李明亮

【摘要】按所含的因數(shù)（約數(shù)）的個(gè)數(shù)來分類，自然數(shù)可以三類——①質(zhì)數(shù)；②合數(shù)；③不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。在這種分類方法下，1和。都應(yīng)歸入“不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”之列。因?yàn)?。是一個(gè)特殊的自然數(shù)，“為了方便”，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書把。限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容之外。但是，在討論一些具體問題時(shí)，只依據(jù)“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”就把。排除，就可能違反同一律。

【關(guān)鍵詞】自然數(shù)；分類；質(zhì)數(shù)；合數(shù)；同一律

0是一個(gè)特殊的自然數(shù)。

在我國(guó)，1993年才給0在“自然數(shù)家族”上“戶口”。而在我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，直到2002年，“自然數(shù)家族”中才有0的“地位”。但是，0剛剛?cè)〉玫倪@個(gè)“合法地位”卻時(shí)常受到侵犯。

例如，有的教輔用書中，自然數(shù)至今還忽而包括0，忽而又不包括0。

小學(xué)數(shù)學(xué)中，自然數(shù)的分類方法有兩種。一是按能否被2整除來分——可分為偶數(shù)（能被2整除）和奇數(shù)（不能被2整除）——在這種分類方法下，0是偶數(shù)，這是沒有疑義的，并且在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中有明確的敘述。二是按所含因數(shù)（約數(shù)）的個(gè)數(shù)來分——可分為三類，即：①質(zhì)數(shù)（只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)），②合數(shù)（含有三個(gè)及三個(gè)以上的有限個(gè)因數(shù)），③不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)——在這種分類方法下，0的歸屬就不那么清晰了。在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教科書（如冀教版四年級(jí)上冊(cè)、人教版五年級(jí)下冊(cè)）中，給“質(zhì)數(shù)…‘合數(shù)”下了定義之后，又補(bǔ)充了一句：“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”，而沒有提到0。那么，0應(yīng)該歸入哪一類呢？

因?yàn)?有無數(shù)個(gè)因數(shù)（約數(shù)），所以它不是質(zhì)數(shù)；但把0歸入合數(shù)，它又無法分解質(zhì)因數(shù)（如果非要把0分解質(zhì)因數(shù)，則它的“質(zhì)因數(shù)”又必須包含0本身，并且有無數(shù)種分解方法），所以0也不是合數(shù)。所以，應(yīng)該把0歸入“不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”之列。

可在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，為什么沒有明確地給0一個(gè)“地位”呢？原因可能有二：一是對(duì)舊教科書的沿襲；二是為了方便，把0限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容之外。如，在人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)的“因數(shù)與倍數(shù)”單元中，有一句“注意：為了方便，在研究因數(shù)與倍數(shù)的時(shí)候，我們所說的數(shù)指的是整數(shù)（一般不包括0）?！奔浇贪鏀?shù)學(xué)教科書中雖然沒有這樣的話，但也是同樣的原因，把0限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容之外的。

順便說一句，數(shù)學(xué)的分支“數(shù)論”中的因數(shù)也是不包括0的（數(shù)論中的“因數(shù)”與乘法中的“因數(shù)”在意義上是有區(qū)別的）；《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”指出：“在1～100的自然數(shù)中，能找出某個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”（《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的規(guī)定與此完全相同），也沒有提到0。

為什么要把0限制在“因數(shù)和倍數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容之外呢？這是因?yàn)?是一個(gè)十分特殊的自然數(shù)：①0有無數(shù)個(gè)因數(shù)（約數(shù)），能被任何非0自然數(shù)整除，沒有最大的因數(shù)，但0不能做因數(shù)（約數(shù)）——這與“一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最大的因數(shù)是它本身”相矛盾。②任何一個(gè)非。自然數(shù)的最小倍數(shù)都是0，又與“一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身”相矛盾。③任何幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)都是0，求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)也就沒有意義了?！@樣，在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí)，0在其中會(huì)使學(xué)生感到很不方便。所以，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，把0限制在外是必要的。

但是，這一限制并沒有否定“0是自然數(shù)”這一事實(shí)。其實(shí)，這一限制恰好說明質(zhì)數(shù)、合數(shù)都不包括0。所以我認(rèn)為，在對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，不應(yīng)該忘記給。安排“一席之地”——不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。即使教科書上沒有說，教師在教學(xué)中做這么一點(diǎn)補(bǔ)充，讓學(xué)生對(duì)此有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí)，也是必要的。當(dāng)然，提出“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”之類的問題，讓學(xué)生討論更好（相信學(xué)生能討論出結(jié)果）。

對(duì)于這個(gè)問題，能不能做模糊處理（回避“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”的問題）呢？我認(rèn)為不妥。當(dāng)然，在不包括0的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù)，仍在不包括0的情況下應(yīng)用這兩個(gè)概念，是沒有問題的。但是，在不包括。的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù)，而在包括。的情況下應(yīng)用這兩個(gè)概念，就可能出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤。請(qǐng)看下面的例子。

在冀教版《數(shù)學(xué)·四年級(jí)上冊(cè)》的第95頁，第7題是“破譯電話號(hào)碼”。電話機(jī)上顯示的號(hào)碼是ABCDEFG——“A：10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)?！璆：既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。”答案是7235491。在這里，我們來討論與其有關(guān)的兩個(gè)問題。

1.把“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”理解成“不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)的數(shù)是1”，是不是正確呢？答案是否定的，因?yàn)槟婷}與原命題不是等價(jià)命題，互為逆否的命題才是等價(jià)命題。

2.上面這個(gè)問題是不是只有7235491這一個(gè)正確答案呢？

如果想讓這個(gè)問題只有這一個(gè)正確答案，那么就需要先限定電話號(hào)碼中沒有0。如果不這么限定，那就需要對(duì)0進(jìn)行討論——“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)、合數(shù)都不包括0，所以討論的結(jié)果就是有兩個(gè)正確答案——7235491和7235490。如果不限定電話號(hào)碼中沒有0，而又不考慮“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”，那么就違反了同一律。因?yàn)橥宦梢笪覀儯谶M(jìn)行論斷和推理過程中，每一個(gè)概念都應(yīng)該在同一的意義上來使用——在沒有。的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù)，就應(yīng)該在沒有。的情況下應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。

還有，在一些教輔用書和試卷上，常出現(xiàn)猜多位數(shù)的題，其中常見的一句話就是某一數(shù)位上的數(shù)“不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”，而給出的“標(biāo)準(zhǔn)答案”也只有一個(gè)——這一位上是1。這也是把“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”當(dāng)作“不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)的數(shù)是1”來推理的，同時(shí)也存在違反同一律的邏輯錯(cuò)誤。

避免此類邏輯錯(cuò)誤的方法就是，要么給0一個(gè)位置，要么別提出此類問題（如上述猜多位數(shù)的問題）。