董建超，楊鐵軍，李新輝，代 路

機(jī)械系統(tǒng)的激勵源識別對于系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)、聲振控制及故障診斷等方面有著重要的意義。實(shí)際機(jī)械設(shè)備趨于復(fù)雜化和聯(lián)合化，傳感器采集的信號往往是多個(gè)振動源耦合的結(jié)果，這使得振動信號的分析過程尤為困難。這時(shí)，基于統(tǒng)計(jì)理論的盲信號處理方法便顯現(xiàn)出其優(yōu)越性。盲信號處理方法在激勵源特性未知以及傳遞通道先驗(yàn)知識不足的情況下，以信號的統(tǒng)計(jì)特征為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，僅僅利用采集的混合信號來估計(jì)源信號并辨識傳遞通道特性。然而我們所采集的信號往往數(shù)據(jù)量龐大，如何進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮并保留有效信息，成為盲信號處理中需要首先解決的問題。

主分量分析(Principal Component Analysis，PCA)是盲信號處理中非常有效的預(yù)處理方法［1－5］，由于算法簡單實(shí)用，被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮、特征提取和去除噪聲等方面。Sutton［6］應(yīng)用PCA對汽車懸架振動進(jìn)行了分析，討論車內(nèi)噪聲來源并進(jìn)行主動控制。Cho等［7］結(jié)合PCA與傳遞路徑分析進(jìn)行了多源環(huán)境下的輸入識別。Serviere等［8～9］應(yīng)用改進(jìn)的 PCA方法進(jìn)行數(shù)據(jù)的降噪與白化預(yù)處理。相關(guān)文獻(xiàn)中應(yīng)用PCA方法時(shí)，往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定主分量貢獻(xiàn)率閾值(例如90%)來進(jìn)行不相關(guān)源數(shù)的上界估計(jì)［1－2］。如何定量的截取主分量，分析PCA的影響因素，具有重要的實(shí)際意義。

針對上述問題，本文引入鄰階分量信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)作為主分量截?cái)嗟囊罁?jù)，通過算例仿真研究了混合矩陣條件數(shù)對PCA識別結(jié)果的影響。當(dāng)PCA應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)激勵源識別時(shí)，混合矩陣對應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，激勵點(diǎn)位置、測點(diǎn)位置與系統(tǒng)固有頻率都會對頻響矩陣的條件數(shù)產(chǎn)生影響。針對工程中的激勵源，分析其線譜特征對PCA識別結(jié)果的影響。最后進(jìn)行了簡支梁結(jié)構(gòu)激勵源數(shù)目識別實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了PCA不相關(guān)激勵源數(shù)目識別的效果。

1 PCA幾何闡釋及原理

1.1 PCA幾何闡釋

PCA基于信號的二階統(tǒng)計(jì)特性，將原始變量投影到坐標(biāo)互相正交的新坐標(biāo)系，使得具有最大方差的變量集中到新坐標(biāo)系的少數(shù)幾個(gè)坐標(biāo)軸上［1］，從而在數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，用少數(shù)新的變量替代原來的多維變量。圖1以二維數(shù)據(jù)為例給出了主分量分析的幾何解釋。圖1(a)為原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，可以看出數(shù)據(jù)沿原始坐標(biāo)系的x軸和y軸方向并不具有最大方差，數(shù)據(jù)存在冗余。圖1(b)給出方差隨坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角度變化的曲線，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)至方差對應(yīng)的峰值，即x'y'坐標(biāo)系時(shí)，數(shù)據(jù)沿x'軸的分量方差達(dá)到峰值，包含了原始數(shù)據(jù)的大量信息。截取沿x'軸方向的分量即實(shí)現(xiàn)了原始數(shù)據(jù)的壓縮處理。

圖1 PCA在幾何上的解釋Fig.1 Geometrically illustration of PCA

1.2 主分量求解

假設(shè)存在噪聲n的條件下，混合信號x由信源信號 s經(jīng)矩陣 A 混合得到［2－3］，即:

假設(shè)信源數(shù)目為m且相互之間不相關(guān)，則信源的協(xié)方差矩陣 Rs=ssT=E=Diag［e1，e2…em］，為 m 維對角方陣，對角線元素為各個(gè)信源的方差，表征信源信號的能量。δn表示噪聲對信源造成的干擾。假設(shè)噪聲為不相關(guān)的隨機(jī)噪聲，則噪聲的協(xié)方差矩陣δRn=δnδnT=N=Diag［μ1，μ2…μm］，亦為 m 維對角方陣，對角線元素為各個(gè)干擾成分的方差，表征干擾成分的能量。假定測點(diǎn)數(shù)目為n且n≥m，即混合系統(tǒng)為恰定或者超定系統(tǒng)。對混合矩陣A進(jìn)行奇異值分解［1］:

式中:上標(biāo)T代表轉(zhuǎn)置，U和V是奇異值分解中的左右奇異陣，且分別是p維和q維正交歸一方陣，即UTU=UUT=I，VTV=VVT=I;Σ為n×m維準(zhǔn)對角陣，其準(zhǔn)對角線元素σi(i=1，…m)是矩陣A的各階奇異值，且按照降序排列。

x的協(xié)方差矩陣為:

式中:ΣΣT(E+N)為m維對角陣，對角線元素為Rx的特征值，且前m個(gè)對角線元素按降序排列，其余n－m個(gè)元素為零。左奇異陣U中的列向量為Rx的特征向量。

將UT左乘x，得:

計(jì)算y的協(xié)方差矩陣:

可見Ry為對角陣，說明上述變換去除了x的相關(guān)性。y的各行向量稱為主分量，協(xié)方差矩陣的各階特征值反映了各階主分量的能量。對主分量進(jìn)行截?cái)?，舍棄能量很低的分量，可?shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維壓縮和信源數(shù)目的判定。

2 算例仿真及分析

根據(jù)式(5)可知，信源信號能量的差異、噪聲干擾的大小以及不同的混合矩陣，都會對PCA的結(jié)果產(chǎn)生影響。本節(jié)主要進(jìn)行信源能量均等且存在弱噪聲的情況下的PCA算例仿真，并分析混合矩陣條件數(shù)的大小對分量截?cái)喈a(chǎn)生的影響。

2.1 PCA分量截?cái)?/h3>

本節(jié)針對式(1)所示模型進(jìn)行PCA仿真。其中:信源信號s為兩個(gè)獨(dú)立的均勻分布且具有單位方差的隨機(jī)噪聲信號;A=［1.8，－0.3;1.1，－0.9;－0.2，1.3］為3×2維的混合矩陣，矩陣條件數(shù)為 1.92;噪聲n為三個(gè)與信源不相關(guān)且方差為0.01的隨機(jī)噪聲。

對混合信號x進(jìn)行主分量分析，得到主分量y=［y1，y2，y3］T。混合信號和各階主分量的方差及相關(guān)系數(shù)絕對值如表1所示。由表1可以看出，各混合信號之間存在一定的相關(guān)性。進(jìn)行主分量分析后，各階分量間相關(guān)系數(shù)變?yōu)?，去除了相關(guān)性并且各階分量按照方差大小進(jìn)行了排序。

表1 方差及相關(guān)系數(shù)Tab.1 Variances and correlation coefficients

結(jié)合主分量貢獻(xiàn)率g，引入鄰階分量信噪比來綜合分析，進(jìn)行分量的截?cái)?。前r階主分量的貢獻(xiàn)率、第i階與第i+1階主分量的鄰階分量信噪比分別由式(6)及式(7)計(jì)算。按照相關(guān)文獻(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)［1］，本文取 g≥0.9，即當(dāng)貢獻(xiàn)率超過90%時(shí)，判定前r階分量包含數(shù)據(jù)樣本的能量。當(dāng)鄰階分量信噪比很高時(shí)，說明較小的分量可作為噪聲被截?cái)唷?/p>

上述算例中，一階分量的貢獻(xiàn)率為78.35%，前兩階分量的貢獻(xiàn)率達(dá)到99.86%;一、二階信噪比為5.61 dB，二、三階信噪比為21.75 dB。從而得出結(jié)論:不相關(guān)信號源的數(shù)目為2個(gè)，截取前兩階分量可以達(dá)到降低數(shù)據(jù)維數(shù)和減少冗余的目的。

2.2 混合矩陣條件數(shù)的影響

對于矩陣A，條件數(shù)定義如下［1］:

其中:A+1=［AHA］－1AH，為A的偽逆陣?！ぁ硎揪仃嚨?－范數(shù)，等于矩陣的最大奇異值。

令σmax，σmin分別為矩陣A的最大與最小奇異值，則‖A‖ =σmax，‖A+1‖ =1/σmin，可得

由式(5)可知，各階分量的能量與混合矩陣A的奇異值的平方呈正比，又由式(9)可得，第一階分量的能量與最后一階分量的能量之比與條件數(shù)的平方呈正比。當(dāng)混合矩陣條件數(shù)很大時(shí)，主分量貢獻(xiàn)率會變大，一階分量分量與最后一階分量的信噪比也會變高，這樣會導(dǎo)致不相關(guān)源數(shù)的錯(cuò)誤識別，主分量截?cái)嚯S即失效。

當(dāng)存在噪聲等干擾因素時(shí)，條件數(shù)很大的混合矩陣會放大干擾對信源產(chǎn)生的不良影響。由式(5)可知，ΣΣTN是主分量中干擾因素所對應(yīng)的部分，當(dāng)條件數(shù)很大時(shí)，第一階主分量中的噪聲成分會隨之放大，進(jìn)行分量截?cái)鄷r(shí)會造成信源成分的丟失。

針對2.1節(jié)中的兩個(gè)具有單位方差隨機(jī)信源信號，在弱噪聲條件下(噪聲方差為0.01)產(chǎn)生100個(gè)隨機(jī)混合矩陣A進(jìn)行混合，使前50個(gè)矩陣的條件數(shù)在1.0～1.5之間，后50個(gè)矩陣條件數(shù)在500～1 000之間。對每次混合后的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行PCA壓縮降維及源數(shù)識別。100次PCA的主分量貢獻(xiàn)率和鄰階分量信噪比結(jié)果如圖2所示。

如圖2所示，當(dāng)混合矩陣條件數(shù)較小時(shí)(前50次)，一階分量貢獻(xiàn)率在65%左右，前兩階貢獻(xiàn)率基本達(dá)到100%，從而可以判定信源數(shù)目為2個(gè)。其中一、二階分量信噪比在3 dB左右，二、三階分量信噪比在22 dB左右，前兩階分量量級接近且均遠(yuǎn)高于第三階分量。截?cái)嗲皟呻A分量，即可在不損失數(shù)據(jù)信息的前提下實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮。

圖2 PCA仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of PCA

當(dāng)混合矩陣條件數(shù)很大時(shí)(后50次)，一階分量貢獻(xiàn)率已達(dá)到100%，而且一、二階分量信噪比就高達(dá)27 dB左右，截?cái)嗲耙浑A分量即包含所有混合數(shù)據(jù)的能量，判定信源數(shù)為1個(gè)，會得出錯(cuò)誤結(jié)論。此時(shí)，截?cái)嗲耙浑A分量勢必會造成數(shù)據(jù)有效信息的丟失。

可見，當(dāng)混合矩陣的條件數(shù)很大時(shí)，數(shù)據(jù)壓縮降維處理及源數(shù)識別會失效，所以在進(jìn)行主分量分析時(shí)應(yīng)避免混合矩陣條件數(shù)過大的情況。當(dāng)PCA應(yīng)用于實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)時(shí)，混合矩陣對應(yīng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，情況變得更為復(fù)雜。下面將對機(jī)械系統(tǒng)中PCA激勵源識別問題進(jìn)行分析。

3 頻域下振動響應(yīng)主分量分析

機(jī)械振動在傳播過程中往往存在著耦合以及延遲等諸多效應(yīng)，振動響應(yīng)往往由多個(gè)激勵源卷積混合而成。對于穩(wěn)態(tài)過程的振動響應(yīng)，可以在時(shí)域或者頻域內(nèi)進(jìn)行PCA激勵源識別［5］。時(shí)域法利用信號整體時(shí)間歷程的統(tǒng)計(jì)特性，處理過程相對簡便。比較而言，頻域法能夠在各個(gè)頻段去除相關(guān)性，更有利于定量分析。因此，本文在頻域下應(yīng)用PCA識別機(jī)械系統(tǒng)激勵源數(shù)目。

3.1 頻域下機(jī)械系統(tǒng)PCA模型

對于多輸入多輸出的機(jī)械振動系統(tǒng)，假定激勵數(shù)為m，響應(yīng)數(shù)為n，頻域下的響應(yīng)為:

式中:ω為頻域內(nèi)各個(gè)頻率值，xi(ω)表示第i個(gè)響應(yīng)的傅里葉變換，hij(ω)表示第i個(gè)響應(yīng)點(diǎn)與第j個(gè)激勵點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，頻域下對應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，fj(ω)表示第j個(gè)激勵的傅里葉變換。采用矩陣形式表示如下:

式中:

分別為系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜、激勵力頻譜和頻響函數(shù)矩陣。機(jī)械系統(tǒng)通常可近似為粘性阻尼系統(tǒng)，由模態(tài)分析理論，頻率響應(yīng)函數(shù)hij(ω)可表示為:

式中:r為系統(tǒng)模態(tài)階數(shù)，ωr、ξr、φr(L)分別為系統(tǒng)的 r階固有頻率、阻尼系數(shù)和振型函數(shù)，Lxi和Lfj分別為第i個(gè)響應(yīng)點(diǎn)與第j個(gè)激勵點(diǎn)對應(yīng)的位置。響應(yīng)的功率譜密度矩陣為:

對SX進(jìn)行特征值分解，特征值λi(ω)反映頻域內(nèi)各階分量的能量。截取特征值的階數(shù)，即為PCA識別的不相關(guān)源數(shù)目。

為了保證PCA結(jié)果的有效性，希望頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)不要過大。由hij(ω)的表達(dá)式(13)可知，頻響矩陣與激勵點(diǎn)位置、測點(diǎn)位置和系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)。下面分別分析這些因素對頻響矩陣條件數(shù)的影響。

3.2 不良激勵位置與測點(diǎn)位置的影響

由式(13)中的分子項(xiàng)可知，系統(tǒng)的頻響矩陣與激勵點(diǎn)位置和測點(diǎn)位置有關(guān)。如圖3(a)所示，當(dāng)激勵源fi與fj靠近時(shí)，源的位置與各個(gè)測點(diǎn)位置之間的頻響函數(shù)非常接近，頻響矩陣H的第i列與第j列線性相關(guān)，矩陣條件數(shù)非常大，在激勵源識別過程中會將兩個(gè)源視作一個(gè)“組合源”來進(jìn)行處理。如圖3(b)所示，當(dāng)響應(yīng)xi與xj靠近時(shí)，各個(gè)激勵源位置與兩個(gè)響應(yīng)測點(diǎn)位置之間的頻響函數(shù)非常接近，頻響矩陣H的第i行與第j行線性相關(guān)，條件數(shù)也會過大，使得采集的數(shù)據(jù)冗余。實(shí)際測試分析中，為了保證激勵源識別結(jié)果有效并且降低測試的復(fù)雜程度，測點(diǎn)位置應(yīng)該保持一定間隔。

圖3 兩種情況下的頻響函數(shù)矩陣Fig.3 Frequency response function matrices of two situations

本文針對簡支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了不同激勵位置與測點(diǎn)位置的仿真研究，結(jié)果表明當(dāng)激勵源位置靠近或者測點(diǎn)位置靠近時(shí)，PCA識別過程失效，由于篇幅所限，并未在此列出結(jié)果。

3.3 激勵源特性的影響

PCA方法基于信號的不相關(guān)性，所以激勵源的特性也會對識別結(jié)果造成一定的影響。工程中的激勵源具有明顯的線譜特征，如式(15)所示，激勵源f1(t)由p個(gè)不同頻率ω1i不同幅值a1i的正弦波構(gòu)成，f2(t)由q個(gè)不同頻率ω2j不同幅值a2j的正弦波構(gòu)成:

在此分析PCA能夠得到正確識別結(jié)果時(shí)，激勵源需要滿足的條件。

對于不同頻率的正弦信號，當(dāng)采樣時(shí)間足夠長時(shí)，其不相關(guān)性與相位無關(guān);同頻率的正弦信號，只有當(dāng)相位差為π/2時(shí)，才滿足不相關(guān)性［10］，如式(16)所示。

因此，當(dāng) f1(t)和 f2(t)滿足 ω1i≠ω2j(?i，j)時(shí)，兩激勵源互不相關(guān)。由式(13)中的分母項(xiàng)可知，當(dāng)激勵源的頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)非常大，系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)被激發(fā)出來并占據(jù)主導(dǎo)地位，固有頻率附近的分離結(jié)果可信度不高，激勵源識別分析時(shí)應(yīng)當(dāng)避開。

綜上所述，當(dāng)激勵源f1(t)和f2(t)中頻率互不相等并且均不接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，PCA能夠有效地識別激勵源數(shù)目。

4 PCA源數(shù)識別實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證寬頻范圍PCA的識別效果，本文分別采用了相關(guān)的白噪聲信號與不相關(guān)的白噪聲信號作為激勵源，進(jìn)行簡支梁結(jié)構(gòu)的激勵源數(shù)目識別實(shí)驗(yàn)。兩種激勵源激勵的情況下，分別布置兩個(gè)測點(diǎn)與三個(gè)測點(diǎn)，進(jìn)行兩點(diǎn)響應(yīng)與三點(diǎn)響應(yīng)的PCA激勵源數(shù)目識別研究。通過測點(diǎn)數(shù)目與不相關(guān)源數(shù)目相等、測點(diǎn)數(shù)目高于不相關(guān)源數(shù)目的情況下的識別結(jié)果，來驗(yàn)證PCA的激勵源數(shù)目識別能力。

圖4 簡支梁實(shí)驗(yàn)臺Fig.4 Simply supported beam rig

簡支梁實(shí)驗(yàn)臺及測試儀器如圖4所示，梁結(jié)構(gòu)的材料為45 號鋼，尺寸為0.64 m ×0.056 m ×0.008 m，邊界條件為簡支。為避免頻響函數(shù)矩陣條件數(shù)過大，激勵源位置相隔一定距離，前兩個(gè)測點(diǎn)布置在兩個(gè)激勵點(diǎn)位置，第三個(gè)測點(diǎn)遠(yuǎn)離前兩個(gè)測點(diǎn)。定義圖中簡支梁左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，激勵點(diǎn)位置為:0.18 m，0.32 m;三個(gè)測點(diǎn)位置確定為:0.18 m，0.32 m，0.46 m。通過仿真計(jì)算理論頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)，除結(jié)構(gòu)的固有頻率外，其余頻域范圍的矩陣條件數(shù)均較小，表明所選定的激勵位置與測點(diǎn)位置不會對識別過程產(chǎn)生不良影響。加速度響應(yīng)的采樣頻率為4 096 Hz，采樣時(shí)間為4 s。采用Welch法［10］計(jì)算響應(yīng)的自功率譜和互功率譜，分段數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)為2 048點(diǎn)，重疊率為50%，窗函數(shù)使用漢寧窗。

4.1 相關(guān)白噪聲激勵下源數(shù)識別

采用相關(guān)白噪聲信號對簡支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵，加速度響應(yīng)的自功率譜密度如圖5所示(其中由于第三個(gè)測點(diǎn)離激勵位置稍遠(yuǎn)，所以其響應(yīng)量級較小，但不影響識別結(jié)果)。

由圖5可以看出，響應(yīng)在大部分頻段內(nèi)相互重疊，僅僅根據(jù)響應(yīng)的頻譜無法得到有效的信息來識別激勵源的數(shù)目。

圖5 相關(guān)激勵源情況下的加速度響應(yīng)自功率譜Fig.5 Power spectral density of acceleration responses under correlated excitation sources

圖6 相關(guān)激勵源情況下的功率譜矩陣特征值Fig.6 Eigenvalues of power spectral density matrices under corrlated excitation sources

分別對兩點(diǎn)響應(yīng)、三點(diǎn)響應(yīng)構(gòu)成的功率譜矩陣進(jìn)行特征值分解，各階特征值如圖6所示。觀察兩圖，第一階特征值均比其余特征值高出近60 dB，圖6(b)中二、三階特征值比較接近，相差5 dB左右，并且數(shù)值都很小。由此說明，在測點(diǎn)數(shù)目與源數(shù)目相等或者高于源數(shù)目兩種情況下，一階分量量級都遠(yuǎn)高于其余階分量，初步判定不相關(guān)激勵源數(shù)目為1個(gè)。

截取特征值得到的主分量貢獻(xiàn)率如圖7所示。可以看出兩種情況下截取前一階特征值，貢獻(xiàn)率在頻域范圍內(nèi)接近100%，說明當(dāng)測點(diǎn)數(shù)等于或高于源數(shù)時(shí)，一階分量基本包含了響應(yīng)信號的能量。

鄰階分量信噪比如圖8所示。在固有頻率處，由于結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位，所以結(jié)果稍差。除了固有頻率外的其余頻域范圍，一、二階分量信噪比為30 dB左右，圖8(b)中二、三階信噪比為3 dB左右。結(jié)果表明一階分量量級很高，可判定為激勵源，二、三階分量量級都很低，可以作為噪聲進(jìn)行截?cái)唷?/p>

圖7 相關(guān)激勵源情況下的的主分量貢獻(xiàn)率Fig.7 Contribution coefficients of principal components under correlated excitation sources

綜合圖6～8可得，對于相關(guān)白噪聲信號進(jìn)行兩點(diǎn)激勵的情況下，當(dāng)測點(diǎn)數(shù)目等于或高于源數(shù)目時(shí)，應(yīng)用PCA進(jìn)行激勵源識別，結(jié)合主分量貢獻(xiàn)率及鄰階信噪比等評價(jià)參數(shù)可以確定:不相關(guān)激勵源數(shù)目為1個(gè)。

4.2 不相關(guān)白噪聲激勵下源數(shù)識別

圖8 相關(guān)激勵源情況下的鄰階分量信噪比Fig.8 SNR between neighboring components under correlated excitation sources

采用兩個(gè)不相關(guān)白噪聲信號對簡支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵，加速度響應(yīng)的自功率譜密度如圖9所示。與4.1節(jié)圖5類似，響應(yīng)在大部分頻段內(nèi)相互重疊，僅僅根據(jù)響應(yīng)的頻譜無法準(zhǔn)確識別激勵源數(shù)。

分別對兩點(diǎn)響應(yīng)、三點(diǎn)響應(yīng)構(gòu)成的功率譜矩陣進(jìn)行特征值分解，進(jìn)行不相關(guān)源數(shù)目識別分析，各階特征值如圖10所示。固有頻率處模態(tài)響應(yīng)占主導(dǎo)地位，其余頻段內(nèi)，一、二階特征值均相差5 dB左右，而圖10(b)中三階特征值與前兩階相比低近60 dB，并且數(shù)值很小。初步判定不相關(guān)激勵源數(shù)目為2個(gè)。

主分量貢獻(xiàn)率如圖11所示。由圖可看出截取前一階特征值，兩種情況下貢獻(xiàn)率在除固有頻率的頻段內(nèi)約為65～75%左右，右圖中截取前兩階特征值的貢獻(xiàn)率基本達(dá)到了100%。由此說明，測點(diǎn)數(shù)目與源數(shù)目相等和高于源數(shù)目兩種情況下，一階分量都未能包含響應(yīng)的所有能量，而前兩階分量已經(jīng)基本包含了所有能量。

鄰階分量信噪比如圖12所示。圖中除固有頻率處較高外，一、二階分量信噪比為3～6 dB左右;右圖中二、三階信噪比達(dá)到30 dB，說明一、二階分量量級都很高，可判定為激勵源，三階分量量級很低，可以作為噪聲進(jìn)行截?cái)唷?/p>

圖9 不相關(guān)激勵源情況下的加速度響應(yīng)自譜Fig.9 Power spectral density of acceleration responses under uncorrelated excitation sources

圖10 不相關(guān)激勵源情況下的功率譜矩陣特征值Fig.10 Eigenvalues of power spectral density matrices under uncorrelated excitation sources

圖11 不相關(guān)激勵源情況下的主分量貢獻(xiàn)率Fig.11 Contribution coefficients of principal components under uncorrelated excitation sources

綜合圖10～12可知，對于不相關(guān)白噪聲信號進(jìn)行兩點(diǎn)激勵的情況下，當(dāng)測點(diǎn)數(shù)等于或高于源數(shù)時(shí)，應(yīng)用PCA進(jìn)行激勵源識別，結(jié)合主分量貢獻(xiàn)率及鄰階信噪比，可以確定:不相關(guān)激勵源數(shù)目為2個(gè)。

當(dāng)測點(diǎn)數(shù)目增加時(shí)，相關(guān)白噪聲激勵、不相關(guān)白噪聲激勵情況下的多點(diǎn)響應(yīng)PCA識別結(jié)果類似，前一階或者前兩階主分量的特征值及貢獻(xiàn)率基本不變，后幾階分量特征值和貢獻(xiàn)率都很小，激勵源數(shù)目識別結(jié)果不變。由于篇幅所限，本文未將多點(diǎn)響應(yīng)的識別結(jié)果列出。

圖12 不相關(guān)激勵源情況的鄰階分量信噪比Fig.12 SNR between neighboring components under uncorrelated excitation sources

綜合對比相關(guān)白噪聲與不相關(guān)白噪聲兩種激勵情況下的源數(shù)目識別結(jié)果可得:當(dāng)測點(diǎn)數(shù)目等于或高于激勵源數(shù)目時(shí)，應(yīng)用PCA進(jìn)行激勵源識別，可以有效地分離出能量量級高的主分量作為激勵源，小量級分量由于其貢獻(xiàn)率低且鄰階分量信噪比高，可作為噪聲進(jìn)行截?cái)唷?/p>

5 結(jié)論

分析了混合矩陣條件數(shù)對PCA識別結(jié)果的影響，主分量貢獻(xiàn)率、一階分量與最后一階分量的信噪比以及噪聲干擾對信源產(chǎn)生的不良影響均隨條件數(shù)的增大而增大，從而導(dǎo)致主分量截?cái)嗍А?/p>

當(dāng)PCA應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)時(shí)，不良的激勵點(diǎn)位置與測點(diǎn)位置情況下的分離結(jié)果以及系統(tǒng)固有頻率附近的分離結(jié)果可信度都不高。研究了工程中激勵源的線譜特征對識別結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)各個(gè)激勵源的頻率互不相等并且均不接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，激勵源滿足不相關(guān)性條件，能夠保證識別結(jié)果有效。

進(jìn)行了簡支梁結(jié)構(gòu)激勵源數(shù)目識別實(shí)驗(yàn)，引入鄰階分量信噪比作為主分量截取的依據(jù)，研究了測點(diǎn)數(shù)目等于或高于激勵源數(shù)目情況下的識別能力。結(jié)果表明:在多源激勵環(huán)境下，當(dāng)測點(diǎn)數(shù)目等于或高于源數(shù)目時(shí)，對響應(yīng)進(jìn)行主分量分析能夠準(zhǔn)確識別不相關(guān)激勵源的數(shù)目。以此為基礎(chǔ)的預(yù)處理，能夠確保激勵源盲識別過程更加可靠。

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