3 圓弧滑面極限分析上限法

3.1 圓弧滑面垂直條分法平移破壞機(jī)制

土坡塑性極限分析條分法是以極限分析上限定理作為理論基礎(chǔ)的一種穩(wěn)定性分析評(píng)價(jià)方法，因此，選擇滿足機(jī)動(dòng)許可速度場(chǎng)的破壞機(jī)制就顯得十分重要。根據(jù)所選擇的破壞機(jī)制就可以建立虛功率方程，從而可推導(dǎo)穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式。

傳統(tǒng)的條分法（剛體極限平衡理論）沒(méi)有考慮土體的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，也不滿足巖土材料遵循的相關(guān)聯(lián)法則。相比較而言，土坡塑性極限分析條分法則在一定程度上克服了上述的缺點(diǎn)。同時(shí)，該方法在建立塑性極限破壞機(jī)制的過(guò)程中，采用了傳統(tǒng)的條分法分條的思想，從而使得該方法的計(jì)算結(jié)果與條分法的計(jì)算結(jié)果具有較好的可比性。

土坡塑性極限分析條分法平移破壞機(jī)制的滑面或潛在滑面采用光滑曲線，該曲線可以為一般的圓弧、拋物線或其他擬合得到的光滑曲線。這樣對(duì)滑面的假定是允許的，可以滿足土坡穩(wěn)定性分析評(píng)價(jià)的要求。陳惠發(fā)在其著作《極限分析與土體塑性》中指出：“在土坡穩(wěn)定分析中，完整的分析方法應(yīng)當(dāng)考慮到所有可能的滑動(dòng)面形狀，并且滿足一定的條件，因此，當(dāng)然沒(méi)有理由認(rèn)為可以從這些條件導(dǎo)得一個(gè)能給出臨界穩(wěn)定條件的唯一解。顯然，這是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題?！保惢莅l(fā)，1995；龔曉南，1997）。根據(jù)陳惠發(fā)的研究結(jié)果可以得到結(jié)論，即在選擇滑面形狀時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體的工程地質(zhì)條件和以往的研究成果，針對(duì)不同的情況合理地選用。

除了上述對(duì)滑面的假定外，塑性極限分析條分法平移破壞機(jī)制將土條視為剛體，而將滑面（潛在滑面）和條間接觸帶視為塑性體。當(dāng)土坡產(chǎn)生滑動(dòng)時(shí)，各土條合理的運(yùn)動(dòng)方向是向下的，且相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則要求滑面速度方向與滑面處有一夾角φ（見(jiàn)圖3-1）。

圖3-1 土坡塑性極限分析條分法平移破壞機(jī)制（王根龍，等，2002）

根據(jù)條分法平移破壞機(jī)制土條為剛體的假定可知，在土條內(nèi)部將不存在應(yīng)力、應(yīng)變，因此土條內(nèi)部就沒(méi)有內(nèi)能的耗散（王根龍，2002）。在坡體內(nèi)部，能量的耗散主要集中在滑面與豎向速度間斷面上，因此，虛功率方程式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為如下的形式

式中：Γ*為滑面和各豎向速度間斷面；D為速度間斷面上單位長(zhǎng)度內(nèi)能的耗散率；v*為機(jī)動(dòng)許可的速度場(chǎng)；W為土重；T為作用在坡體上的外荷載。其中，間斷面上的單位長(zhǎng)度內(nèi)能耗散率D公式為

相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則要求土條的速度v與速度間斷面成φ角。相鄰?fù)翖l的滑面速度vi、vi-1與相鄰?fù)翖l間的豎向速度間斷面速度[v]i,i-1，三矢量有閉合關(guān)系（見(jiàn)圖3-2）。根據(jù)相鄰?fù)翖l的幾何關(guān)系與矢量閉合關(guān)系，便可推導(dǎo)得出vi,vi-1,[v]i,i-1三者的速度遞推關(guān)系公式（王根龍，2007）。

式中：[v]i,i-1為相鄰?fù)翖l間豎向速度間斷面的相對(duì)速度；[φ]i,i-1為相鄰?fù)翖l間豎向速度間斷面的內(nèi)摩擦角；αi，αi-1為第i個(gè)土條與第i-1個(gè)土條滑面位置的傾角；φi，φi-1為第i個(gè)土條與第i-1個(gè)土條滑面位置的內(nèi)摩擦角；vi，vi-1為第i個(gè)土條與第i-1個(gè)土條滑面位置的速度。

圖3-2 速度矢量圖

對(duì)于均質(zhì)土坡，內(nèi)摩擦角取恒定的φ值，此時(shí)速度矢量vi若從同一點(diǎn)引出，則可發(fā)現(xiàn)各豎向間斷面的速度矢量[v]i,i-1位于同一條直線上，如圖3-3（a）所示。由多層土組成的非均質(zhì)土坡，各豎向速度間斷面的內(nèi)摩擦角[φ]i,i-1取不同的值，則相應(yīng)的速度矢量[v]i,i-1不在同一條直線上。但上述兩種情況下速度遞推公式（3-3）、式（3-4）仍然成立。

圖3-3 均質(zhì)土坡速度矢量圖

3.2 圓弧滑面垂直條分法塑性極限分析穩(wěn)定系數(shù)

為了得到土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法平移破壞機(jī)制的穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式，需根據(jù)作用于坡體上的外荷載和土體自重所做的外功率與塑性變形區(qū)的內(nèi)部能量耗損率相等的條件建立起虛功率方程。由于已經(jīng)假設(shè)土條為剛體，因此，坡體內(nèi)部的能量耗損只發(fā)生在滑面和豎向速度間斷面上。內(nèi)部能量耗損率計(jì)算公式為

式中：等號(hào)右端第一項(xiàng)表示沿滑面的內(nèi)能耗損率，其中l(wèi)i為第i個(gè)土條滑裂面長(zhǎng)度，ci為第i個(gè)土條在滑裂面處的黏聚力；第二項(xiàng)表示豎向速度間斷面的內(nèi)能耗損率，其中[h]i,i-1為相鄰的土條交線高度，[c]i,i-1為相鄰?fù)翖l交線處的黏聚力；其他符號(hào)意義同上。

當(dāng)不考慮孔隙水壓力及外部作用荷載產(chǎn)生的附加水平向荷載時(shí)，由土體自重和外部作用荷載產(chǎn)生的附加鉛直向荷載所做的外功率計(jì)算公式為

式中：Wi為第i個(gè)土條的自重；Ti為外部作用荷載分配給第i個(gè)土條的鉛直向附加荷載；其他符號(hào)意義同上。當(dāng)土坡處于極限破壞狀態(tài)時(shí)，根據(jù)內(nèi)外功率相等的條件（D內(nèi)=W外），即可建立虛功率方程。但應(yīng)當(dāng)注意，在虛功率方程中的力學(xué)參數(shù)c，φ并不是土坡正常工作狀態(tài)時(shí)的值（或者說(shuō)并不是由室內(nèi)土工試驗(yàn)提供的試驗(yàn)參數(shù)），而應(yīng)該是用來(lái)維持內(nèi)外功率相等的巖土材料強(qiáng)度儲(chǔ)備cd，φd值。

將式（3-5）代入式（3-6）中，再代入虛功率方程（D內(nèi)=W外）中，整理后可得到土坡塑性極限分析條分法穩(wěn)定系數(shù)的上限解計(jì)算公式

式中：φdi=tan-1(tanφi/K)；[φ]d(i,i-1)=tan-1(tan[φ]i,i-1/K)。

可以發(fā)現(xiàn)，式（3-7）等號(hào)右端的分子、分母中均含有速度矢量vi，vi-1和[v]i,i-1。因?yàn)樯鲜绞窃谕疗绿幱跇O限破壞狀態(tài)條件下推導(dǎo)得出的，所以相應(yīng)的速度矢量vi，vi-1，[v]i,i-1之間的遞推式（3-3）、式（3-4）也應(yīng)該取φdi，[φ]d(i,i-1)。在實(shí)際計(jì)算中，可以根據(jù)速度矢量vi、vi-1和[v]i,i-1之間的遞推關(guān)系，將vi、vi-1和[v]i,i-1分別表示為第一個(gè)土條v1的關(guān)系式，進(jìn)而可以消掉穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式中的所有速度項(xiàng)。由于該公式左右兩端均含有K項(xiàng)，因此在計(jì)算時(shí)需要進(jìn)行迭代。

當(dāng)土坡為均質(zhì)體時(shí)，速度遞推公式（3-3）、式（3-4）可簡(jiǎn)化為

將式（3-8）、式（3-9）代入式（3-7），可得到均質(zhì)土坡的穩(wěn)定系數(shù)上限解計(jì)算公式：

式中：φd=tan-1(tanφ/K)。該公式同樣需要迭代計(jì)算，一般是給K賦以初值K0，求出K0對(duì)應(yīng)的cd，φd值，然后將cd，φd代入式（3-10）的右端，求出第一次迭代計(jì)算結(jié)果值K1，再求出K1對(duì)應(yīng)的cd，φd值，重復(fù)上述的計(jì)算步驟求得第二次迭代計(jì)算結(jié)果值K2。給定一個(gè)閥值來(lái)結(jié)束迭代計(jì)算，則最后一次迭代計(jì)算得到的結(jié)果為土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法穩(wěn)定系數(shù)最終解。根據(jù)這一迭代計(jì)算原理，由筆者編制了相應(yīng)的Fortran電算程序，程序流程如圖3-4所示。

圖3-4 均質(zhì)土坡穩(wěn)定性計(jì)算流程圖

如果不考慮土條間豎向速度間斷面上能量的耗散，即[c]i,i-1，[φ]i,i-1均為零時(shí)，則[v]i,i-1是與計(jì)算無(wú)關(guān)的量。在這種簡(jiǎn)化條件下，速度遞推關(guān)系公式為

相應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式也可簡(jiǎn)化為

3.3 有孔隙壓力影響情況下的穩(wěn)定系數(shù)

在土坡穩(wěn)定性分析中，孔隙壓力作為一種特殊的外部作用荷載，其影響也是一個(gè)很重要的因素（見(jiàn)圖3-5）。如果片面地忽略孔隙壓力的作用，則將會(huì)導(dǎo)致穩(wěn)定系數(shù)偏于安全。這也將會(huì)給土坡的穩(wěn)定性分析評(píng)價(jià)及治理工作造成一定的影響（王根龍，2002）。

圖3-5 孔隙壓力對(duì)土坡穩(wěn)定的影響

孔隙壓力有兩種情況。一種是坡體內(nèi)有地下水做穩(wěn)定或不穩(wěn)定的滲流。這時(shí)孔隙內(nèi)即存在孔隙壓力，可稱(chēng)為滲流壓力。另一種是坡體內(nèi)存在著未消散的超靜孔隙壓力，可稱(chēng)為超靜壓力。當(dāng)坡體內(nèi)有地下水的滲流作用，或部分浸在水下，或有超靜孔隙壓力作用時(shí)，都必須在穩(wěn)定性分析中考慮孔隙壓力的影響。

孔隙應(yīng)力是由于孔隙水壓力引起的，因此，孔隙應(yīng)力也屬于外部作用荷載產(chǎn)生的一種應(yīng)力。反映在土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法的虛功率方程（W外=D內(nèi)）中，則表現(xiàn)為孔隙應(yīng)力對(duì)土粒骨架結(jié)構(gòu)的作用所產(chǎn)生的孔隙應(yīng)力功率，其功率表達(dá)式為

當(dāng)把式（3-13）引入到土坡穩(wěn)定性塑性極限分析條分法平移破壞機(jī)制中時(shí)，考慮到土條為剛體的假定，因此，在土條內(nèi)部沒(méi)有應(yīng)力—應(yīng)變，或者說(shuō)孔隙應(yīng)力在土條內(nèi)部沒(méi)有產(chǎn)生外功率。根據(jù)以上的分析可知，孔隙應(yīng)力在條分法平移破壞機(jī)制中所做的外功率主要集中在滑面和豎向速度間斷面上，其公式為

式中：φdi=tan-1(tanφi/K)；[φ]d(i,i-1)=tan-1(tan[φ]i,i-1/K)。vi、vi-1和[v]i,i-1三者之間的速度遞推關(guān)系由式（3-3）和式（3-4）確定?？梢园l(fā)現(xiàn)該式中的K仍是以隱式出現(xiàn)，因此計(jì)算時(shí)須利用迭代的方法實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)忽略條間的內(nèi)外功率時(shí)（[c]i,i-1=0，[φ]i,i-1=0），上式可簡(jiǎn)化為

3.4 圓弧滑面徑向分條模式上限解

土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析計(jì)算通常采用垂直分條的方法（Fellenius，1927），這是一種平動(dòng)的變形破壞模式，但是從運(yùn)動(dòng)學(xué)方面來(lái)看，土體在滑動(dòng)時(shí)是做平面運(yùn)動(dòng)的，既有平動(dòng)，也有轉(zhuǎn)動(dòng)，而基于剛體極限平衡理論的垂直條分法不能很好地體現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)。薩爾瑪（1973）、Donald 和 陳祖煜（1997）分別從剛體極限平衡理論和塑性極限分析理論提出了斜分條法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)垂直條分法的改進(jìn)?？苋彰鳎?998）從剛體極限平衡理論出發(fā)，嘗試做過(guò)徑向條分法的研究工作，但缺點(diǎn)是計(jì)算公式繁瑣，很難被工程應(yīng)用。筆者從極限分析上限定理出發(fā)，在參考了滑移線場(chǎng)理論、垂直分條法和斜分條法之后，提出了一種新的土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析計(jì)算方法——極限分析徑向條分法（王根龍，2007），并建立了極限分析徑向條分法的破壞模式，推導(dǎo)得到了穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式。關(guān)于垂直分條、斜分條及徑向分條三種方法的比較如表3-1所示。

滑移線法對(duì)于徑向分條模式的提出有很大的指導(dǎo)作用。首先回顧一下滑移線理論（Drucker和Prager，1952），當(dāng)材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，每一點(diǎn)都存在兩個(gè)剪切破壞面。把各點(diǎn)的剪切破壞面（或稱(chēng)滑移面）連續(xù)地聯(lián)結(jié)起來(lái)，可以得到兩組曲線，稱(chēng)為滑移線?；凭€法就是根據(jù)由平衡方程和屈服條件得到的基本方程，采用求解偏微分方程的滑移線理論得到特征線方程，其特征線η和ξ恰好是滿足摩爾-庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則的滑裂面。因此建立在特征線上的求解方法也稱(chēng)為滑移線法，而最終獲得的η和ξ線，即為處于極限狀態(tài)的塑性區(qū)的滑裂面?；凭€上一點(diǎn)的切線方向就是相應(yīng)點(diǎn)的滑移面方向。

表3-1 三種條分法的對(duì)比

（續(xù)表）

圖3-6 三種條分法的典型圖示

根據(jù)該理論可以得到破壞土體內(nèi)兩組代表剪切破壞的滑移線，這兩組線恰好是徑向分條法中的滑裂面和傾斜條塊界面，因此可以發(fā)現(xiàn)，建立徑向條分法時(shí)用到的圓弧速度間斷面（滑面）可以采用滑移線場(chǎng)理論的滑裂面，而徑向分條形成的傾斜速度間斷面可以采用滑移線場(chǎng)理論的傾斜條塊界面。這就為極限分析徑向條分法找到了一個(gè)理論上可行的依據(jù)，根據(jù)這種徑向分條法分析邊坡穩(wěn)定性，一般可以得到與實(shí)際比較接近的邊坡破壞模式，這一點(diǎn)是剛體極限平衡方法做不到的。從另外一個(gè)角度考慮，實(shí)際上極限分析上限解和滑移線理論解是一致的，同屬于一個(gè)理論體系。若能建立與滑移線場(chǎng)對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)，而且滿足機(jī)動(dòng)場(chǎng)的要求，則極限分析上限解就是滑移線法解。

根據(jù)極限分析上限定理，在土質(zhì)邊坡中存在兩組速度間斷線，第一組是圓弧滑線，第二組是徑向分條后土條間速度間斷線。當(dāng)考慮庫(kù)侖材料為剛塑性體時(shí)，邊坡便可以分為剛體和速度間斷兩部分。土條內(nèi)部被定義為剛體，因?yàn)閯傮w在受力時(shí)，不發(fā)生變形，或者說(shuō)沒(méi)有應(yīng)力、應(yīng)變產(chǎn)生，所以土條內(nèi)沒(méi)有內(nèi)能的耗散；圓弧滑線和土條間過(guò)渡帶被定義為速度間斷線，由于速度在條間過(guò)渡帶內(nèi)發(fā)生急劇而連續(xù)的變化，因此，在該薄層塑性變形區(qū)內(nèi)將有內(nèi)能的耗散。根據(jù)正交法則，速度向量必須以?xún)?nèi)摩擦角φ傾斜于速度間斷面。這種間斷面可以被認(rèn)為是連續(xù)速度場(chǎng)的極限情況。在這種情況下，速度分量（一個(gè)或多個(gè)）在跨越窄過(guò)渡層時(shí)變化很快，因而為了方便起見(jiàn)，可以用間斷面來(lái)代替。間斷速度場(chǎng)不僅提供了方便，而且往往還可獲得實(shí)際的破壞模式或破壞機(jī)制。

為了使由n個(gè)條塊組成的機(jī)構(gòu)（見(jiàn)圖3-7）位移是協(xié)調(diào)的，就要求相鄰兩個(gè)條塊的移動(dòng)不能導(dǎo)致它們重疊或分離，或者說(shuō)要求相鄰條塊（以第i和第i-1條塊為例）底面的速度vi，vi-1與徑向條塊間垂直界面的相對(duì)速度vi,i-1組成的速度矢量要閉合（見(jiàn)圖3-8）。根據(jù)矢量閉合的幾何關(guān)系，便可以得到速度關(guān)系公式

式中：θi，θi-1，θi,i-1為速度與x軸的夾角，均定義為從正方向開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，同時(shí)，0≤θ≤2π。

式中：αi，αi-1為第i和第i-1個(gè)徑向土條底滑面與水平方向的傾角。將式（3-19）和式（3-20）代入式（3-17）和（3-18）中，整理后可以得到

式中：δ為圓弧滑面經(jīng)過(guò)徑向等分條后，每段滑弧對(duì)應(yīng)的圓心角，當(dāng)滑面和分條數(shù)n確定后，δ也為定值，其公式為δ=αi-1-αi。由此看見(jiàn)，B為常數(shù)，或者說(shuō)徑向土條底滑面對(duì)應(yīng)速度{vi}（i=1,2,…,n）是公比為常數(shù)B的等比數(shù)列。對(duì)于式（3-22）也可以得到同樣的結(jié)論。根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，vi與vi,i-1可以表示為第1個(gè)徑向條塊速度v1的關(guān)系式。

圖3-7 徑向分條法極限分析破壞機(jī)制

圖3-8 徑向條分法速度向量

為了得到土質(zhì)邊坡極限分析穩(wěn)定系數(shù)上限解，需要根據(jù)外部作用荷載和土體自重所做的外功率與塑性變形區(qū)的內(nèi)部能量耗損相等的條件建立虛功率方程。因?yàn)閺较蛲翖l被視為剛體，因此土條內(nèi)沒(méi)有能量損失，但徑向土條之間和圓弧滑面是速度間斷面，在這些間斷面上將會(huì)產(chǎn)生能量的耗損，其大小為:

式中：l為土條底滑面長(zhǎng)度（m）；c為均質(zhì)土體的內(nèi)黏聚力（kPa）；φ為均質(zhì)土體的內(nèi)摩擦角（弧度）；ri' 為第i個(gè)徑向土條長(zhǎng)度，ri'=R-ri（m）。

虛功率方程右側(cè)代表外部作用荷載和自重荷載產(chǎn)生的外功率。當(dāng)不考慮地震慣性力、坡體上外荷載和孔隙水作用時(shí)，僅僅考慮徑向土條的土體自重所做的外功率時(shí)，其大小為

式中：Wi為第i個(gè)徑向土條的重量（kN·m-1）。在計(jì)算Wi時(shí)，將每個(gè)土條面積作為兩個(gè)扇形之差，外半徑為R，內(nèi)半徑為rai=(ri+ri-1)/2，對(duì)于第1個(gè)徑向土條和第n個(gè)徑向土條，內(nèi)半徑分別為(R+r1)/2和(rn-1+R)/2，從而有

虛功率方程是建立在邊坡臨界極限狀態(tài)條件下的，為了使邊坡處于臨界破壞狀態(tài)，可以采用材料強(qiáng)度折減法的概念。其定義是：沿某一滑面的實(shí)際工作狀態(tài)的力學(xué)參數(shù)c，tanφ與用來(lái)維持邊坡內(nèi)外功率相等的換算力學(xué)參數(shù)clim，tanφl(shuí)im之比，關(guān)系表達(dá)式為K=c/clim=tanφ/tanφl(shuí)im。根據(jù)式（3-23）、式（3-24）、式（3-25）和式（3-26），可以得到徑向條分法的土質(zhì)邊坡極限分析法穩(wěn)定系數(shù)上限解公式為

式中：φl(shuí)im=tan-1(tanφ/K)，該公式需要迭代計(jì)算，一般是給K賦以初值K0，求出K0對(duì)應(yīng)的clim，φl(shuí)im值，然后將結(jié)果代入式（3-28）的右端，求出第一次迭代計(jì)算結(jié)果值K1，再求出K1對(duì)應(yīng)的clim，φl(shuí)im值，重復(fù)上述的計(jì)算步驟求得第二次迭代計(jì)算結(jié)果值K2。通過(guò)給定一個(gè)閥值來(lái)結(jié)束迭代計(jì)算，一般取相鄰兩次穩(wěn)定系數(shù)差的絕對(duì)值小于10-6，則最后一次迭代計(jì)算得到的結(jié)果為穩(wěn)定系數(shù)解。

以某一均質(zhì)土坡為例，高12.2m，坡面坡度為1∶2，土的內(nèi)摩擦角φ=20°，黏聚力c=29kPa，容重γ = 18.8kN·m-3。根據(jù)瑞典圓弧法對(duì)這個(gè)邊坡進(jìn)行最危險(xiǎn)滑面搜索，得到了如圖3-9的圓弧滑面，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系數(shù)K=2.08。采用極限分析徑向條分法對(duì)搜索到的最危險(xiǎn)滑面進(jìn)行計(jì)算，分條數(shù)n=10，每個(gè)徑向土條對(duì)應(yīng)圓心角δ和弧長(zhǎng)l分別為0.169Rad和4.13m，滑弧半徑R為24.4m。通過(guò)式（3-23）和式（3-24）計(jì)算得到常數(shù)Α=0.2057，B=1.1529，其他數(shù)據(jù)見(jiàn)表3-2。將數(shù)據(jù)代入穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式（3-28）中得到K=2.05，與瑞典圓弧法計(jì)算結(jié)果很接近。為了對(duì)比極限分析徑向條分法與瑞典圓弧法，筆者又用其他一些算例進(jìn)行了比較，其誤差都不超過(guò)5%。

圖3-9 徑向條分法計(jì)算實(shí)例

表3-2 徑向條分法計(jì)算剖面數(shù)據(jù)