鞏乾

【摘 要】平面上簡(jiǎn)單閉曲線的外接正方形問題是一道很有意思的平面幾何的問題，也是一道世界數(shù)學(xué)難題。本文嘗試著對(duì)一些簡(jiǎn)單的圖形，如三角形、四邊形等給出外接正方形的解答。對(duì)外接正方形的不同理解將產(chǎn)生不同的解答。本文論討論了外接正方形的兩種定義，并依此給出一些解答。本文所研究的內(nèi)容以及得出的理論可用于實(shí)際生活當(dāng)中，例如，可以作出三角形的最小外接正方形，這樣如運(yùn)用到材料生產(chǎn)中，可以大大節(jié)省材料，節(jié)約資源。

【關(guān)鍵詞】凸多邊形；三角形；正方形；外接正方形

平面幾何是一門基礎(chǔ)的內(nèi)容，也是博大精神的一門學(xué)問，甚至可以說是一種語言，是一種傳承了古代數(shù)學(xué)璀璨文化的特殊語言。

然而，在這門神圣的“語言”里面卻蘊(yùn)含著許多有趣的文藝。例如：平面上任意簡(jiǎn)單閉曲線都有外接正方形，是一道世界難題，至今仍無法解決。本文想做的工作就是從簡(jiǎn)單的凸多邊形入手，即從三角形開始，到正方形，長方形，梯形，平行四邊形，菱形……利用這些圖形的一些性質(zhì)，從中給出一些具體的解答。

本論文討論了外接正方形的兩種理解。首先從圖形的外接正方形的定義出發(fā)，引出圖形外接正方形的第一種定義方式，給出一些圖形，特別是三角形的外接正方形的存在性。多邊形額各頂點(diǎn)都在一個(gè)正方形的邊上為論文的外接正方形的第二種定義，按此定義討論三角形，正方形，長方形，一些梯形的外接正方形的存在性。

本文所研究的內(nèi)容以及得出的理論可用于世紀(jì)生活工作匯總，例如，可以做出三角形的最小外接正方形，這樣如運(yùn)用到日常生活生產(chǎn)中，都能夠讓使用者更加便捷。

1.外接正方形的定義

平面上，任意簡(jiǎn)單閉曲線，即不相交的封閉曲線，將平面分成兩個(gè)連通部分，一個(gè)有界，一個(gè)無界。我們討論有界的部分，其邊界就是已知的閉曲線，而它一定包含在一個(gè)矩形之內(nèi)，直觀上可以將矩形調(diào)節(jié)到盡可能的小，于是有下列定義。

定義：對(duì)于平面上的簡(jiǎn)單閉曲線，若存在一個(gè)長方形，使得該簡(jiǎn)單閉曲線完全落在長方形之內(nèi)且長方形的四邊都與簡(jiǎn)單閉曲線相切，則稱長方形為簡(jiǎn)單閉曲線的外接長方形，若此長方形為正方形的話，那么這個(gè)正方形就成為此簡(jiǎn)單閉曲線的外接正方形。

一個(gè)至今仍未解決的問題就是“平面上的任意簡(jiǎn)單閉曲線是否都存在其外接正方形”，我們就討論三角形的外接正方形問題。

2.外接正方形的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)

我們先給出一些外接正方形的分析和簡(jiǎn)單命題。

命題（一）（凸化性質(zhì)）若一個(gè)簡(jiǎn)單閉曲線有外接正方形，那么該圖形的凸包閉曲線也有外接正方形。

命題（二）若凸多邊形有兩個(gè)相鄰內(nèi)角都小于等于45度，那么則此凸多邊形有外接正方形。

實(shí)際上，可以以這兩內(nèi)角所夾的邊作為正方形的對(duì)角線，那么此正方形就是該凸多邊形的外接正方形。

命題（三）任意圓形都存在外接正方形。

作法：過圓形一條直徑的兩端作其垂線，然后再作圓的兩條切線并且垂直于先前的兩條垂線，所截得的四邊形就是圓形的外接正方形。

證明：兩條直線所截得的四邊形相鄰兩邊遲滯，且都與直徑相等，所以此四邊形為外接正方形。

注：由作法可知，任意圓都有無數(shù)個(gè)外接正方形。

3.三角形的外接正方形

假設(shè)存在一個(gè)正方形，在其內(nèi)部畫一個(gè)三角形，因?yàn)檫@樣的三角形可以有無數(shù)個(gè)，并且由于定義中要求其整個(gè)圖形都要落在這個(gè)正方形中且與四邊相切。

如圖1所示，則此正方形ABCD將可以繼續(xù)被壓縮成一個(gè)矩形AHFD直至不能再壓縮位置。如圖2所示情況不符合定義。因此有引理（一）：三角形的其中一個(gè)頂點(diǎn)必須和其外接正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合。

圖1 圖2

將三角形按內(nèi)角種類分為3類：①直角三角形②銳角三角形③鈍角三角形。

定理（1）：任意直角三角形都存在外接正方形。

證明：假設(shè)直角三角形BEF存在外接正方形ABCD，由引理（一）只能如圖3所示。

圖3

設(shè)兩條直角邊BF=b，EF=a，正方形邊長為m，∠ABF為θ，則∠EFD=θ，因?yàn)閎cosθ=m，acosθ=FD，則=，所以=≥1，即b≥a。

旋轉(zhuǎn)正方形ABCD，只需證明出0°≤θ≤45°則結(jié)論得證。

因?yàn)閙=bcosθ，而m=bsinθ+acosθ，所以，bcosθ=bsinθ+acosθ，

整理得

bsinθ=（b-a）cosθ

tanθ=

tanθ=1-

由0<≤1，得0°≤θ<45°，結(jié)論得證。

定理（2）：任意銳角三角形都存在外接正方形。

證明：因?yàn)殇J角三角形BEF存在外接長方形ABCD，如圖4所示：

圖4

設(shè)兩條邊BF=b，BE=c，且b≥c，正方形邊長為m，∠ABF為θ，∠FBE為α。

旋轉(zhuǎn)長方形ABCD，則當(dāng)bcosθ=csin（θ+α）時(shí)，長方形ABCD為正方形。

整理得：

bcosθ=csinθcosα+ccosθsinα，

cosθ（b-csinα）=csinθcosα，tanθ=

因?yàn)?°<α<90°，假設(shè)0<θ<-α，所以tanθ

<，

sinα<

因?yàn)?<≤1，所以0

所以0°<α<90°符合題目條件，故假設(shè)成立，結(jié)論得證。

定理（3）：若一個(gè)鈍角三角形的其中一個(gè)銳角為45度，則此鈍角三角形存在外接正方形。

證明：由命題（二）可直接作此三角形的外接正方形，設(shè)三角形ABC，如圖5所示。

作法如下：

（1）過點(diǎn)A作BC的垂線交CB的延長線于點(diǎn)D。

（2）過點(diǎn)A作BC的平行線h。

（3）過C點(diǎn)作AD的平行線交直線h于點(diǎn)E。

以上就是我對(duì)一些簡(jiǎn)單圖形的外接正方形的思考和探索，希望能起到拋磚引玉的作用，讓更多的人研究并有所發(fā)現(xiàn)。