周 凱 段芳芳 任 強

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

在雷達的研制和軍事應用中，經(jīng)常會結合GPS全球定位系統(tǒng)對雷達的測量精度進行評估或者對目標進行精準的定位。通過雷達獲取目標的GPS位置(如:無人機雷達)，然后通知作戰(zhàn)系統(tǒng)中的其它戰(zhàn)機或指揮中心對目標進行打擊是當今戰(zhàn)場上經(jīng)常采用的作戰(zhàn)方式。

這樣就要在雷達站心坐標系和GPS坐標系(WGS84)之間進行相互轉換。在整個轉換過程中涉及到多個坐標系，但關鍵的一步可以簡化為大地直角坐標系和GPS坐標系之間的轉換。目前，由GPS坐標系到大地直角坐標系的轉化比較簡單，有嚴格的公式[1]:

其中，B、L、H分別為GPS坐標系的緯度、經(jīng)度和高。x，y，z為大地直角坐標系下的笛卡爾坐標。它們的物理含義如圖1所示。

O為地球參考橢球的球心，也是大地直角坐標系的原點;X，Y，Z為大地直角坐標系的三個坐標軸，X軸指向參考橢球的本初(起始)子午線，Z軸與地球自轉軸平行并指向參考橢球的北極，Y軸與X軸和Z軸相互垂直并構成一個右手系[1]。而在GPS坐標系下，點的位置由緯度B、經(jīng)度L和高度H表征。某點的大地緯度B是在該點所處子午面上所量測的赤道面與過該點的參考橢球面法線所夾的銳角，在赤道以北為正，在赤道以南為負。某點的大地經(jīng)度是在赤道面上所量測的從本初子午面到該點所處子午面間的夾角。而某點的大地高度是從參考橢球面沿過該點的發(fā)現(xiàn)量測至該點的距離。參考橢球面在該點上方，則大地高為正，在該點下方，大地高為負[1]。

圖1 大地直角坐標系及GPS坐標系示意圖

由這兩類坐標系的定義再結合圖1，不難看出，經(jīng)度L即目標點P在XY平面(赤道面)上的投影同原點的連線跟X軸之間的夾角。緯度B是直線SP同赤道面的夾角。S即為經(jīng)過P點的橢球面的法線在赤道面的交點。而M為該法線與橢球面的交點[8]。

從公式可以看出，經(jīng)度L可以直接求出，而B和H則相互嵌套，無法直接求出。這也就是從大地直角坐標系向GPS坐標系轉換的難點所在。由于沒有可以直接轉換的公式，目前較常采用的方法是迭代算法。由一個初始值不斷迭代，慢慢逼近真實值。而迭代算法也有其自身的問題:如不同的初始值，迭代次數(shù)不確定，這樣計算時間就不確定;有時候還會出現(xiàn)發(fā)散無法收斂的情況。

而直接算法在這兩方面就有著得天獨厚的優(yōu)勢，本文正是從兩種坐標系定義的本質入手，通過幾何關系研究一種直接轉換算法，這樣可以避免迭代法的不確定性并能嚴格保證轉換時間，這在某些應用場合是至關重要的。

2 直接轉化法的研究

為了簡化問題，把求解緯度B放到平面上來解決[2]，見圖 2。

圖2 平面內緯度示意圖

P仍為空間中一點，B為緯度，那么由緯度的定義可知，SP為橢球面的一條法線，交赤道面與S點，M點為法線與橢球面的交點[4]。

橢球即為地球，其長短半軸a、b已知，P點的直角坐標(xp，yp)也已知。M點既在橢圓上，也在直線SP上，這樣通過建立橢圓和法線方程，我們可以求出M點的坐標(xm，ym)，進而就可以求出緯度B。

2.1 建立方程組

其中(xm，ym)為法線上點坐標，本問題中可視為M點。這樣就可以建立方程組。首先，M點滿足橢圓方程，則有:

其次，P點在法線上，代入滿足法線方程，則有:

2.2 求解方程組

求解由(4)式和(6)式構成的方程組，由(6)式可得

將(7)式代入(4)式的橢圓方程，得到一個關于ym的一元四次方程:

下面的問題就是如何求解這個一元四次方程。

2.3 求解一元四次方程

假設要求解的一元四次方程形如

采用費拉里算法，消去x3項，配方后為:

要令上式右邊構成完全平方，則兩邊開方后可以形成兩個一元二次方程，就可以求出一元四次方程的四個根。

要使右邊構成完全平方式，令判別式Δ=0，即

化簡后為:

上式中除了y以外，其他都是已知數(shù)，求出y就可以求出一元四次方程的根。現(xiàn)在問題轉化為如何求解上述一元三次方程。

利用著名的卡爾丹公式求解形如下式的一元三次方程:

首先，做橫坐標平移y=x+s/3，平移后消去x2項，得到x3=px+q的形式，再令

x=a－b，代入上式得:

這時在x=a－b的同時，令p+3ab=0，則使上式變?yōu)閍3－b3=q，兩邊同時乘以27a2，則有

由于p=－3ab，可得:上式是一個關于a3的一元二次方程，求出a后可進一步求得b，y和根x。

綜上所述，經(jīng)過求解一元三次方程最終可以求得標準形式一元四次方程的解，也就可以求出文章中關于坐標系轉換的一元四次方程。

3 仿真分析

地球橢球的長短半軸分別為a=6378137.0m，b=6356752.31424m[2]。

利用MATLAB的符號函數(shù)庫對算法進行了仿真，仿真結果如下表1所示。

表1

誤差分析:

仿真結果表明該算法可行，并具有較高的精度，可以滿足工程需求。并有效解決了迭代算法的不確定性和運算量比較大的問題。

4 結論

本文從兩種坐標系的定義出發(fā)，通過幾何關系，推導出了從大地直角坐標系到GPS坐標系轉換的直接算法，使問題轉變?yōu)榍蠼庖粋€一元四次方程。接著，給出了求解一元四次方程的費拉里算法，并通過MATLAB符號函數(shù)庫對算法進行了仿真，仿真結果表明了該算法的可行性，并有效解決了迭代算法的不確定性和運算量大的問題。

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