陳世業(yè)，王良明，史 偉

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院，南京 210094;2.中國兵器工業(yè)基團051基地，華陰 714200)

在火炮射擊過程中，由于彈炮間隙的存在，彈丸前定心部和彈帶與身管內壁發(fā)生劇烈的接觸碰撞，導致身管振動和彈丸運動兩者相互耦合作用，形成火炮的起始擾動并影響彈丸出炮口時刻的初始狀態(tài)，因此研究彈炮間的耦合運動［1－2］對提高火炮的射擊精度具有重要的指導意義。

從目前的研究狀況來看，身管和彈丸的耦合系統(tǒng)動力學模型主要采用基于多剛體理論的有限段法［3－4］以及基于彈塑性力學和接觸碰撞問題的有限元法［5］。由于身管具有較大的長徑比，在系統(tǒng)模型中必須考慮其柔性變形，當彈丸在膛內高速運動時，其與身管內壁的間隙在很小的量級范圍內，如何在反映身管柔性變形的前提下充分考慮彈炮間的相互作用，是建立系統(tǒng)剛柔耦合模型［6］過程中存在的一個重要問題;同時，運動過程中彈丸和身管的接觸區(qū)域在隨時變化，即柔性體的邊界條件不斷改變，若將有限元法應用到整個火炮多體動力學模型中，勢必大大降低系統(tǒng)的求解效率。

針對上述問題，本文將虛擬體引入到彈炮系統(tǒng)中，提出一種通過虛擬體來傳遞彈炮間相互作用力的方法，推導了含虛擬體項的系統(tǒng)多體動力學方程，并結合算例與試驗結果進行對比驗證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)拓撲關系描述

首先引出本文中虛擬體的概念，即假想的無質量無轉動慣量的剛性體，在動力學仿真模型中可以通過把剛體的質量和轉動慣量設為極小值來代替。

含虛擬體的彈炮系統(tǒng)拓撲關系如圖1所示，h代表部件間的連接關系，圖中的柔性身管采用模態(tài)法［7－8］來描述其柔性變形，即將事先經(jīng)過有限元模態(tài)解析的身管單元代入系統(tǒng)模型，通過模態(tài)振型的疊加來獲得對應的應力和應變。

圖1 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)拓撲關系圖Fig.1Topological relation of the projectile-barrel system

模型具體描述如下:由有限個虛擬體組成模擬身管，其中模擬身管的幾何模型對應于真實身管的實體外形，虛擬體兩端以球鉸(h9～h12)形式聯(lián)接在經(jīng)過模態(tài)解析的柔性身管單元上，相鄰虛擬體間以扭轉彈簧力(h5～h8)限制其繞身管軸線方向的相對轉動，彈丸與虛擬體間的接觸碰撞力(h1～h4)通過虛擬體傳遞到柔性身管單元上并反饋給彈丸運動，柔性身管兩端分別與炮尾和炮口制退器固連(h13～h14)。

虛擬體的引入使彈炮間的力元經(jīng)由模擬身管來間接傳遞，并將柔性身管和彈丸的耦合作用轉化為彈丸與虛擬體間的接觸碰撞，實現(xiàn)了彈丸和柔性身管的等效接觸，同時有效避免了柔性身管邊界條件發(fā)生改變這一問題。

2 柔性身管和虛擬體間的運動學方程

在此先列出柔性身管和虛擬體間的運動學約束方程。沿身管軸線方向取任意虛擬體 j，如圖2所示，OXYZ為系統(tǒng)的慣性參考坐標系，OmXmYmZm、OjXjYjZj分別為柔性身管m和虛擬體j的連體坐標系，坐標原點均設在對應物體質心處。

圖2 身管和虛擬體間的約束Fig.2 Constraint between the barrel and virtual substance

則虛擬體j的坐標原點可以表示為:

同時，虛擬體j的姿態(tài)方程由下式確定:

聯(lián)立式(1)和式(2)，即得到柔性身管和任意虛擬體j的運動約束方程:

3 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)動力學方程

對于任意受約束多體系統(tǒng)中的第i個柔性體或剛體，其對應的動力學控制方程為:

式中:T為動能，qi為廣義坐標，λ為拉格朗日乘子，F(xiàn)i為廣義力，為對應的運動約束矩陣。

將構件的動能表達式代入上式并化簡可得:

將系統(tǒng)中所有構件產(chǎn)生的運動方程與構件間的約束方程聯(lián)立，其中，虛擬體與身管間的約束見上節(jié)式(3)，即構成了含虛擬體的彈炮耦合系統(tǒng)動力學方程:

對于該系統(tǒng)，

式中:Mv為n個虛擬構件的質量矩陣，剛性構件的質量矩陣Mr包含了彈丸，炮尾和炮口制退器三部分，對應的表達式如下:

柔性身管的質量矩陣Mf為:

式中:nf為模態(tài)坐標的個數(shù)。

4 彈丸與虛擬體間的接觸碰撞力模型

在剛柔耦合多體系統(tǒng)中，由于需要考慮到柔性體的形變，多采用基于懲罰函數(shù)的接觸力計算方法，即將接觸和碰撞現(xiàn)象按連續(xù)的動力學問題來處理。

當彈丸在模擬身管中運動時，如圖3所示，考慮彈帶和彈丸前定心部與虛擬體間的接觸碰撞，基于懲罰函數(shù)定義接觸力Fn的計算公式為:

其中:k為接觸剛度系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，δ為穿透深度，m1、m2和m3分別為剛度指數(shù)、阻尼指數(shù)和凹痕指數(shù)，則切向摩擦力Ft由下面兩個方程確定:

式中:μ和Fmax分別為摩擦系數(shù)和定義的最大摩擦力。

綜上可知，當彈丸在模擬身管中與虛擬體發(fā)生接觸碰撞，兩者產(chǎn)生的接觸力將以廣義力Fe的形式傳遞到系統(tǒng)的動力學方程中，從而對身管的振動造成影響并反饋給彈丸運動。

圖3 含虛擬體的彈炮系統(tǒng)模型Fig.3 The projectile-barrel system model including virtual substances

5 算例分析

以某型火炮為例，引入含虛擬體的彈炮耦合模型，如圖3所示，模型中由11個虛擬體組成模擬身管，附加了22個柔性鉸和11個剛性鉸約束，含模態(tài)信息的柔性身管單元在炮閂前端面中心處與炮尾固連。

該型火炮某次試驗條件為:高低射角0 mil，方向射角0 mil，采用全裝藥底凹榴彈在常溫下射擊。將試驗條件代入含虛擬體的彈炮剛柔耦合動力學仿真模型，賦予系統(tǒng)初始射角，分別在彈丸底部和炮尾前端面中心處施加火藥燃氣作用力;同時，取彈丸質量m=21.5 kg，質量偏心為0.15 mm，前定心部與虛擬體內壁的間隙e=0.25 mm，彈帶與虛擬體緊密接觸，接觸剛度k=80 000 N/mm。

系統(tǒng)坐標系定義如下:以炮閂前端面和身管軸線的交點為坐標原點，沿身管軸線指向炮尾后端面為x軸正方向，y軸豎直向下，z軸由右手定則確定。系統(tǒng)模型在經(jīng)過靜平衡分析后在t=0.1 s時開始仿真射擊，圖4、圖5分別給出了身管在后坐運動過程中其后坐位移l和后坐速度v的對比情況。

由圖中可以看出，計算結果和實測的火炮后坐運動規(guī)律基本相符，炮尾相對于搖架大約在彈丸發(fā)射后0.6 s復進到位。

在實際射擊過程中，彈丸在膛內運動時將繞身管軸線(x軸)方向加速旋轉，在仿真模型中，通過對彈帶添加沿x軸的旋轉力矩來實現(xiàn)膛線對彈丸的扭轉作用。圖6、圖7分別給出了在x方向上彈丸線速度vd和角速度ωx的計算曲線，由圖中看出速度曲線在t=0.112 s左右即不再上升，可知，彈丸從開始發(fā)射到離開模擬身管大約經(jīng)過了12 ms。

圖4 后坐位移曲線Fig.4 The curves of recoil displacements

圖5 后坐速度曲線Fig.5 The curves of recoil velocities

圖6 彈丸速度計算曲線Fig.6 The calculated curves of ballet speed

圖7 彈丸x方向角速度計算曲線Fig.7 The calculated curves of ballet angular speed in x direction

圖8 彈丸y、z方向角速度Fig.8 The ballet angular speeds in y and z directions

圖9 彈丸前定心部和模擬身管間的接觸力Fig.9 The contact force between analog barrel and bourrelet

由于試驗測得的為彈丸出炮口后在空中飛行的速度曲線，在此取彈丸出炮口時刻的測試值與該時刻對應的計算值進行對比;同時，列出后坐運動的特征參數(shù)對比情況。綜上，計算值和測試值的相對誤差如表1所示，可知將虛擬體應用到彈炮耦合系統(tǒng)模型中，能較真實地反映身管后坐特性和彈丸的膛內運動規(guī)律。

圖8給出了彈丸在y、z方向的角速度計算結果，可知，由于彈丸前定心部和虛擬體內壁存在間隙，且彈帶和虛擬體緊密結合，彈丸在模擬身管中高速運動的同時將繞彈帶做俯仰和側擺運動。

圖9和圖10分別給出了彈丸前定心部和彈帶與模擬身管間的接觸力曲線。從圖9中可以看出，彈丸圍繞彈帶中心做角運動時，將不定時與虛擬體內壁發(fā)生劇烈的碰撞，形成較大的沖擊載荷并作用在模擬身管上;由圖10可得，彈帶與虛擬體內壁間為緊密配合，兩者的作用力主要表現(xiàn)為沿彈帶徑向的擠壓力，且在彈丸的膛內運動過程中始終存在。

表1 計算值和測試值的相對誤差Tab.1 The relative errors between the calculation and the test value

圖10 彈帶和模擬身管間的接觸力Fig.10 The contact force between analog barrel and band

6 結論

本文通過將虛擬體引入彈炮系統(tǒng)，推導了柔性身管和虛擬體間的運動約束方程以及含虛擬體的彈炮系統(tǒng)動力學方程，為建立含虛擬體的彈炮耦合系統(tǒng)動力學模型提供了理論基礎;同時，以某型火炮為例，通過仿真計算和試驗數(shù)據(jù)的對比，得到如下結論:

(1)基于虛擬體構建彈炮系統(tǒng)模型在理論上是可行的，通過模擬身管來傳遞彈炮間的力元，實現(xiàn)了柔性身管和彈丸的等效接觸。

(2)采用該方法建立的模型能較真實地反映彈丸的膛內運動規(guī)律;同時，由于模型中保留了柔性身管的模態(tài)信息，故能精確描述身管在外力作用下的振動特性，可以為彈炮耦合問題的研究提供一定參考。

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