賀 欣，張 媛

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450052)

不定式極限是函數(shù)極限教學(xué)的重點和難點，許多不定式極限常常需要通過一系列頗具技巧的恒等變形才能計算出來.由于不同的題目需要不同的變形技巧，缺乏規(guī)律性，不易掌握.本文利用變量替換法，針對“1∞”型極限，給出了一個較為簡潔規(guī)范的方法，從而省去了繁瑣的變形，便于實際應(yīng)用.

1 不定式極限的定義及解法介紹

本文重點討論方法2的應(yīng)用.

利用恒等變形計算如下

這樣，找到一個更為通用易學(xué)的方法對初學(xué)者來說就很重要了，它不僅有助于解題，更有助于幫助初學(xué)者從繁瑣的變換中解放出來，將精力集中在對極限的掌握中，更好地理解重要極限的本質(zhì).下面介紹的變量替換法就可以達(dá)到這一目標(biāo).此方法的原理是:

⑵其中α→0，即α是x→0時的無窮小量.

因此首先必須將底數(shù)f(x)化為(1+α)的形式，即做變量替換f(x)=1+t，此時f(x)g(x)=(1+t)g(x)=，因為，從而 t→0，由于極限，所以只需計算出－1·g(x)］的極限即可.若(x)－1］·g(x)}=A，則

2 應(yīng)用舉例

下面我們通過實例來說明變量替換法的應(yīng)用.

解:令 sin x=1+t，則 t=sin x －1，所以時，t→0－，有

我們再來看兩個例子.

解:令1，當(dāng) x→0 時，t→0，從而

又因為

所以

3 補(bǔ)充說明

(1)本文是以方法2為重點討論的，事實上本文中的例1和例3應(yīng)用方法1去計算，也非常簡潔，不再贅述;

(2)有時，有些“1∞”型極限，用簡單的恒等變形計算來得更加簡單，如

從而

依然可行，但稍顯復(fù)雜.

通過上面的三個例子發(fā)現(xiàn)，盡管我們遇到的實際問題經(jīng)常不同，利用變量替換法求解“1∞”型極限時，由于其具有規(guī)律性，便于操作，避免了不同題目用不同的解法，難于尋找思路的困惑，同時也避開了繁瑣的恒等變形，使得計算變得更加簡潔，不失為一種簡單高效的計算方法.

吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集［M］.北京:人民教育出版社，1958.