吳忠強(qiáng)，湯雅超，肖雪飛，于金平

(1.國(guó)家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島 0 66004;2.燕山大學(xué) 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 0 66004)

冷軋機(jī)輥縫系統(tǒng)的控制是板厚控制的核心技術(shù)。在現(xiàn)代軋機(jī)板厚控制系統(tǒng)中，電液伺服控制系統(tǒng)以其響應(yīng)速度快、控制精度高、體積小、質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)占據(jù)了主導(dǎo)地位。但是，電液伺服控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性特性，系統(tǒng)中的參數(shù)存在不確定性，給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大的困難［1］。由于線性控制策略往往得不到理想的控制效果，人們將非線性智能控制方法應(yīng)用到板厚自動(dòng)控制系統(tǒng)中:趙琳琳等［2］利用自適應(yīng)魯棒控制方法設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)控制器;李迅等［3］將Smith預(yù)測(cè)方法應(yīng)用到AGC控制系統(tǒng)中;Bemporad等［4］利用最優(yōu)滑模方法進(jìn)行AGC控制。以上方法都在一定程度上改善了AGC系統(tǒng)性能。

Backstepping設(shè)計(jì)方法的基本思路是將一個(gè)復(fù)雜的高階系統(tǒng)分解成若干個(gè)子系統(tǒng)，遞歸地對(duì)各個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行Lyapunov函數(shù)選擇和控制器設(shè)計(jì)直至完成對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，從而有效地避開了直接選取高階系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的難題。Backstepping設(shè)計(jì)方法因其具有設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)單、步驟清晰等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。Hang等［5］提出了一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)Backstepping控制;Ge等［6］基于 Backstepping方法提出了非線性系統(tǒng)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制;Yang等［7］提出了基于小增益和Backstepping的魯棒自適應(yīng)模糊控制器;Zhou等［8］對(duì)帶有輸入延時(shí)的不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)了Backstepping自適應(yīng)控制;李淵等［9］將Backstepping方法應(yīng)用到雙饋電機(jī)系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器。

文獻(xiàn)［10－11］針對(duì)電液伺服系統(tǒng)采用了標(biāo)準(zhǔn)的Backstepping設(shè)計(jì)方法分別設(shè)計(jì)了多滑模魯棒自適應(yīng)控制和自適應(yīng)滑?？刂?，由于電液伺服系統(tǒng)中含有較多的不確定參數(shù)，使得控制器中含有大量的自適應(yīng)律，加之Backstepping設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)狀態(tài)量反復(fù)求導(dǎo)引起的計(jì)算膨脹問(wèn)題，導(dǎo)致控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，很難得到最優(yōu)的控制效果。賈濤等［12］應(yīng)用了模糊自適應(yīng)方法，解決了Backstepping方法的計(jì)算膨脹問(wèn)題，使控制效果得到了改善。

本文針對(duì)液壓輥縫系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定性和負(fù)載干擾提出了一種自適應(yīng)模糊Backstepping滑?？刂品椒?。用模糊系統(tǒng)來(lái)逼近參數(shù)不確定項(xiàng)和干擾項(xiàng)，解決了大量自適應(yīng)律嵌套在控制器中的問(wèn)題。選取適當(dāng)Lyapunov函數(shù)，有效地減少了Backstepping設(shè)計(jì)步驟，抑制了Backstepping設(shè)計(jì)過(guò)程中的計(jì)算膨脹。仿真表明，本控制器能實(shí)現(xiàn)快速跟蹤，對(duì)參數(shù)變化和負(fù)載干擾具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 液壓－輥系模型及問(wèn)題描述

冷軋液壓輥縫系統(tǒng)是由四通滑閥、雙頭液壓缸和機(jī)架軋輥系統(tǒng)組成。

假設(shè)四通閥為理想的零開口滑閥，根據(jù)流體力學(xué)節(jié)流公式和壓力分析可得四通閥的壓力－流量方程:

其中:xv為閥芯位移;Kiv為伺服放大器的放大倍數(shù);QL為負(fù)載流量;Cd為節(jié)流口流量系數(shù);W為節(jié)流口面積梯度;ps，pL分別為油源壓力和負(fù)載壓力;ρ為液壓油密度;u為控制器輸出。

假設(shè)液壓缸的負(fù)載流量是兩個(gè)工作腔流量的平均值，綜合每個(gè)工作腔的流量連續(xù)方程可得油缸的流量連續(xù)方程:

其中:Ct為液壓缸的總的泄露系數(shù);A為液壓缸活塞的有效面積;Vt為液壓缸等效的總?cè)莘e;xp為液壓缸輸出位移;β為液體體積彈性模量。

液壓缸的動(dòng)態(tài)特性受負(fù)載特性的影響，冷軋液壓系統(tǒng)的負(fù)載力包括粘性阻力、彈性阻力、外部負(fù)載力和慣性力。將軋機(jī)輥系近似為單自由度模型，認(rèn)為在軋制的過(guò)程中下輥系是固定不動(dòng)的，只有上輥系做垂直運(yùn)動(dòng)，則有液壓缸輸出力平衡方程:

其中:m為折算到活塞上的總的等效質(zhì)量;B為軋機(jī)粘性阻尼系數(shù);K為軋機(jī)彈性剛度系數(shù)。

假設(shè)液壓缸活塞桿與軋輥剛性連接，液壓缸缸體與機(jī)架剛性連接，工作輥與支撐輥是彈簧－阻尼連接，可建立軋機(jī)機(jī)架－輥系和液壓缸的動(dòng)力學(xué)方程:

其中:xw為工作輥位移;Mw為工作輥及其軸承的等效質(zhì)量;C為工作輥與支撐輥間的阻尼系數(shù);KM為軋輥間彈性系數(shù);fl為外部負(fù)載力。

控制目標(biāo)是使系統(tǒng)快速跟蹤給定的參考軌跡并保持穩(wěn)定。本文采用Backstepping方法設(shè)計(jì)滑模控制器，利用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)來(lái)逼近不確定項(xiàng)和干擾項(xiàng)，從而消除不確定項(xiàng)和干擾項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，最終使系統(tǒng)工作在穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

Ωf、Ωg和 Ω0分別是 ωf、ωg和 x的有界集。根據(jù)模糊系統(tǒng)的萬(wàn)能逼近定理，f(x)、g(x)的最優(yōu)逼近分別為:

定義逼近誤差:

2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

對(duì)液壓輥縫系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)模糊Backstepping滑模控制器設(shè)計(jì)，選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)使得三步Backstepping就能完成對(duì)五階系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)，解決高階系統(tǒng)Backstepping設(shè)計(jì)的計(jì)算膨脹問(wèn)題，在Backstepping設(shè)計(jì)的最后一步與滑模控制方法相結(jié)合，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的魯棒性，最后證明設(shè)計(jì)的控制器能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

第一步，首先考慮子系統(tǒng)(x1，x2)，選取Lyapunov函數(shù)

則V1沿著子系統(tǒng)(x1，x2)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為:

選取

為虛擬控制輸入，其中k1為選定的正常數(shù)。

令 α1=e4－e3=(x4－x3)－(x4d－x3d)

其中 x3d，x4d為 x3，x4的期望值。那么

第二步，考慮子系統(tǒng)(x1，x2，x3，x4)，選取 Lyapunov函數(shù)

其中rf為選定的正常數(shù)。有:

選取

為虛擬控制輸入，其中k2為選定的正常數(shù)。

令α2=e5=x5－x5d，其中x5d為x5的期望值。則

所以自適應(yīng)律取

則

第三步，定義滑動(dòng)流形為

其中c1為選定的正常數(shù)。

對(duì)s求導(dǎo)有

定義 η － η^= η～。

考慮整個(gè)系統(tǒng)，選取Lyapunov函數(shù)

其中 rg，rη為選定的正常數(shù)，有

取自適應(yīng)滑?？刂破?/p>

其中k4是選定的正常數(shù)。將式(21)代入式(20)有

取自適應(yīng)律:

將上述自適應(yīng)律代入到式(22)中可得:

當(dāng)控制器的參數(shù)滿足下列不等式時(shí)，

矩陣Ψ的一、二階順序主子式全都大于零，所以矩陣Ψ是正 定 的。由 式 ( 24)可 知·V≤ － ［α1α2］ ×Ψ［α1α2］T，因此有［α1α2］Ψ［α1α2］Td t≤V(0)－V(∞)。又因?yàn)?x2－ x1)、α1、α2、s、都是有界的，所以 V 有界。由 B arbalat定理可知［α1α2］Ψ［α1α2］T=0，所以有=0(i=1，2)，就是系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂。同理，即整個(gè)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)給定信號(hào)的跟蹤，系統(tǒng)狀態(tài)將沿著期望的軌跡趨近于滑模面s=0，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

3 仿真研究

為驗(yàn)證該控制方法的有效性，對(duì)某廠四輥軋機(jī)進(jìn)行參數(shù)取樣，并對(duì)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化前后，自適應(yīng)模糊Backstepping控制器與經(jīng)典Backstepping控制器的響應(yīng)曲線進(jìn)行比較:

在式(5)所示的冷軋機(jī)電液伺服系統(tǒng)中，主要的參數(shù)為:A=0.68 m2;m=84.2×103kg;B=9×105Ns/m;K=6 ×1010N/m;KM=5.6 ×1010N/m;Ct=5 ×10－13m3s/Pa;Vt=0.144 m3;β =7 ×108Pa;Kq=2.6 ×10－2m2/s;Ps=1 ×107Pa;ρ=900 kg/m3;Kiv=0.004;Mw=9.2 ×103kg;C=11.38 ×105Ns/m。

控制器參數(shù):k1=10 000，k2=662，k3=16.5，k4=350，rf=0.05，rg=1，rη=0.000 1，c1=1。

模糊集合對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)取為

軋機(jī)的工作環(huán)境惡劣，會(huì)因帶鋼的溫度、厚度、密度、材質(zhì)的分布不均、機(jī)械的振動(dòng)和焊接點(diǎn)等不確定的因素造成負(fù)載的質(zhì)量、粘性阻尼系數(shù)、彈性模量等會(huì)發(fā)生改變。考慮系統(tǒng)參數(shù)的慢時(shí)變特性，主要是以下參數(shù)發(fā)生變化:m=90×103kg，B=8.5 ×105Ns/m，K=5.5 ×1010N/m，C=10.5 ×105Ns/m，Ct=5.5 ×10－13m3s/Pa，Mw=9.0 ×103kg。

軋機(jī)軋制過(guò)程分為三個(gè)不同的工作階段:上下工作輥靠近階段、上下工作輥壓靠階段、正常軋制階段。然而上下工作輥壓靠階段和正常軋制階段聯(lián)系緊密，負(fù)載特性相似，所以將其視為一個(gè)工作階段。下面從上下工作輥靠近階段、壓靠－正常軋制階段兩個(gè)階段對(duì)控制器的效果進(jìn)行驗(yàn)證:

(1)在實(shí)際軋制過(guò)程中，冷軋機(jī)在準(zhǔn)備軋制前要先將兩工作輥靠近，這一過(guò)程中兩工作輥之間沒有相互擠壓，所以負(fù)載軋制力fl=0，系統(tǒng)無(wú)負(fù)載干擾。液壓系統(tǒng)由靜止?fàn)顟B(tài)啟動(dòng)，從0 mm位置移到20 mm即滿足這一工藝要求。圖1、圖2表明本控制算法與經(jīng)典Backstepping控制算法相比對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)具有快速性和準(zhǔn)確性，能夠滿足軋鋼生產(chǎn)本階段的要求。

圖1 跟蹤20 mm位移輸出響應(yīng)曲線Fig.1 The output response curve of tracking 20 mm displacement

圖2 跟蹤20 mm位移誤差曲線Fig.2 The error curve of tracking 20 mm displacement

圖3 f(x)的自適應(yīng)模糊估計(jì)曲線Fig.3 Theadaptive fuzzy estimation curve of f(x)

圖3和圖4表示系統(tǒng)參數(shù)改變前后，上下工作輥靠近階段自適應(yīng)模糊系統(tǒng)對(duì)f(x)和g(x)的估計(jì)曲線，由圖可知自適應(yīng)模糊系統(tǒng)可以在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出非線性函數(shù)。圖5是系統(tǒng)參數(shù)變化前后，上下工作輥靠近階段控制系統(tǒng)η的自適應(yīng)估計(jì)曲線。

(2)壓靠過(guò)程:為了消除小軋制力區(qū)不穩(wěn)定的影響，在軋機(jī)中沒有帶鋼的情況下，將上下工作輥壓靠在一起，產(chǎn)生較大軋制力的過(guò)程。這一過(guò)程要求兩工作輥壓靠距離為1 mm。如圖6、圖7所示，0～0.1 s為壓靠過(guò)程，工作輥快速壓靠并且在0.07 s時(shí)誤差遠(yuǎn)小于0.01 mm，表明本控制算法可以實(shí)現(xiàn)軋機(jī)系統(tǒng)的快速壓靠，使軋制力迅速達(dá)到正常軋制生產(chǎn)的要求，達(dá)到消除小軋制力區(qū)不穩(wěn)定影響的要求，使軋機(jī)系統(tǒng)快速過(guò)度到正常的軋制過(guò)程。

(3)正常軋制過(guò)程:板帶在軋制的過(guò)程中存在加工硬化現(xiàn)象，帶鋼的溫度、厚度、密度、材質(zhì)的分布不均、機(jī)械的振動(dòng)和焊接點(diǎn)等不確定的因素造成負(fù)載的質(zhì)量、粘性阻尼系數(shù)、彈性模量等會(huì)發(fā)生改變，這些因素都能夠造成軋制力突變。為了對(duì)實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程中的干擾進(jìn)行仿真，在0.05 s后令軋制力突變?yōu)閒l=1.34×107N，符合正常軋制生產(chǎn)的要求。圖6和圖7的0.1秒以后輸出的曲線表示正常軋制過(guò)程響應(yīng)曲線。表明該控制算法可以有效地消除軋制過(guò)程負(fù)載擾動(dòng)的影響，使系統(tǒng)穩(wěn)定的跟蹤指定位置。

由圖6、圖7可知自適應(yīng)模糊Backstepping控制算法比經(jīng)典Backstepping算法更能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，使系統(tǒng)得到更好的性能。

圖8和圖9表示系統(tǒng)參數(shù)改變前后，壓靠－正常軋制階段自適應(yīng)模糊系統(tǒng)對(duì)f(x)和g(x)的估計(jì)曲線，由圖可知自適應(yīng)模糊系統(tǒng)可以在短時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出非線性函數(shù)。圖10是系統(tǒng)參數(shù)改變前后，壓靠－正常軋制階段控制系統(tǒng)η的自適應(yīng)估計(jì)曲線。

通過(guò)上述三個(gè)工作過(guò)程可以表明:在系統(tǒng)的參數(shù)改變前后，該控制器都能夠使系統(tǒng)快速跟蹤指定位置，使位置誤差收斂到0.01mm以內(nèi)，克服系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，對(duì)負(fù)載的擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，控制器實(shí)用有效。

圖4 g(x)的自適應(yīng)模糊估計(jì)曲線Fig.4 Theadaptive fuzzy estimation curve of g(x)

圖5 η的自適應(yīng)估計(jì)曲線Fig.5 Adaptive estimation curve ofη

圖6 壓靠－正常軋制輸出響應(yīng)曲線Fig.6 The output response curve of under pressure-normal rolling

圖7 壓靠－正常軋制誤差曲線Fig.7 The error curve of under pressure-normal rolling

圖8 壓靠－正常軋制f(x)的自適應(yīng)模糊估計(jì)曲線Fig.8 The adaptive fuzzy estimation curve of f(x)of under pressure-normal rolling

圖9 壓靠－正常軋制g(x)的自適應(yīng)模糊估計(jì)曲線Fig.9 The adaptive fuzzy estimation curve of g(x)of under pressure-normal rolling

圖10 壓靠－正常軋制η的自適應(yīng)估計(jì)曲線Fig.10 Adaptive estimation curve ofη of under pressure-normal rolling

4 結(jié)論

本文綜合考慮冷軋液壓輥縫系統(tǒng)的非線性、參數(shù)不確定性和負(fù)載干擾，建立了五階液壓輥縫系統(tǒng)模型。設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)模糊Backstepping滑模控制方法。利用自適應(yīng)模糊系統(tǒng)對(duì)模型的不確定項(xiàng)和干擾項(xiàng)進(jìn)行逼近，從而消除了不確定項(xiàng)和干擾項(xiàng)的影響。根據(jù)模型特征，選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，使得三次反步算法就能夠完成對(duì)五階系統(tǒng)自適應(yīng)模糊Backstepping滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)，有效地簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過(guò)程，解決了高階系統(tǒng)Backstepping設(shè)計(jì)的計(jì)算膨脹問(wèn)題，在Backstepping設(shè)計(jì)的最后一步與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的魯棒性。仿真結(jié)果表明，該控制器能使系統(tǒng)夠快速準(zhǔn)確地跟蹤指定位置，對(duì)參數(shù)變化和外部干擾有較強(qiáng)的魯棒性?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)步驟簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，為工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用提供了新的控制方法。

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