林順達

（泉州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院，福建泉州362000）

基于Chen-Mobius變換的通信系統(tǒng)抗噪聲性能分析
——線性雙邊帶調(diào)制解調(diào)

林順達

（泉州師范學(xué)院物理與信息工程學(xué)院，福建泉州362000）

在基于Chen-Mobius變換所建立的通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對其抗噪聲性能做歸納和分析。應(yīng)用Matlab仿真軟件中的simulink工具建立Chen-Mobius通信系統(tǒng)模型，對加噪信號進行去噪處理的結(jié)果表明，模型運行性能良好，且具有比較好的抗噪聲性能。構(gòu)造了線性雙邊帶調(diào)制相干解調(diào)時抗噪聲系統(tǒng)的模型，從理論上推導(dǎo)出系統(tǒng)的增益，并給出相應(yīng)的性能分析。

Chen-Mobius變換；通信系統(tǒng)；線性雙邊帶調(diào)制；抗噪聲性能

中科院院士陳難先教授自20世紀90年代以來，在應(yīng)用、推廣數(shù)論中的Mobius變換時，對物理學(xué)中逆問題的解決做了開創(chuàng)性的工作[1-2]。而Mobius變換業(yè)已應(yīng)用于通信系統(tǒng)，這方面的文獻和研究成果也在作者及其他相關(guān)專家的研究開發(fā)下，發(fā)表了一系列的文章[3-12]。

作者與之前做了許多工作，主要實現(xiàn)了Mobius變換對幾種常用數(shù)字信號的付立葉級數(shù)進行了逆變換運算，實現(xiàn)了其在計算機軟件上的仿真和一些最初的比較研究。應(yīng)用Mobius變換所建立起來的通信系統(tǒng)具有信號高保真、抗強干擾的性能，實驗和計算機仿真結(jié)果都得到了印證。其在圖像處理的應(yīng)用同樣具有良好的性能[3-12]。

然而之前的工作注重于系統(tǒng)仿真及對軟硬件功能實現(xiàn)的努力，未能在性能分析上做總結(jié)說明。本文討論了Chen-Mobius通信系統(tǒng)在信道存在加性高斯白噪聲時的調(diào)制系統(tǒng)的抗噪聲性能。既然Chen-Mobius通信系統(tǒng)具有傳統(tǒng)通信系統(tǒng)無可比擬的優(yōu)點[2-7]，就有必要對其性能做出解析，發(fā)現(xiàn)其優(yōu)越性。本文試圖建立類似于雙邊帶線性調(diào)制及相干解調(diào)（DSB）的抗噪聲性能分析建模，以模擬或數(shù)字信號作為輸入信號，通過Chen-Mobius通信系統(tǒng)[8-12]，并從理論上推導(dǎo)出系統(tǒng)的增益，并給出了部分仿真結(jié)果和分析。

1 基于Chen-Mobius變換的通信系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)

1.1 周期函數(shù)信號的付立葉級數(shù)及其Mobius逆變換

周期函數(shù)的信號波形都可以展開為付立葉級數(shù)，形如（1）～（2）式所示[8]。

其中行列式[A]和[B]分別是對應(yīng)項系數(shù)行列式，且當(dāng)且僅當(dāng)l=k/m，即k整除m時成立。對比(1)～(2)式和(3)～(4)式，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)(3)～(4)式中的k/m為整數(shù)時，后者項數(shù)只是前者項數(shù)的很少一部分，但這不是簡單截取，從頻譜上看，只保留了有限個頻率組成部分。但是頻率相同的部分，其系數(shù)的實現(xiàn)方法不同，構(gòu)成也相異，各自滿足不同的變換。表1以對稱方波為例，給出經(jīng)變換后不同階數(shù)（k）與其正交的函數(shù)族，其中E為方波的幅度，k是諧波系數(shù)[8-9]。以k=5為例，奇對稱方波的正交函數(shù)的組成只有兩項，即如（6）式所示。

表1 奇對稱方波的正交函數(shù)族

而對應(yīng)的奇對稱方波信號的傅里葉級數(shù)展開式為：

1.2 Chen-Mobius通信系統(tǒng)及模型的建立

Chen-Mobius變換在通信中的應(yīng)用包括在模擬通信系統(tǒng)、數(shù)字信號基帶通信系統(tǒng)、數(shù)字信號調(diào)制傳輸?shù)认到y(tǒng)中的應(yīng)用。在幾種數(shù)字信號逆變化計算的基礎(chǔ)上[8-9]，把計算結(jié)果應(yīng)用于模擬通信系統(tǒng)中，其模擬通信系統(tǒng)的基本框架圖如圖1所示。

圖1 基于Chen-Mobius變換的模擬通信系統(tǒng)基本框架圖

其中S(t)和S?(t)即為對應(yīng)的F(ωt）和F?K(ωt）分別表示互相正交的調(diào)制載波函數(shù)族及其逆變換，它們作為Chen-Mobius通信系統(tǒng)的相干調(diào)制解調(diào)函數(shù)。Chen-Mobius變換通信系統(tǒng)調(diào)制與相干解調(diào)的函數(shù)是不同的函數(shù)族，雖然它們是相互正交的函數(shù)族，但它們每一個函數(shù)族本身卻是非正交的。該通信系統(tǒng)具有很強的抗干擾能力[4-6]。

2 Chen-Mobius通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析

依據(jù)通信系統(tǒng)的抗噪聲性能分析模型[13]，同樣可以畫出Chen-Mobius通信系統(tǒng)的抗噪聲性能分析模型如圖2所示。

圖中帶通濾波器的帶寬命名為為BChen，且BChen=（ωmax+ωH）-（ωmin+ωH）。其中ωmax、ωmin和ωH分別代表最大載波頻率、最小載波頻率以及調(diào)制信號帶寬，并設(shè)調(diào)制信號m（t）是均值為0的信號，其帶寬為BH，5階方波變換已調(diào)信號的幅頻特性圖如圖3所示。

圖2 Chen-Mobius變換的模擬通信系統(tǒng)抗噪聲性能分析模型

圖3 5階方波變換已調(diào)信號的幅頻特性

因而不同的調(diào)制、解調(diào)方法則可能有不同的抗噪聲性能，依此來分析Chen-Mobius通信系統(tǒng)。

輸入信號平均功率：由圖2知si（t）+ni（t）=m（t）S?（t）+ni（t），所以

由于ni（t）=nI（t）cosω0t-nQ（t）sinω0t，所以在解調(diào)器處采用常用信號（如方波）進行相干解調(diào)有：

結(jié)論：雙邊帶信號解調(diào)器的信噪比改善2BChen/B'Chen倍，原因是不但相干解調(diào)把噪聲中的正交分量nI(t)被抑制除掉了，從而使噪聲功率減半，而且?guī)捲黾訛锽Chen，并且由于滿足B'Chen□BChen，使得調(diào)制增益GChen=2BChen/B'Chen□2，是DSB線性調(diào)制BChen/B'Che倍，所以系統(tǒng)的抗強噪聲性能優(yōu)于DSB。以5階奇對稱方波為例，此時的系統(tǒng)增益：

當(dāng)ω□10ωH時，GChen│5階方波□21，具有其他線性調(diào)制所無法比擬的系統(tǒng)增益。所以基于系統(tǒng)增益的Chen-Mobius通信系統(tǒng)的抗噪聲性能大大優(yōu)越于傳統(tǒng)的線性通信系統(tǒng)，如果調(diào)制頻率和逆變換載波函數(shù)選擇得當(dāng)，系統(tǒng)的增益可以增大至滿意的效果。但這是以犧牲帶寬為代價的，這也正是香農(nóng)定理所表述的。

3 信號去噪的仿真與分析

3.1 仿真模型

以5階（k=5）奇對稱方波信號fas(ωt)（用S（t）表示）波形及其變換S?（t）的結(jié)果（如表1所示）應(yīng)用為例，對一段語音信號進行仿真，系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 基于Chen-Mobius變換的Simulink仿真模型圖

3.2 仿真結(jié)果與分析

本文應(yīng)用了Matlab的Simulink仿真模塊，在計算機上對一段語音信號進行了仿真和分析。仿真結(jié)果表明，圖像能夠得到很好的恢復(fù)(如圖5）。當(dāng)輸入的計算信噪比為3.2124（約5db)時，其去噪恢復(fù)的均方誤差MSE=0.1468％，效果良好。

圖5 基于Chen-Mobius變換的語音信號仿真結(jié)果圖

以上推論和仿真結(jié)果均表明，Chen-Mobius通信系統(tǒng)在惡劣干擾情況下，可以高保真地把信號恢復(fù)出來，具有抗強干擾的能力。其他的仿真結(jié)果和分析將在以后的研究中陸續(xù)給出。

4 結(jié)論

本文基于Chen-Mobius變換方法，討論了Chen-Mobius通信系統(tǒng)信道存在加性高斯白噪聲時的調(diào)制系統(tǒng)的抗噪聲性能，同時給出其線性雙邊帶調(diào)制相干解調(diào)時抗噪聲系統(tǒng)的模型，并推論得到Chen-Mobius通信系統(tǒng)的系統(tǒng)增益表達式，表明系統(tǒng)具有優(yōu)越于傳統(tǒng)通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。由于系統(tǒng)的帶寬增加了，而其有效占用帶寬只是系統(tǒng)帶寬當(dāng)中很少的一部分，并且其系統(tǒng)增益又是兩個之比值的兩倍，所以，系統(tǒng)具有高增益性能。而且，如果調(diào)制頻率和逆變換載波函數(shù)選擇得當(dāng)，系統(tǒng)的增益可以增大至非常滿意的效果。但是它是以犧牲帶寬來換取高信噪比的，滿足香農(nóng)定理所表述的內(nèi)容。

理論推導(dǎo)和研究只是剛剛開始，許多工作還有待展開，如其應(yīng)用于非線性調(diào)制解調(diào)的問題、如何與正交多載波調(diào)制（OFDM）等其他方法相結(jié)合應(yīng)用的問題等。但是，可以遇見的是，研究成果必將具有應(yīng)用于軍事、經(jīng)濟建設(shè)與人民生活等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用意義和理論意義。

致謝：

感謝中國科學(xué)院院士陳難先教授對本文內(nèi)容及方法的完成的不吝指導(dǎo)和長期關(guān)注。在此謹致以由衷的敬意！

［1］CHEN N X，ZHANG C F，ZHOU M，et al.Closed-form solution for inverse problems of fermi systems［J］.Phys Rev E AUG，1993，48（2）：1558-1561.

［2］CHEN N X.A new solution for inverse problems of Fermi systems［J］.Progress in Natural Ccience（in Chinese），2003，13（5）：473-477.

［3］林順達.Mobius變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用與仿真［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報，2009，27（6）：42-44.

［4］林順達，蘇武潯.Mobius變換在模擬通信中的應(yīng)用與仿真［J］.華僑大學(xué)學(xué)報，2006，27（1）：108-110.

［5］林順達.新型Mobius模擬通信系統(tǒng)的比較研究［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報，2006，24（4）：34-38.

［6］林順達，蘇大生.新型陳-Mobius模擬通信系統(tǒng)的計算機仿真與分析［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報，2007，25（2）：52-56.

［7］林順達.陳-Mobius模擬通信系統(tǒng)調(diào)制解調(diào)函數(shù)分析［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報，2007，25（6）：25-28.

［8］蘇武潯，張渭濱，王建成.幾種常見信號波形的逆變換計算（I）［J］.華僑大學(xué)學(xué)報，2005，26（1）：80-84.

［9］蘇武潯，張渭濱，王建成.幾種常見信號波形的逆變換計算（II）［J］.華僑大學(xué)學(xué)報，2005，26（4）：416-419.

［10］LIN SHUN DA，CHEN MUSHENG.Applications of mobius transform in image processing and cryptography［C］／／2010 the 2nd International Conference on Signal Processing Systems（ICSPS 2010）.ICSPS：2010（2）：257-259.

［11］LIN SHUN DA.Image transmission and cryptography on the basis of mobius transform［C］／／2012 the 5th International Congress on Signal Processing（CISP 2012）.CISP：2012.

［12］LIN SHUN DA.A new method for image de-noising on the basis of chen-mobius transform［C］／／2013 IEEE International Conference on Imaging Systems and Techniques（IST 2013）Proceedings.IEEE：2013.

［13］南利平.通信原理簡明教程［M］.2版.北京：清華大學(xué)出版社，2007.

The Study on the Performance of Chen-Mobius Communication in De-noising on DSB

LIN Shun-da

(College of Physics and Information Engineering,Quanzhou Normal University Quanzhou,362000,China)

The performance of the Chen-Mobius communication in de-noising on DSB was studied in this paper.Basing on the Chen-Mobius transform,the building and simulation of the communication system in anti-noising are presented. The results on testing de-noising signals indicate that the model performs well and has a good performance of antinoise.The model of the linear double side bands modulation and demodulation in the traditional communication system was constructed.It's the first time that the theoretical deduction on the gain of the Chen-Mobius communication system and the corresponding performance analysis were presented.

Chen-Mobius transform;image de-noising,DSB,simulation.

TN911.4

A

1673-4343（2013）06-0050-06

2013-09-18

泉州市科技計劃重點項目（2011G15）;福建省教育廳中青年教師教育科研項目(JA13268)

林順達，男，福建泉州人，講師。研究方向：電子信息與通信和現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用。