唐貴基，王曉龍

局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)是在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種較新的時(shí)頻分析方法，該方法同樣具有自適應(yīng)性，它可以將一個(gè)復(fù)雜的多分量復(fù)合信號(hào)分解成多個(gè)乘積函數(shù)(Product Function，PF)分量和一個(gè)余量，得到的PF分量能真實(shí)的反應(yīng)原信號(hào)的信息［1］。相對(duì)于EMD方法來(lái)說(shuō)，LMD方法受端點(diǎn)效應(yīng)影響較小，并且可以避免EMD算法自身存在的問(wèn)題，用于機(jī)械故障診斷，具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)［2－3］中分別運(yùn)用LMD方法對(duì)齒輪故障和轉(zhuǎn)子裂紋故障進(jìn)行診斷，獲得了令人滿(mǎn)意的診斷結(jié)果。

雙譜是高階譜中運(yùn)算最簡(jiǎn)單，應(yīng)用范圍最廣的分析方法，理論上可以完全抑制高斯有色噪聲，提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，近些年不少學(xué)者對(duì)雙譜進(jìn)行了深入研究，并將雙譜分析方法應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域。趙慧敏等［4］利用雙譜對(duì)柴油發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸軸承故障信號(hào)進(jìn)行分析，段向陽(yáng)等［5］則采用切片雙譜對(duì)離心泵故障信號(hào)進(jìn)行分析，均成功識(shí)別出故障特征頻率。

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中的重要組成零部件，其工作狀態(tài)正常與否決定了整個(gè)系統(tǒng)性能的好壞。當(dāng)其內(nèi)圈、外圈或滾動(dòng)體出現(xiàn)局部損傷或缺陷時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生周期性沖擊振動(dòng)，輕則使設(shè)備產(chǎn)生噪音、振動(dòng)異常，重則損壞設(shè)備，因此對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷研究具有重要意義。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出一種結(jié)合LMD算法和切片雙譜的診斷新方法，診斷實(shí)例證明，本方法能夠滿(mǎn)足實(shí)際工程需要。

1 LMD基本原理及算法改進(jìn)

1.1 LMD算法簡(jiǎn)介

對(duì)于給定的信號(hào)x(t)，LMD算法流程為［6］:

(1)首先確定原給定信號(hào)x(t)的所有局部極值點(diǎn)(極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)均包括在內(nèi))ni(i=1，2，…，M)，其中M為極值點(diǎn)總數(shù)。

(2)計(jì)算相鄰極值點(diǎn)均值mi和包絡(luò)估計(jì)值ai:

(3)將相鄰極值點(diǎn)均值mi和包絡(luò)估計(jì)值ai分別用直線(xiàn)連接后再利用移動(dòng)平均法對(duì)其進(jìn)行平滑處理，可得到局部均值函數(shù)m11(t)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(4)將局部均值函數(shù)m11(t)從原給定信號(hào)x(t)中分離出來(lái)，并利用包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，公式表述如下:

如果s11(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a12(t)≠1，則將s11(t)作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)步驟(1)和步驟(2)n次，直到它的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a1(n+1)(t)=1，此時(shí)，s1n(t)是一個(gè)純調(diào)頻信號(hào)。將迭代過(guò)程中生成的所有包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘便可得到包絡(luò)信號(hào)a1(t)，公式表示如下:

(5)將包絡(luò)信號(hào)a1(t)和純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)相乘可得到第一個(gè)乘積函數(shù)PF1(t)，即:

PF1(t)是一個(gè)單分量調(diào)幅－調(diào)頻信號(hào)，包絡(luò)信號(hào)a1(t)就是它的瞬時(shí)幅值，而它的瞬時(shí)頻率f1(t)則可通過(guò)純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)求取，求取公式為:

(6)從原給定信號(hào)x(t)中減去第一個(gè)乘積函數(shù)PF1(t)可獲得一個(gè)新的信號(hào)u1(t)，再將u1(t)作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)上述步驟(1)—(5)k次，直到uk(t)為一個(gè)單調(diào)函數(shù)或常量則停止迭代。至此，原給定信號(hào)x(t)被分解成k個(gè)PF分量和1個(gè)余量uk(t)，信號(hào)x(t)可表示成k個(gè)乘積函數(shù)分量和1個(gè)余量相加的形式，公式表述如下:

1.2 LMD算法改進(jìn)

原始信號(hào)經(jīng)過(guò)LMD算法自適應(yīng)分解后獲得的PF分量是按頻率由高到低的順序依次排列的。本文認(rèn)為，LMD分解出的能量過(guò)小的乘積函數(shù)分量受噪聲干擾嚴(yán)重，很難準(zhǔn)確從中提取出信號(hào)特征信息，對(duì)于實(shí)際故障診斷基本沒(méi)有太大幫助，并且分解過(guò)多無(wú)意義的PF分量無(wú)疑會(huì)增加運(yùn)算量。為減少整個(gè)分解過(guò)程耗時(shí)，加快運(yùn)算速度，本文提出一個(gè)基于能量表述的迭代控制終止條件，具體公式表示如下:

其中:x(i)為原始信號(hào)序列，pf(i)為當(dāng)前分解獲得的乘積函數(shù)分量序列(i=1，2，…，m)，m 為序列點(diǎn)總數(shù)，θ為評(píng)價(jià)指標(biāo)。當(dāng)評(píng)價(jià)指標(biāo)θ＜0.1時(shí)，認(rèn)為當(dāng)前分解獲得的PF分量能量占原始信號(hào)能量小于10%，則可以停止迭代，余下分量均計(jì)為殘余分量。

2 峭度篩選準(zhǔn)則

峭度是反映信號(hào)分布特性的無(wú)量綱統(tǒng)計(jì)參量，可以描述信號(hào)中沖擊成分所占比重的大小，表達(dá)式為:

其中:σ和μ分別為信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差和均值，E(t)表示變量t的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)滾動(dòng)軸承正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，振動(dòng)信號(hào)的幅值分布接近正態(tài)分布，峭度值約為3，隨著故障的出現(xiàn)和發(fā)展，信號(hào)中的沖擊成分增多，幅值分布將偏離正態(tài)分布，峭度值也隨之變大［7］。

原始信號(hào)經(jīng)過(guò)局部均值分解后會(huì)得到多個(gè)乘積函數(shù)分量，各分量都或多或少的攜帶了與軸承故障特征相關(guān)的信息，而PF分量的峭度值越大，則說(shuō)明該分量中的沖擊成分比重越大，越能更好的表現(xiàn)出故障特征。本文認(rèn)為，峭度指標(biāo)對(duì)于PF分量的篩選具有一定的指導(dǎo)性作用，并在此基礎(chǔ)上提出峭度篩選準(zhǔn)則，通過(guò)LMD分解結(jié)果的峭度值對(duì)比，直接篩選出峭度值最大的PF分量，并對(duì)其做進(jìn)一步分析，將更有利于故障特征頻率信息的提取。

3 切片雙譜的定義及性質(zhì)

零均值、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)的三階累積量c(τ1，τ2)定義為［8］:

其中，E{·}代表統(tǒng)計(jì)均值。

則定義三階累積量c(τ1，τ2)的二維傅里葉變換為雙譜 B(ω1，ω2)，即:

但是雙譜的計(jì)算量龐大，不利于過(guò)長(zhǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)分析，為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，可將雙譜投影到一維頻率空間，通過(guò)計(jì)算雙譜切片來(lái)實(shí)現(xiàn)減少運(yùn)算量的目的。

取 τ1=τ2=τ，則三階累積量的對(duì)角切片 c1D(τ)可定義為［9］:

定義三階累積量對(duì)角切片c1D(τ)的一維傅里葉變換為切片雙譜B1D(ω)，即:

切片雙譜雖然形式上與功率譜相似，但卻不像功率譜那樣具有明確的物理意義，可將切片雙譜理解為歪度在頻域的分解［10］。當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生局部損傷時(shí)，振動(dòng)信號(hào)為多分量調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)，并且會(huì)偏離高斯分布，解調(diào)后的信號(hào)中包含了故障特征頻率及其倍頻、轉(zhuǎn)頻及其倍頻等幅值調(diào)制成分，這些調(diào)制成分的頻率及相位是互相關(guān)聯(lián)的，即存在二次相位耦合關(guān)系，而切片雙譜由于同時(shí)包含了信號(hào)的幅值和相位信息，從根本上彌補(bǔ)了功率譜的不足，能夠有效剔除非二次相位耦合諧波項(xiàng)，準(zhǔn)確檢測(cè)出故障信號(hào)的非線(xiàn)性耦合特征，并且切片譜對(duì)高斯白噪聲具有良好的抑制作用，將其應(yīng)用于軸承故障的診斷，分析結(jié)果將更加可靠。

4 仿真算例驗(yàn)證

利用仿真算例來(lái)驗(yàn)證LMD算法的信號(hào)分解能力以及切片雙譜的噪聲抑制和非二次相位耦合諧波剔除能力，設(shè)模擬信號(hào)為:

其中:

w(n)為高斯白噪聲，信噪比SNR為－4 dB;分析點(diǎn)數(shù)N=20 000，采樣頻率fs=20 000 Hz，模擬信號(hào)及其LMD運(yùn)算結(jié)果如圖1所示。為驗(yàn)證本文提出的新迭代停止條件在運(yùn)算量控制上的優(yōu)勢(shì)，將原停止條件分解結(jié)果一并列出，進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2所示。

圖1 模擬信號(hào)及其LMD結(jié)果Fig.1 Simulation signal and LMD results

圖2 原停止條件的LMD結(jié)果Fig.2 LMD results of original stopping condition

新迭代停止條件LMD運(yùn)算后將模擬信號(hào)分解成2個(gè)PF分量和一個(gè)余量，而原迭代控制條件LMD運(yùn)算后共獲得7個(gè)PF分量和一個(gè)余量，但幾個(gè)能量相對(duì)較小的低頻分量對(duì)于診斷過(guò)程并沒(méi)有實(shí)際意義，反而增加了分解運(yùn)算量，而新條件獲得的分量個(gè)數(shù)則相對(duì)較少，一定程度上可以減小分解工作量。通過(guò)PF1和PF2的幅值譜(如圖3所示)可以看出，原信號(hào)中的兩個(gè)單分量幅值調(diào)制信號(hào)被準(zhǔn)確分解出來(lái)，并且各分量的幅值譜中，調(diào)制邊帶隱約可見(jiàn)。圖4和圖5分別為PF1、PF2分量包絡(luò)信號(hào)的幅值譜和切片譜，下面對(duì)幅值譜和切片譜對(duì)比結(jié)果進(jìn)行分析。

圖3 PF1和PF2分量的幅值譜Fig.3 Amplitude spectrum of PF1 and PF2 component

圖4 PF1分量包絡(luò)信號(hào)的幅值譜和切片雙譜Fig.4 Amplitude spectrum and slice bispectrum of PF1 component envelope signal

圖5 PF2分量包絡(luò)信號(hào)的幅值譜和切片雙譜Fig.5 Amplitude spectrum and slice bispectrum of PF2 component envelope signal

圖4 中，PF1分量包絡(luò)信號(hào)的切片譜與幅值譜相比，僅在 100 Hz、250 Hz、350 Hz處譜線(xiàn)峰值明顯，而650 Hz處的峰值譜線(xiàn)則消失。圖5中，PF2分量包絡(luò)信號(hào)的切片譜與幅值譜相比，100 Hz頻率成分消失，15 Hz、40 Hz、55 Hz頻率成分卻依然存在。上述對(duì)比說(shuō)明，PF1 包絡(luò)信號(hào)中，100 Hz、250 Hz、350 Hz這三個(gè)分量存在二次相位耦合，同理，PF2包絡(luò)信號(hào)中的15 Hz、40 Hz、55 Hz頻率成分也滿(mǎn)足耦合關(guān)系，而不滿(mǎn)足非線(xiàn)性耦合關(guān)系的650 Hz和100 Hz頻率成分則在切片譜中被剔除，并且與幅值譜對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，切片譜中白噪聲成分幅值相對(duì)較小，從而說(shuō)明切片譜對(duì)噪聲具有一定的抑制作用。通過(guò)仿真算例，驗(yàn)證了LMD算法的多分量調(diào)制信號(hào)分解能力以及切片雙譜的高斯白噪聲抑制特性和非線(xiàn)性耦合特征檢測(cè)能力。

5 滾動(dòng)軸承故障診斷方法流程

基于LMD和切片雙譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法主要分為以下幾個(gè)步驟:

(1)首先對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行LMD分解，得到一組按照頻率由高到低順序排列的PF分量。

(2)分別計(jì)算出各PF分量的峭度值。

(3)篩選出峭度值最大的PF分量，對(duì)其包絡(luò)信號(hào)(瞬時(shí)幅值)做進(jìn)一步的切片雙譜分析。

(4)將軸承故障特征頻率理論計(jì)算值與切片雙譜中峰值明顯的譜線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，從而判斷故障類(lèi)型。

6 滾動(dòng)軸承故障診斷實(shí)例

實(shí)測(cè)信號(hào)為試驗(yàn)臺(tái)模擬的N205滾動(dòng)軸承內(nèi)圈、外圈故障信號(hào)，實(shí)驗(yàn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖6所示。采樣頻率fs=3 200 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)M=4 096，軸承滾動(dòng)體個(gè)數(shù)Z=12，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速N=1 440 r/min，軸承節(jié)圓直徑D=39 mm，滾動(dòng)體直徑d=7.5 mm，壓力角α=0°，通過(guò)計(jì)算可得，

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.6 Experimental platform

6.1 滾動(dòng)軸承外圈故障診斷

外圈故障信號(hào)時(shí)域波形及幅值譜如圖7所示，圖7(a)中的時(shí)域波形雜亂無(wú)章，基本無(wú)法辨識(shí)出信號(hào)特征。圖7(b)中三根譜線(xiàn)幅值較明顯，經(jīng)過(guò)分析，僅第二根譜線(xiàn)較接近理論計(jì)算的外圈故障特征頻率的二倍頻，而第一、三條譜線(xiàn)均與特征頻率無(wú)關(guān)，僅靠這一有限信息，無(wú)法對(duì)故障類(lèi)型做出精確診斷，為此，利用本文提出的方法對(duì)其進(jìn)行診斷。首先對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行LMD運(yùn)算，分解結(jié)果如圖8所示。

圖7 外圈故障信號(hào)的時(shí)域波形及幅值譜Fig.7 Time domain waveform and amplitude spectrum of outer ring fault signal

圖8中新迭代控制條件將故障信號(hào)分解成4個(gè)PF分量和1個(gè)余量，分別計(jì)算出故障信號(hào)LMD運(yùn)算獲得的4個(gè)PF分量的峭度值，結(jié)果如表1所示。為提取外圈故障特征頻率，根據(jù)篩選準(zhǔn)則，選擇峭度值最大的PF1分量的包絡(luò)信號(hào)做進(jìn)一步切片雙譜分析，結(jié)果如圖9(a)所示。

圖8 新迭代停止條件的LMD結(jié)果Fig.8 LMD results of new iteration stopping condition

表1 各PF分量的峭度值Tab.1 Kurtosis value of PF components

圖9 PF1分量包絡(luò)信號(hào)的切片雙譜和幅值譜Fig.9 Slice bispectrum and amplitude spectrum of PF1 component envelope signal

當(dāng)軸承外圈發(fā)生故障時(shí)，由于外圈固定，因此故障點(diǎn)所處位置及受載荷大小均保持不變，故障信號(hào)是以系統(tǒng)固有頻率為高頻載波，外圈故障特征頻率及其倍頻為調(diào)制頻率的調(diào)制信號(hào)［11］，因此包絡(luò)信號(hào)主要成分即為故障特征頻率及其倍頻。圖9(a)切片雙譜中，117.18 Hz和232.81 Hz兩處譜線(xiàn)峰值突出，分別對(duì)應(yīng)理論計(jì)算的軸承外圈故障特征頻率(116.3 Hz)及其二倍頻(232.6 Hz)，綜上所述，可判定滾動(dòng)軸承外圈存在局部缺陷，理論分析與實(shí)際情況相符。

圖9(b)為包絡(luò)信號(hào)的幅值譜，幅值譜中，116.63 Hz處譜線(xiàn)峰值較高，對(duì)應(yīng)外圈故障特征頻率，但是與切片雙譜對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)，幅值譜中背景噪聲較嚴(yán)重，干擾譜線(xiàn)較多，特征頻率的二倍頻被噪聲淹沒(méi)，診斷效果明顯沒(méi)有切片譜好。

6.2 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障診斷

內(nèi)圈故障信號(hào)的時(shí)域波形及幅值譜如圖10所示，雖然圖10(a)時(shí)域波形出現(xiàn)明顯沖擊，但是波形較復(fù)雜，僅通過(guò)時(shí)域波形無(wú)法了解故障信息。圖10(b)中，由于故障沖擊的作用，系統(tǒng)的固有頻率已被激起，并且邊頻成分豐富，調(diào)制現(xiàn)象明顯，但低頻段譜線(xiàn)雜亂，干擾較多，故障特征頻率譜線(xiàn)并不明顯，利用LMD算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，結(jié)果如圖11所示。

圖10 內(nèi)圈故障信號(hào)的時(shí)域波形及幅值譜Fig.10 Time domain waveform and amplitude spectrum of inner ring fault signal

圖11 新迭代停止條件的LMD結(jié)果Fig.11 LMD results of new iteration stopping condition

在圖11中，新迭代控制條件將內(nèi)圈故障信號(hào)分解成4個(gè)PF分量和1個(gè)余量，LMD分解獲得的4個(gè)PF分量的峭度值如表2所示，由于PF2的峭度值最大，因此選擇PF2分量的包絡(luò)信號(hào)做切片雙譜分析，結(jié)果如圖12(a)所示。

表2 各PF分量的峭度值Tab.2 Kurtosis value of PF components

圖12 PF2分量包絡(luò)信號(hào)的切片雙譜和幅值譜Fig.12 Slice bispectrum and amplitude spectrum of PF2 component envelope signal

軸承內(nèi)圈發(fā)生故障時(shí)，由于內(nèi)圈隨轉(zhuǎn)軸一起旋轉(zhuǎn)，因此故障點(diǎn)與滾動(dòng)體接觸位置及受載大小均呈周期性變化，故障信號(hào)是以系統(tǒng)固有頻率為載波，轉(zhuǎn)頻及內(nèi)圈故障特征頻率為調(diào)制頻率的調(diào)制信號(hào)，并且轉(zhuǎn)頻對(duì)特征頻率也具有調(diào)制作用［11］，因此包絡(luò)信號(hào)中主要成分為轉(zhuǎn)頻、內(nèi)圈故障特征頻率及其邊帶頻率。圖12(a)切片雙譜中有四根譜線(xiàn)幅值明顯，其中 23.44 Hz和46.88 Hz分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)頻(24 Hz)及其二倍頻(48 Hz)，171.87 Hz和148.43 Hz則分別對(duì)應(yīng)內(nèi)圈故障特征頻率理論計(jì)算值(171.7 Hz)及其轉(zhuǎn)頻調(diào)制邊帶(147.7 Hz)，結(jié)合切片譜檢測(cè)故障耦合特征的性質(zhì)可知，轉(zhuǎn)頻與內(nèi)圈故障特征頻率通過(guò)二次相位耦合產(chǎn)生了特征頻率左側(cè)的邊頻成分，綜合分析后可斷定軸承內(nèi)圈存在局部損傷。通過(guò)對(duì)圖12(b)幅值譜的分析，同樣能識(shí)別出故障特征頻率(171.82 Hz)及其調(diào)制邊帶(148.39 Hz)譜線(xiàn)，但是切片譜對(duì)噪聲的抑制效果更好，切片譜中的故障特征頻率及其相關(guān)譜線(xiàn)與幅值譜相比也更加明顯，內(nèi)圈故障診斷實(shí)例對(duì)比再次驗(yàn)證了切片雙譜在噪聲抑制和故障非線(xiàn)性耦合特征檢測(cè)上的優(yōu)勢(shì)。

7 結(jié)論

LMD算法適合處理多分量調(diào)幅—調(diào)頻信號(hào)，而切片雙譜作為高階譜的簡(jiǎn)化算法，又是分析非平穩(wěn)、非高斯信號(hào)的強(qiáng)有力工具，本文將局部均值分解方法與切片雙譜分析方法相結(jié)合，并以峭度指標(biāo)做為PF分量的篩選準(zhǔn)則，提出了基于LMD和切片雙譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。運(yùn)用該方法對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行分析，比單獨(dú)使用LMD診斷方法效果更明顯，并通過(guò)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈、外圈故障診斷實(shí)例，驗(yàn)證了新方法的可行性和準(zhǔn)確性。

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