(dòng)坐標(biāo)系，將構(gòu)件的變形看作是浮動(dòng)坐標(biāo)系的大范圍運(yùn)動(dòng)與相對(duì)于該坐標(biāo)系的變形的疊加，用大范圍浮動(dòng)系的剛體坐標(biāo)與柔性體的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

1 多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程建立

針對(duì)不同復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)模型，建立系統(tǒng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)任意剛體建立6個(gè)廣義坐標(biāo)帶乘子的拉格朗日方程及相應(yīng)的約束方程［3］:

式中，T為系統(tǒng)的總動(dòng)能，qj為描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，ψi為系統(tǒng)的約束方程，F(xiàn)j為在廣義坐標(biāo)方向上的廣義力，λj為m×1的拉格朗日乘子列陣。

式(1）、(2）可以改寫成下面的形式:

動(dòng)能可以定義為

代入以上方程中，整理成簡(jiǎn)化的矩陣形式，可以得到

式中，x=(x1，x2，…，xn）T，ψ=(ψx1，ψx2，…，ψxn），M和Q*分別為系統(tǒng)的6×6 廣義質(zhì)量對(duì)角陣和6×1 廣義列陣。

由以上可知，對(duì)于多剛體系統(tǒng)，把力和加速度聯(lián)系在一起得到6個(gè)一階動(dòng)力學(xué)方程。

式中q=(x，y，z，ψ，θ，φ）T。

6個(gè)一階運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，將位置和速度聯(lián)系在一起:

另外，還有約束代數(shù)方程、外力定義方程以及自定義的代數(shù)微分方程。

式中，u為廣義坐標(biāo)的微分，f為外力和約束組成，t 是時(shí)間。

若令y=[q，u]T為狀態(tài)向量，那么系統(tǒng)方程可以改寫為

2 多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程建立

柔性體動(dòng)力學(xué)的建模方法與多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似。根據(jù)選取的參考坐標(biāo)系不同，柔性體建模可以分為3類:浮動(dòng)坐標(biāo)系方法、隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系方法和慣性坐標(biāo)系方法［4］。浮動(dòng)坐標(biāo)系法使多剛體動(dòng)力學(xué)軟件擴(kuò)展應(yīng)用于多柔體系統(tǒng)成為可能，是目前多柔體系統(tǒng)建模中廣泛使用的方法。

柔性體的動(dòng)力學(xué)方程可以從拉格朗同方程導(dǎo)出［5］:

式中，ψ為約束方程;λ為對(duì)應(yīng)于約束方程的拉氏算子;Q'為投影到ξ 上的廣義力;L為拉格朗日項(xiàng)，定義為L(zhǎng)=T－W，T、W分別為系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能;Γ為能量消耗函數(shù)。

將所得到的T、W、Γ 代入式(13），求得最終的運(yùn)動(dòng)微分方程為

3 算例

本文以通用型雷達(dá)天線框架為例進(jìn)行剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)沖擊響應(yīng)計(jì)算。天線框架在收到?jīng)_擊載荷時(shí)，主要是由于自身重量和TR組件的重量產(chǎn)生的慣性力使得天線框架產(chǎn)生沖擊響應(yīng)，并產(chǎn)生變形。TR組件與框架之間的連接靠其他連接件過渡，連接件最終傳遞給TR 框架的力矩通過螺釘螺栓轉(zhuǎn)換為三方向的受力。TR組件結(jié)構(gòu)強(qiáng)度相對(duì)較大，可以忽略其自身的變形。另外，由于天線框架靠基座法蘭與基座螺栓連接，可以忽略其基座法蘭的變形。

3.1 模型約束條件及載荷

為提高計(jì)算效率，減少計(jì)算時(shí)間，將采用剛?cè)狁詈嫌?jì)算的方法，對(duì)主要研究對(duì)象天線骨架進(jìn)行離散化處理，將骨架內(nèi)的TR組件簡(jiǎn)化剛性體。天線框架與基座法蘭進(jìn)行固定連接;基座法蘭設(shè)置沖擊響應(yīng)驅(qū)動(dòng);TR組件與天線框架設(shè)置6 自由度的柔性連接。如圖1所示。

圖1 天線框架約束設(shè)置示意圖(隱藏TR組件）

設(shè)備在作戰(zhàn)和航行時(shí)應(yīng)能耐受艦船自身武器發(fā)射、非接觸性爆炸或高強(qiáng)度碰撞等非重復(fù)性的強(qiáng)烈沖擊，并連續(xù)有效地工作。沖擊載荷參照《艦船環(huán)境條件要求 機(jī)械環(huán)境》(GJB1060.1-91）計(jì)算求得。

3.2 計(jì)算結(jié)果及分析

天線框架在受到橫向沖擊時(shí)，最大應(yīng)力出現(xiàn)在中間立柱部分，為14.6 MPa，如圖2所示;天線框架在受到縱向沖擊時(shí)，最大應(yīng)力出現(xiàn)在反射面法蘭后部的立柱部分，為13.0 MPa，如圖3所示;天線框架在受到垂向沖擊時(shí)，最大應(yīng)力也出現(xiàn)在反射面法蘭后部的立柱部分，為39.3 MPa，如圖4所示。

圖2 天線框架受橫向沖擊時(shí)應(yīng)力分布圖

圖3 天線框架受縱向沖擊時(shí)應(yīng)力分布圖

圖4 天線框架受垂向沖擊時(shí)應(yīng)力分布圖

4 結(jié)束語

本文主要研究了艦船雷達(dá)設(shè)備的沖擊響應(yīng)計(jì)算方法，并以通用型雷達(dá)天線框架為例進(jìn)行仿真計(jì)算，求得了天線框架在強(qiáng)沖擊載荷條件下的應(yīng)力響應(yīng)分布情況。希望在以后的工作中，繼續(xù)將仿真計(jì)算與試驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合，整理出一套準(zhǔn)確、可靠的計(jì)算方案，為艦船雷達(dá)設(shè)備的抗沖擊設(shè)計(jì)提供技術(shù)指導(dǎo)。

［1］Schiehlen W.Multibody system dynamics:Roots and perspectives［J］.Multibody system Dynamics，1997(l）:149-188.

［2］Likens P W.Finite element appendage equation for hybrid coordinate dynamic analysis［J］.Journal of Solids ＆ Structures，1972(8）:709-731.

［3］楊輝.剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)系統(tǒng)的建模理論與試驗(yàn)研究［D］.上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文，2002.

［4］WASFY T M，NOOR A K.Computational strategies for flexible multibody systems［J］.Appl Mech Rev，2003，56(6）:553-613.

［5］劉鑄永.剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模理論與仿真技術(shù)研究［D］.上海交通大學(xué)博士學(xué)位論文，2008.