王 楊，倪昱婧，張寄洲

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

隨機(jī)匯率下的信用違約互換定價(jià)模型

王 楊，倪昱婧，張寄洲

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

在隨機(jī)匯率的假設(shè)下，通過(guò)倒向Kolmogrov方程，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化方法建立了信用違約互換的定價(jià)模型，得到了美元市場(chǎng)上信用違約互換價(jià)格的顯式解，并給出了相關(guān)的金融意義分析.

隨機(jī)匯率；信用風(fēng)險(xiǎn)；信用違約互換；結(jié)構(gòu)化方法.

0 引 言

隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化，越來(lái)越多的外國(guó)投資者把投資目標(biāo)鎖定在新興市場(chǎng)，以謀求更高的投資收益.另一方面，由于全球經(jīng)濟(jì)的逐步發(fā)展，新興市場(chǎng)利用外資總額的比重在逐步攀升，其中就包括了對(duì)外借款，即向外國(guó)投資者融資和融券.這樣，國(guó)外投資者就面臨了國(guó)內(nèi)發(fā)債方的信用風(fēng)險(xiǎn)及匯率風(fēng)險(xiǎn).

信用違約互換(簡(jiǎn)稱(chēng)CDS）是一種有效轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險(xiǎn)的信用衍生產(chǎn)品，它涉及到CDS買(mǎi)方、賣(mài)方及債券發(fā)行第三方.因債券持有人一般都會(huì)面臨發(fā)行第三方違約等信用風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，既而會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)一份CDS.在合約期內(nèi)，CDS買(mǎi)方會(huì)定期向CDS賣(mài)方支付一定的費(fèi)用，這部分費(fèi)用相當(dāng)于是保險(xiǎn)金(見(jiàn)圖1）.若債券在合約期內(nèi)發(fā)生違約，則CDS賣(mài)方必須支付一定的補(bǔ)償給CDS買(mǎi)方；若債券在合約期內(nèi)沒(méi)有發(fā)生違約，則CDS賣(mài)方不發(fā)生任何的資金支付.由此可見(jiàn)，CDS相當(dāng)于是一份關(guān)于債券發(fā)行第三方的保險(xiǎn)合同，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)移了第三方的信用風(fēng)險(xiǎn).在違約事件發(fā)生時(shí)，CDS賣(mài)方可以有兩種支付方式：實(shí)物支付和現(xiàn)金支付.實(shí)物支付是指CDS賣(mài)方以一定的價(jià)格回收，購(gòu)買(mǎi)CDS買(mǎi)方手中所持有的違約債券.現(xiàn)金支付是指CDS賣(mài)方支付一定的金額以補(bǔ)償債券違約給CDS買(mǎi)方所帶來(lái)的損失.

圖1 CDS流程圖

近年來(lái)，隨著國(guó)際金融市場(chǎng)動(dòng)蕩加劇，信用風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題日益突出，尤其是2008年美國(guó)的次貸危機(jī)更凸顯了信用風(fēng)險(xiǎn)度量和管理的重要性.信用違約互換具有將信用風(fēng)險(xiǎn)從市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中分離出來(lái)并能有效轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)，從而使它成為金融機(jī)構(gòu)規(guī)避和管理信用風(fēng)險(xiǎn)的重要工具和有效手段.然而，由于信用風(fēng)險(xiǎn)具有非系統(tǒng)性、收益可偏性以及數(shù)據(jù)獲取困難等特點(diǎn)，使得信用違約互換的定價(jià)問(wèn)題十分困難.因此，對(duì)信用違約互換進(jìn)行研究具有理論和現(xiàn)實(shí)雙重意義.

研究信用風(fēng)險(xiǎn)一般有兩種方法：結(jié)構(gòu)化和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是將公司資產(chǎn)作為變量，設(shè)置一個(gè)破產(chǎn)邊界，通過(guò)基本假設(shè)和無(wú)套利原理，得出公司的違約密度函數(shù)，從而得到產(chǎn)品的定價(jià)模型.到目前為止，主要有如下幾種常用的模型：Merton(1974）模型［1］，該模型假定企業(yè)擁有單一的債務(wù)結(jié)構(gòu)(零息債券），債券到期日企業(yè)價(jià)值下降到一定邊界以下時(shí)發(fā)生違約，這個(gè)邊界稱(chēng)為違約邊界；Black和Cox (1976）模型［2］，該模型放松了關(guān)于違約時(shí)間的假定，認(rèn)為違約不只發(fā)生在債務(wù)的到期日，在其債務(wù)到期之前的任何一個(gè)時(shí)間，只要公司資產(chǎn)跌至違約邊界，違約就發(fā)生.結(jié)構(gòu)模型認(rèn)為違約是可以預(yù)測(cè)的，因此有一定的局限性且常常與實(shí)際情況不符.約化方法是將違約看成一個(gè)外在的Possion過(guò)程.從市場(chǎng)數(shù)據(jù)中得到違約強(qiáng)度，以此來(lái)推斷產(chǎn)品的價(jià)格.主要模型有：Jarrow和Turnbull(1995）模型［3］，為首個(gè)約化模型；Jarrow，Lando和Turnbull(1997）模型［4］，在該模型中，違約強(qiáng)度是有限狀態(tài)下的馬爾可夫過(guò)程，違約強(qiáng)度由信用等級(jí)轉(zhuǎn)移矩陣所確定.約化模型很好地彌補(bǔ)了結(jié)構(gòu)化模型的缺陷.

在信用違約互換模型研究方面，Duffie［5］(1999）首先對(duì)信用違約互換定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究.王瓊和陳金賢［6］(2003）考慮突發(fā)事件對(duì)違約概率的影響，建立了一個(gè)基于跳-擴(kuò)散過(guò)程的信用違約互換的定價(jià)模型.Leung和Kwok［7］(2005）用約化方法，建立了帶有交易對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)的信用違約互換定價(jià)模型.周鵬和梁進(jìn)［8］(2007）在Merton的結(jié)構(gòu)化方法框架下，通過(guò)求解偏微分方程得到公司的違約密度函數(shù)，給出了信用違約互換的定價(jià)公式.Bai等［9］(2007）用約化方法考慮了通過(guò)引進(jìn)一個(gè)雙曲類(lèi)型的衰減函數(shù)來(lái)表示一方違約對(duì)另一方違約強(qiáng)度的影響，對(duì)信用違約互換進(jìn)行定價(jià).詹原瑞等［10］(2008）利用Copula函數(shù)，研究了一籃子信用違約互換的定價(jià)問(wèn)題.馬俊美和梁進(jìn)［11］(2008）在隨機(jī)利率Vasicek模型下，研究了一籃子信用違約互換的定價(jià)問(wèn)題.李淑錦和李勝宏［12］(2010）考慮在回收率非零的情形下，用違約強(qiáng)度刻畫(huà)互換賣(mài)方和參照實(shí)體間的違約傳染問(wèn)題，給出了違約傳染相關(guān)下的信用違約互換估價(jià).同時(shí)，還分析了清算成本和替代成本對(duì)定價(jià)的影響.

本文作者研究的CDS問(wèn)題涉及兩個(gè)市場(chǎng)：人民幣市場(chǎng)和美元市場(chǎng).文中假設(shè)發(fā)債第三方的主營(yíng)業(yè)務(wù)范圍在國(guó)內(nèi)人民幣市場(chǎng)，同時(shí)，在國(guó)外美元市場(chǎng)進(jìn)行融資和融券.一般國(guó)內(nèi)經(jīng)營(yíng)的公司會(huì)選擇在國(guó)外上市或融資和融券，主要有以下幾個(gè)原因：(1）考慮到分散風(fēng)險(xiǎn)；(2）公司采取了有效的反兼并收購(gòu)的策略；(3）公司擁有了更多的融資渠道；(4）提升自身品牌或公司知名度，為進(jìn)一步擴(kuò)大海外市場(chǎng)份額做準(zhǔn)備.對(duì)于國(guó)外美元市場(chǎng)上的交易對(duì)手來(lái)說(shuō)，為國(guó)內(nèi)市場(chǎng)上的發(fā)債方公司提供融資和融券也具有一定的現(xiàn)實(shí)金融意義.一方面，受挫于信貸危機(jī)，美國(guó)本土公司進(jìn)行信貸業(yè)務(wù)的量急劇下降，相反，越來(lái)越多中國(guó)的中小型公司選擇在美國(guó)上市；另一方面，對(duì)于國(guó)外銀行來(lái)說(shuō)，為國(guó)內(nèi)中國(guó)公司進(jìn)行融資和融券可以獲得更高的融資收益(成本）.因此所研究的問(wèn)題和結(jié)論具有一定的實(shí)際金融意義.

本文作者研究隨機(jī)匯率下的信用違約互換定價(jià)模型.假設(shè)互換的買(mǎi)方和賣(mài)方同處于美元市場(chǎng)，而債券發(fā)行第三方位于人民幣市場(chǎng).同時(shí)，互換賣(mài)方受政府擔(dān)保，無(wú)任何信用風(fēng)險(xiǎn).國(guó)外投資者(互換買(mǎi)方）除了面臨國(guó)內(nèi)債券發(fā)行第三方的信用違約風(fēng)險(xiǎn)外，還面臨了匯率風(fēng)險(xiǎn).在隨機(jī)匯率的情況下，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化方法求出了國(guó)內(nèi)債券發(fā)行第三方的違約密度函數(shù)，進(jìn)而得到了此模型下定價(jià)問(wèn)題的顯式解.最后也給出了結(jié)論的金融意義分析.

2 模型假設(shè)

(1）市場(chǎng)無(wú)摩擦，不考慮稅收和交易成本.

(2）rf為國(guó)外美元市場(chǎng)上的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率且為常數(shù).

(3）τ為發(fā)債第三方的違約發(fā)生時(shí)刻.q(t）為發(fā)債第三方的違約密度函數(shù).

(4）Rf為發(fā)債第三方違約發(fā)生時(shí)，在美元貨幣下的債券回收率且為常數(shù).

(5）S為互換買(mǎi)方定期支付給賣(mài)方的CDS保費(fèi)，T為互換合約的到期時(shí)間.

(6）國(guó)內(nèi)債券發(fā)行方的標(biāo)的資產(chǎn)V服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)

這里的公司資產(chǎn)V用人民幣衡量，其中μv是公司資產(chǎn)的期望回報(bào)率，σv是公司資產(chǎn)的波動(dòng)率，μv和σv都為常數(shù)，ω(1）(t）是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).

(7）匯率F服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)

這里的匯率表示1單位人民幣可以?xún)稉Q成的美元金額，其中μF是匯率的期望回報(bào)率，σF是匯率的波動(dòng)率，μF和σF都為常數(shù)，ω(2）(t）是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).

(8）ρ表示dω(1）(t）和dω(2）(t）之間的相關(guān)系數(shù)且為常數(shù).

(9）D為人民幣貨幣下，發(fā)債第三方的破產(chǎn)邊界且為常數(shù).

3 定價(jià)模型與求解

令0＜t1＜t2＜…＜tn＝T，這里ti(i＝ 1， 2，…，n）是CDS的保費(fèi)支付日.Δti＝ti-ti-1(i＝ 1， 2，…，n），tnτ和tnτ＋1分別表示在違約時(shí)刻τ(0＜τ≤T）之前和之后的保費(fèi)支付日.違約時(shí)刻τ＝inf｛t｜Vt≤D｝.

互換買(mǎi)方的保費(fèi)支出的期望為：

互換買(mǎi)方在違約發(fā)生時(shí)刻，獲得補(bǔ)償?shù)钠谕麨?/p>

于是信用違約互換的保費(fèi)S為

因此該問(wèn)題即轉(zhuǎn)換為求人民幣市場(chǎng)上債券發(fā)行方在美元市場(chǎng)上的公司違約密度函數(shù).運(yùn)用結(jié)構(gòu)化方法來(lái)求解.設(shè)P(V，F(xiàn)，t；T）為發(fā)債公司在隨機(jī)匯率下t時(shí)刻的違約概率，即

利用倒向Kolmogorov定理可知P(V，F(xiàn)，t；T）是以下邊值問(wèn)題在區(qū)域｛D≤V＜∞，0≤F＜∞，0≤t≤T｝上的解，

其中U(V，F(xiàn)，t；T）為發(fā)債公司的在隨機(jī)匯率下t時(shí)刻的生存概率.∞，0≤t≤T｝，方程(5）變?yōu)?/p>

利用Fourier變換，方程(7）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

根據(jù)泊松公式，可以得到方程(9）的解為：

綜上，q(t）已求出，將其代入(3）式，便可求出隨機(jī)匯率下美元市場(chǎng)上CDS產(chǎn)品的價(jià)格S.

4 金融意義分析

下面討論CDS價(jià)格與各參數(shù)之間的關(guān)系.

(1）圖2給出了國(guó)內(nèi)發(fā)債公司負(fù)債率V／D與CDS價(jià)格S之間的變化關(guān)系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，ρ＝0. 2，F(xiàn)＝0.155.由圖2可知，當(dāng)資產(chǎn)負(fù)債率V／D不斷減少，CDS的價(jià)格S不斷增大.這是因?yàn)楫?dāng)國(guó)內(nèi)發(fā)債方的資產(chǎn)負(fù)債率減少時(shí)，債券發(fā)生違約的可能性會(huì)不斷增大，為了有效轉(zhuǎn)移這類(lèi)信用風(fēng)險(xiǎn)，持有此類(lèi)債券的投資者會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)CDS，從而增大了CDS的價(jià)格S.

(2）圖3給出了公司資產(chǎn)V與匯率F的相關(guān)性ρ和CDS價(jià)格S的變化關(guān)系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F(xiàn)＝0.155.由圖3可知，隨著相關(guān)性ρ的不斷減小，CDS的價(jià)格S不斷增大.當(dāng)相關(guān)性較大為正時(shí)，公司資產(chǎn)V與匯率F兩者幾乎受同一經(jīng)濟(jì)或市場(chǎng)性因素的影響；當(dāng)相關(guān)性為零時(shí)，國(guó)內(nèi)發(fā)債方公司資產(chǎn)V不受匯率F的影響，兩者獨(dú)立；當(dāng)相關(guān)性不斷減小為負(fù)數(shù)時(shí)，公司資產(chǎn)V與匯率F的變化方向截然相反，在這種情況下，即使國(guó)內(nèi)發(fā)債方運(yùn)營(yíng)情況良好，但因受制于匯率的負(fù)相關(guān)性影響，違約的可能性不斷增大，此時(shí)CDS的價(jià)格S也因?yàn)檫`約可能性的增大而不斷增大.

(3）圖4給出了回收率Rf與CDS價(jià)格S之間的變化關(guān)系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F(xiàn)＝0.155.由圖4可知，當(dāng)回收率Rf不斷減小，CDS的價(jià)格S不斷增大.這是因?yàn)殡S著回收率的不斷減小，持有此類(lèi)債券的投資者面臨發(fā)債方的信用違約風(fēng)險(xiǎn)會(huì)不斷增大.購(gòu)買(mǎi)CDS能較好的轉(zhuǎn)移債券違約所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，減小損失，因此CDS的價(jià)格S會(huì)增大.

圖2 公司資產(chǎn)負(fù)債率與CDS價(jià)格的變化關(guān)系

圖3 相關(guān)性ρ和CDS價(jià)格S的變化關(guān)系

(4）圖5給出了合約期限T與CDS價(jià)格S之間的變化關(guān)系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，Rf＝0. 6，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F(xiàn)＝0.155.由圖5可知，當(dāng)合約期限T不斷增大時(shí)，CDS的價(jià)格S不斷增大.這是因?yàn)?，出于轉(zhuǎn)移信用風(fēng)險(xiǎn)的目的，一般投資者購(gòu)買(mǎi)的CDS合約期限都與所持有的債券期限相同.隨著合約期限的不斷增大，國(guó)內(nèi)發(fā)債方受各種經(jīng)濟(jì)或市場(chǎng)因素的影響變大，投資者面臨的風(fēng)險(xiǎn)也就變大，CDS的價(jià)格也因此而上升.

圖4 回收率Rf與CDS價(jià)格S的變化關(guān)系

圖5 合約期限T與CDS價(jià)格S的變化關(guān)系

5 結(jié) 論

本文作者考慮隨機(jī)匯率的情況下，假設(shè)發(fā)債方位于人民幣市場(chǎng)，對(duì)美元市場(chǎng)上發(fā)行的信用違約互換(CDS）的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究.利用結(jié)構(gòu)化方法，通過(guò)倒向Kolmogrov方程，給出了美元市場(chǎng)上CDS產(chǎn)品的價(jià)格S的顯式解.通過(guò)金融數(shù)據(jù)分析，討論了各個(gè)參數(shù)的具體金融意義.得到如下結(jié)論：當(dāng)國(guó)內(nèi)發(fā)債方公司資產(chǎn)負(fù)債率V／D不斷減?。换驀?guó)內(nèi)發(fā)債方公司資產(chǎn)V與匯率F(每單位人民幣兌換美元）的相關(guān)性不斷減?。换蛐庞眠`約互換(CDS）的回收率Rf不斷減?。换蚝霞s的期限T不斷增大時(shí)，信用違約互換的價(jià)值均將不斷增大.

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Pricing model of credit default swap w ith stochastic foreign exchange rate

WANG Yang，NIYujing，ZHANG Jizhou
(College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

A pricingmodel is established by using the structure approach and the backward Kolmogrov equation under the assumption of stochastic foreign exchange rate.The explicit solution of credit default swap is obtained for the dollarmarket.And a correlative financial analysis is given.

stochastic foreign exchange rate；credit risk；credit default swap；structure approach

F 224.9 O 175.2

A

1000-5137(2013）02-0130-07

（責(zé)任編輯：馮珍珍）

2012-12-26

上海市教委重點(diǎn)項(xiàng)目(13ZZ107）；上海師范大學(xué)一般科研項(xiàng)目(SK201211）

王 楊(1980-），女，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院講師；倪昱婧(1987-），女，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士生；張寄洲(1958-），男，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院教授.