摘 要：傳統(tǒng)的觀念認(rèn)為素數(shù)在整個自然數(shù)域的分布趨勢為：“在自然數(shù)數(shù)列不斷增大中，素數(shù)在其分布將越來越稀疏?！比欢?，在對素數(shù)分布趨勢的教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)：將自然數(shù)列中的素數(shù)按照某一規(guī)律重新排隊，得到的素數(shù)數(shù)列卻是一個“無窮遞增數(shù)列”，它絲毫不受“越來越稀疏”的影響。當(dāng)自然數(shù)n趨向于無窮大時，自然數(shù)增大2倍，素數(shù)也同時增大2倍。將素數(shù)數(shù)列無窮遞增的現(xiàn)象總結(jié)為“李君池素數(shù)定理”?！袄罹厮財?shù)定理”的“遞增”思想徹底改變了“稀疏”這一傳統(tǒng)觀念的看法。

關(guān)鍵詞：素數(shù)分布；素數(shù)數(shù)列；無窮遞增；“李君池素數(shù)定理”

一、對傳統(tǒng)素數(shù)分布趨勢的思考

在進(jìn)行素數(shù)的教學(xué)中，有一個繞不開的話題，就是：素數(shù)在自然數(shù)中的分布問題。素數(shù)在自然數(shù)中的分布情況究竟怎樣，雖然相對于中學(xué)生來說，難度是大了一些。但是，我們一不能遇到難題就繞路而走；二也不能由此而向?qū)W生傳授錯誤的內(nèi)容；三更不能因為是難題而封閉了學(xué)生積極開放的思維、思路。我們提倡的方法是：將難題提出來，和學(xué)生們共同探討，有時不一定會有結(jié)果，但有時就會有新的發(fā)現(xiàn)，甚至有時會有意想不到的收獲。本文的內(nèi)容就是在輔導(dǎo)學(xué)生的過程中所得到的結(jié)論和結(jié)果。這個結(jié)論打破了人們傳統(tǒng)的思維定勢，把人們的思維引向了一個全新的天

地，它對于學(xué)生以及數(shù)學(xué)愛好者在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、在解某些數(shù)論難題中都會有著極大的幫助。

幾個世紀(jì)以來，人們在翻看“素數(shù)表”時，從素數(shù)表中看到的是這樣一些數(shù)據(jù)：在1到100中間有25個素數(shù)，在1到1000中間有168個素數(shù)，在1000到2000中間有135個素數(shù)，在2000到3000中間有127個素數(shù)，在3000到4000中間有120個素數(shù)，在4000到5000中間有119個素數(shù)，在5000到10000中間有560個素數(shù)……

于是，人們得出的結(jié)論是：素數(shù)在整個自然數(shù)域的分布趨勢為：“在自然數(shù)數(shù)列不斷增大中，素數(shù)在其分布將越來越稀疏，甚至?xí)霈F(xiàn)兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)十、數(shù)百、數(shù)千、數(shù)萬、數(shù)億…個合數(shù)數(shù)位的各種情況，即存在兩相鄰素數(shù)相隔任意大的各種情況?！遍L期以來，這種“素數(shù)分布越往上越稀少”的觀念禁閉了人們的頭腦，使得人們在數(shù)論研究方面多年來沒有大的突破，同時，也由于素數(shù)分布“越來越稀”的“現(xiàn)象”，成了“哥猜、孿猜”等素論問題破解道路上的攔路虎，使得“哥猜、孿猜”這一類的素論問題至今沒能徹底解決。因此，這一傳統(tǒng)的思維必須來個徹底地更新。

素數(shù)分布真的是越往上越稀少嗎？對于同樣是“素數(shù)在整個自然數(shù)域的分布趨勢”問題，如果我們換一種思路來考慮問題，將會得出完全相反的結(jié)論。例如，我們將所有的素數(shù)集合按照某種規(guī)律重新排隊，那種“素數(shù)分布越來越稀疏”的思維、觀念或許就會發(fā)生根本性的變化。

二、建一個無窮遞增的素數(shù)數(shù)列

如何建立一個“無窮遞增的素數(shù)數(shù)列”？不同的人有不同的方法，但如何證明自己建立的“數(shù)列”，卻令人望而卻步，例如：對上一節(jié)中建立的“無窮遞增的素數(shù)數(shù)列”，就讓人無從下手。為了使自己建立的“數(shù)列”能夠得以證明，在建立之初就必須考慮好要有可以證明的方法。

本文所建立的“無窮遞增素數(shù)數(shù)列”，首先要借用的工具還是“自然數(shù)圓形排列圖”，因為創(chuàng)建這個“數(shù)列”的靈感同樣是由“自然數(shù)圓形排列圖”得到的，是建立在“自然數(shù)圓形排列圖”的基礎(chǔ)之上的。（關(guān)于“自然數(shù)圓形排列圖”內(nèi)容參見《世界上第一個求素數(shù)公式》一文）

我們把“自然數(shù)圓形排列圖”前幾圈中的素數(shù)找出來，排成一個數(shù)列：在這個排列圖的第一圈中有2個素數(shù)，第二圈中有2個，第三圈中有4個，第四圈中有6個，第五圈中有9個，第六圈中有19個，第七圈中有33個，第八圈中有59個，第九圈中有107個，第十圈中有197個，第十一圈中有362個，第十二圈中有669個素數(shù)，第十三圈中有1256個，第十四圈中有2326個，第十五圈中有4388個，第十六圈中有8265個，第十七圈中有15631個，第十八圈中有29611個，第十九圈中有56322個，第二十圈中有107281個，第二十一圈中有204953個，第二十二圈中有392247個，第二十三圈中有751912個…。當(dāng)然，如果我們繼續(xù)努力，還可以繼續(xù)統(tǒng)計下去。我們先將統(tǒng)計的結(jié)果總結(jié)如下：

名詞“李君池素數(shù)數(shù)列”。（自我命名）

為了不失一般性，我們可以將“定理1”整理如下：

定理2：“李君池素數(shù)定理”。（自我命名）

設(shè)n為大于2的自然數(shù)，用？準(zhǔn)（n→2n）表示n→2n之間的所有素數(shù)的個數(shù)；用？準(zhǔn)（2n→4n）表示2n→4n之間的所有素數(shù)的個數(shù)；當(dāng)n趨向于無窮大時，有■■=2，即當(dāng)n趨向于無窮大時，自然數(shù)的個數(shù)擴大2倍，其中素數(shù)的個數(shù)也一定擴大2倍。

這一定理，我們稱之為“李君池素數(shù)定理（即素數(shù)的倍比關(guān)系定理）”。

這一定理是由定理1推廣得到的。在由“自然數(shù)圈”建立的“無窮遞增素數(shù)數(shù)列”中，當(dāng)圈數(shù)f趨向于無窮大時，后一圈中素數(shù)的個數(shù)與前一圈中素數(shù)個數(shù)的比值等于2。同樣道理，設(shè)n是任意自然數(shù)，當(dāng)n趨向于無窮大時，2n中素數(shù)的個數(shù)與n中素數(shù)個數(shù)之比，其比值也一定等于2。

“李君池素數(shù)定理”定理告訴我們：自然數(shù)中的素數(shù)不僅是無窮的，而且還按照一定的規(guī)律無窮遞增的。這個定理的產(chǎn)生，是對傳統(tǒng)“稀疏”觀念的一次革命性的轉(zhuǎn)變，它對于解決許多較為難以解決的數(shù)論難題將有著極大的幫助。

四、對傳統(tǒng)觀念的剖析

我們的分析還是要從“自然數(shù)圈”說起。在自然數(shù)圈中，前十四圈中是不存在“兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)十個合數(shù)數(shù)位的情況”的，而能夠出現(xiàn)這種情況的，一定要比第十四圈要大得多；前二十圈中是不存在“兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)百個合數(shù)數(shù)位的情況”的，能夠出現(xiàn)這種情況的，也一定要比第二十圈要大得多；出現(xiàn)“兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)千、數(shù)萬、數(shù)億……個合數(shù)數(shù)位”的情況，一定是在非常大非常大的素數(shù)圈中。前面我們已經(jīng)知道，第十四圈中有2326個素數(shù)，如果是在第十四圈中出現(xiàn)了“兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)十個合數(shù)數(shù)位的情況”，也一定是隱藏在這2326個素數(shù)之中，絲毫不會減少素數(shù)個數(shù)的出現(xiàn)；如果是出現(xiàn)在第十五圈、第十六圈……第一百圈中，同樣絲毫不會減少本圈中素數(shù)個數(shù)的出現(xiàn)。

“李君池素數(shù)定理”定理告訴我們：自然數(shù)中的素數(shù)不僅是無窮的，而且還按照一定的規(guī)律無窮遞增的。所以，“兩相鄰素數(shù)相隔數(shù)十個合數(shù)數(shù)位的情況”，無論是出現(xiàn)在哪一個自然數(shù)圈中，都絲毫不會減少這一圈中素數(shù)的個數(shù)。同樣的道理，“兩相鄰素數(shù)相隔任意大的各種情況”都是隱藏在各個不同的自然數(shù)圈中，即使出現(xiàn)了在一個自然數(shù)圈中“兩相鄰素數(shù)相隔一百個、一千個、一萬個、一億個……”這種情況，它也絲毫也不會減少這一圈中素數(shù)的個數(shù)，因為自然數(shù)圈中素數(shù)的個數(shù)是“無窮遞增”的。有人會說，如果上述情況出現(xiàn)在兩個自然數(shù)圈中，也就是橫跨兩個自然數(shù)圈呢？那它就更不會對自然數(shù)圈中素數(shù)的個數(shù)產(chǎn)生影響了，因為每一個自然數(shù)圈都是獨立的，都是單獨統(tǒng)計的，無論落在哪兩圈中都絲毫不會減少這兩圈中素數(shù)的個數(shù)?，F(xiàn)在，我們還會擔(dān)心“存在兩相鄰素數(shù)相隔任意大的各種情況”這句話嗎？從數(shù)值上來說，無論“間隔”是何種情況，都一定會出現(xiàn)在自然數(shù)圈之中，都不會減少這一自然數(shù)圈中素數(shù)的個數(shù)。任一自然數(shù)圈中素數(shù)的個數(shù)是恒定的、是按照遞增的方向發(fā)展的！

“李君池素數(shù)定理”的實質(zhì)是要告訴我們，只有換一種思路看問題才能不被迷霧遮住了雙眼。當(dāng)我們用“倍比關(guān)系”來看問題時，就會得出與傳統(tǒng)觀念完全相反的結(jié)論：不管素數(shù)的分布越往上越是怎樣的稀少，也不管兩素數(shù)之間的間隔有多大，只要是自然數(shù)在某一基礎(chǔ)上擴大2倍，其中素數(shù)的個數(shù)將會逐步擴大到1.7幾倍、1.8幾倍、1.9幾倍，當(dāng)n趨向于無窮大時，素數(shù)的個數(shù)也就擴大到了2倍。這種關(guān)系，我們稱之為“李君池素數(shù)定理（素數(shù)的倍比關(guān)系定理）”。正是由于“素數(shù)的倍比關(guān)系”的存在，我們才能理直氣壯地指出“素數(shù)的分布越往上越稀少”這種看法犯了以偏概全的錯誤。

（作者單位 安徽省地質(zhì)礦產(chǎn)局327地質(zhì)隊）