劉 健，譚志云，2，曾 斌

（1.遵義師范學(xué)院 物理與機電工程學(xué)院，遵義 563002；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200235；3.湖南文理學(xué)院 機械工程學(xué)院，常德 415000；4.湖南大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410082）

0 引 言

晶面標準極射赤面投影圖指的是進行極射赤面投影時以低指數(shù)的重要晶面為投影面.它揭示并闡明了晶體中所有重要晶面的相對取向和對稱關(guān)系［1］；在材料科學(xué)和晶體學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，如分析標定X射線衍射和電子衍射的衍射花樣，研究多晶體擇優(yōu)取向以及研究新生相與化合物結(jié)構(gòu)等.為了能夠充分表示出被測材料中各個晶粒的某一選定晶面（h k l）的取向分布，就必須將整個球上的極點用極射赤面投影表示出來，即繪制完整晶面標準極射赤面投影圖.

繪制標準極射赤面投影的傳統(tǒng)方法是利用烏氏網(wǎng)手工繪制，缺點是計算量很大，耗時耗力［2］.近年來，李藝星［3］、彭廣威［4］、李貴喜［5］等先后利用計算機模擬的方法對其進行了研究，大大縮短了繪制時間.但是，他們的工作都是局限于投影法中半球上的極點，對于另一半球上的極點的投影并未提及.對于完整極圖的繪制方法，除了文獻［1］提及到的采取擴大投影面方法來反映異半球的極射投影點以及傳統(tǒng)方法所提到的通過改變光源進行兩次投影外，并無明顯的詳細繪制過程報道.然而，擴大投影面方法并不適合所有極點的繪制，基于改變光源進行兩次投影的方法又比較復(fù)雜耗時.

上述狀況直接影響有關(guān)科技研究工作的深入進行.為了進一步提高完整標準極射赤面投影繪制效率，使研究工作者在需要時能快捷得到不同晶體的各種完整極圖，非常有必要詳細闡述標準極射赤面投影原理，對完整標準極射赤面投影的繪制過程與方法進行再思考.

1 晶面標準極射赤面投影原理及完整晶面標準極射赤面投影的傳統(tǒng)繪制方法

1.1 晶面標準極射赤面投影原理

晶面標準極射赤面投影的第一步是球面投影.球面投影中，假定參考球比晶胞尺寸大很多，因而可認為所有晶面都通過球心.它可分為跡式球面投影和極式球面投影兩種，通常是兩種方法混合使用，因此，此處只介紹混合法的原理.如圖1所示，設(shè)想?yún)⒖记蚴峭该鞯?，待研究的晶胞位于其球心處，選取一低指數(shù)重要晶面使其法線與NS軸重合.將點光源放在球心處，將晶胞晶面（晶向）投影到透明球殼面上.對于晶向是直接將其延伸致與參考球相交，得到的兩個交點R、R＇稱為晶向直線的出露點；對于晶面，是先通過球心作出其法線，然后延長該法線，使其與參考球相交，得到的交點G稱為晶面的極點（另一極點未畫出）.

圖1 球面投影原理

晶面標準極射赤面投影第二步是極射赤面投影.如圖2所示，以參考球的N或者S極點為光源，赤道面為投影面，對球面上所有極點與出露點進行第二次投影.具體作法是：假設(shè)P1為某晶面的的極點或者某晶向的出露點.用直線將P1點同其相對一側(cè)的S極向連接起來，該直線SP1稱為投影線，它與赤道平面交點M1就是P1點的極射赤面投影［6］.

圖2 標準極射赤面投影原理

1.2 完整晶面標準極射赤面投影圖的傳統(tǒng)繪制方法

從圖2的作圖過程可以看出，對位于下半球的極點或者出露點P2來說，如果仍然取S點為光源，則相應(yīng)的投影線SP2與投影平面的交點M2＇將位于基圓（赤道平面與參考球的交線）之外，這對作圖與測量均很不方便.當要求將整個球上極點的投影都畫出來時，幾乎所有著作或研究［2，3］都是分別以南北半球兩極點為光源進行兩投影（例如此時圖2中P2的投影點變成了M2），從而得到兩張投影圖，然后再疊起來畫在一張投影圖上，并用不同記號標出以示區(qū)別（通常用黑點或者黑圓圈表示半個球上極點與出露點的極射赤面投影，用小叉或者白色空心圓表示另外半個球的極點與出露點的極射赤面投影）.繪制上述投影圖的傳統(tǒng)方法還需利用烏氏網(wǎng)，顯然傳統(tǒng)的兩次投影法過程復(fù)雜，工作量特別大.對于擴大投影面法，倘若研究的是非常靠近光源N的極點或者出露點，由圖2可知顯示其投影所需要的投影平面將趨向于無窮大（圖中無法顯示其投影，故未畫出），顯然這是不切實際的.

2 完整晶面標準極射赤面投影的簡易繪制

任意晶向或者晶面法線與球面的交點有兩個，一個在南半球另外一個必定在北半球，通常稱它們?yōu)閷χ劈c，其指數(shù)恰好相反.因為進行球面投影時是假定所有晶面和晶向都通過球心的，所以這些對峙點都是球?qū)ΨQ的.仔細分析上面介紹的完整標準極射赤面投影作圖過程不難發(fā)現(xiàn)，在采取兩極點做光源進行兩次投影時，任意極點P1的投影線SP1，實際上是同其對峙點P1＇的投影線NP1＇相互平行而且等長，如圖3（a）所示.因此，由幾何學(xué)知識可知這兩條投影線與赤道平面的交點M1和M1＇是關(guān)于球心對稱的，即對峙點的極射投影是關(guān)于投影中心對稱的.如果目視方向一致的話，則兩張投影圖疊起來后，投影時的中心對稱關(guān)系仍然存在.因此，在求作完整晶面標準極射赤面投影圖時，可以只作出某個半球上所有極點（出露點）的極射赤面投影，然后在投影平面上作出這些投影關(guān)于投影中心的對稱點或者將已作出的投影圖繞投影中心旋轉(zhuǎn)180°，最后將其指數(shù)換成其相反數(shù)得到另一半球上所有極點（出露點）的極射赤面投影，從而得到完整標準極射赤面投影圖.對于投影中心所代表的極點（出露點）的投影，其位置不變，只是指數(shù)改變符號.圖3（b）為上述方法示意圖（僅標出幾個代表性的極點的晶面指數(shù)），其中細線代表某半球上極點的極射赤面投影，粗線與其關(guān)于投影中心對稱.

圖3 立方晶系完整晶面標準極射赤面投影簡易作圖原理

不難看出，利用該完整標準極射赤面投影圖和烏氏網(wǎng)可以很快測出整個球上任意兩晶面間的夾角，根本不用計算，所以其作用非常大.但是，如果兩次投影的目視方向不同，兩次獲得的投影圖疊起來后，上述中心對稱關(guān)系就不再存在.經(jīng)過研究分析，發(fā)現(xiàn)這兩張目視方向不同的投影圖疊起來后存在如下關(guān)系：其中一張投影圖的上半部分所有投影點與另外一張投影圖的下半部分所有投影點是關(guān)于水平直徑（本初子午線的投影）對稱的，并且它們的指數(shù)符號恰好相反.由此可見，它們就是對峙點的投影.因此，在求作完整晶面標準極射赤面投影圖時，也可以只作出某個半球所有極點（出露點）的極射赤面，然后在投影面上作出這些投影關(guān)于水平直徑的對稱點或者將已作出的投影圖繞其水平直徑旋轉(zhuǎn)180°，最后將其指數(shù)換成其相反數(shù)得到另一半球上所有極點（出露點）的極射赤面投影，從而得到完整標準極射赤面投影圖.對于本初子午線上的極點的投影點，其位置不變，只是指數(shù)改變符號而已.

圖4為立方晶系（111）標準極圖［7］，圖5（a）與圖5（b）是朱武杰等［2］采取換光源且目視方向不同進行兩次投影繪制的完整標準極圖.如果兩次投影時目視方向一致的話，則圖5（b）圖應(yīng)該變成圖5（c）圖所示情況.

圖6是針對圖5（a）按照上述簡易方法所獲得的，其中圖6（a）是圖5（a）關(guān)于水平直徑旋轉(zhuǎn)180°得到的，圖6（b）是圖5（a）繞投影中心旋轉(zhuǎn)180°得到的.為了能夠看出上述對稱關(guān)系，圖6中的指數(shù)符號均未改變.如果根據(jù)簡易法的要求將圖6中的所有指數(shù)變成轉(zhuǎn)換前的相反數(shù)的話，則不難看出圖6（a）與圖5（b）中所有極點的極射投影位置是完全吻合的，圖6（b）與圖5（c）中所有極點的極射投影位置也是完全吻合的.這表明轉(zhuǎn)換后的結(jié)果與標準極圖是一致的，從而驗證了上述簡易方法是完全正確的.

3 結(jié) 論

通過研究分析球面投影原理、晶面標準極射赤面投影原理及其作圖過程，比較換光源得到兩個半球所有極點的晶面標準極射赤面投影圖，從立方晶系的中心對稱性闡述完整標準極射赤面投影的作圖過程并提出一種簡易方法，并通過立方晶系（111）標準極圖進行了驗證.雖然研究僅針對立方晶系，但其思路與繪制依據(jù)對如何繪制其他晶系的完整標準極圖具有一定的啟發(fā)性，尤其對科學(xué)利用完整晶面標準極射赤面投影，使其在材料科學(xué)中發(fā)揮更大作用具有一定的指導(dǎo)意義.

［1］馬禮敦.近代X射線多晶體衍射［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004.

［2］朱杰武.晶面標準極射赤面投影圖的討論［J］.吉林化工學(xué)院學(xué)報，2002，19（2）：64－66.

［3］李藝星，楊祖軒.立方晶系（001）面極射赤道平面投影的計算機實現(xiàn)［J］.華北水利水電學(xué)院學(xué)報，2006，27（4）：58－60.

［4］彭廣威.基于MATLAB的通用晶體極射赤面投影圖的繪制［J］.理化檢驗－物理分冊，2008，44（10）：547－549.

［5］李貴喜，何秉然，何明鑫，劉海瑞，路慶鳳.立方晶系極射赤面投影圖的計算機模擬［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2009，37（3）：57－59.

［6］E.J.W.Whittaker.The Stereographic Projection［M］.Cardiff：University College Cardiff Press Cardiff，Wales，1984.

［7］丘 利，胡玉和，X射線衍射技術(shù)及設(shè)備［M］.北京：冶金工業(yè)出版社（第二版），2001.