楊大林 徐 波 高有濤 張 磊

1.南京航空航天大學航天學院，南京 210016 2.南京大學天文與空間科學學院，南京 210093

行星際探測已成為航天領域的一大熱點，備受航天大國的關注，但行星際探測具有能耗高，持續(xù)時間長，任務約束多，發(fā)射窗口小等特點，為此任務設計過程中要求完成科學探測目標的同時，盡量降低任務的成本和周期。因此攜帶盡可能多的有效載荷，以最小的能量消耗，在最短的飛行時間內，到訪多個目標成為太陽系行星際探測發(fā)展的趨勢。

迄今為止，行星際探測軌道設計領域的主要研究方向有多天體交會的行星借力飛行技術、行星際低能轉移軌道優(yōu)化設計技術、小推力軌道設計技術等。行星借力飛行技術[1]即飛越大行星時借助大行星引力場效應，獲取所需的速度增量，而飛越大行星時也為探測器探測該行星提供了機會，探測器進入借力行星影響球到離開該行星影響球所持續(xù)的時間大約為20多個小時[2]，雖然相對于整個任務時間而言非常小，可以忽略不計，但這段時間足夠獲取該行星的基本資料，并可以在此期間向該行星釋放低質量且不回收的科學探測設備。

國內外的許多學者針對行星際軌道優(yōu)化設計問題進行了研究，提出了多種行之有效的優(yōu)化方法[3-7]，這些方法可以分為解析法和數值解法。大多數解析法以變分法得到的必要條件為基礎，將軌跡優(yōu)化問題轉換成兩點邊界值問題，求解這類問題富有挑戰(zhàn)并且需要數值解法，同時該問題對終端條件敏感，求解過程中容易使目標軌道陷于局部極小，這些特點使得此類方法的實際應用受到了限制[3-5]。數值法則是將軌跡優(yōu)化問題簡化為參數優(yōu)化問題，再通過求解非線性規(guī)劃問題來解決[6-7]，這里提到的“數值算法”是指不明確使用變分法中的解析必要條件，而是使用打靶法等數值解法求解兩點邊界值問題，求解過程中需要給該算法提供一個初始“估計值”。在軌跡優(yōu)化問題中，初值通常不易確定，并且求解過程中容易陷入給定初值附近的局部極小點。Bett[8]全面分析了上述2種方法的特點以及2種方法的聯系。

進化算法是航天器軌跡優(yōu)化的一種有效方法，是一種模擬自然界中生物進化過程與機制的數值優(yōu)化方法。與解析法和傳統(tǒng)的數值解法相比，進化算法主要有以下優(yōu)勢：進化算法相對簡單，不需要提供初始“估計值”(隨機產生一群初始解)，而且比傳統(tǒng)的優(yōu)化方法更容易找到全局最小點。Cage將遺傳算法(GA)應用到行星際軌跡優(yōu)化設計中[9]，設計了地球—火星和地球—木星的轉移軌道。Bessette和Spencer將粒子群優(yōu)化(PSO)技術應用到時間受限的轉移軌道和行星際脈沖轉移軌道的優(yōu)化設計中[10-11]。但是經典的進化算法也具有明顯的缺點，即由于隨機性，并不能保證算法一定收斂到全局最優(yōu)?？紤]到太陽系多目標探測軌道優(yōu)化問題的復雜性和多峰性，本文融合改進的網格搜索算法和差分進化算法，提出一種組合優(yōu)化算法來求解太陽系多目標探測軌道優(yōu)化設計問題。以2018～2020年太陽系多目標探測為例，通過對最終環(huán)繞土星，中途探測太陽系內多顆大行星的深空軌道的優(yōu)化設計，表明了該算法可以明顯地減少計算時間，并有效收斂到全局范圍內的最優(yōu)解。

1 太陽系多目標探測動力學模型

太陽系多目標探測行星際飛越軌道可以用包含非線性約束的有限維全局優(yōu)化問題來描述。在J2000日心黃道坐標系中，只考慮太陽的中心引力，不考慮其他天體的引力和各天體的非球形引力攝動，探測器的動力學方程如下：

(1)

式中：μs為太陽引力常數；rs為探測器在J2000日心黃道坐標系中的位置矢量；rs為位置標量。探測器與行星交會時，在交會行星的影響球內只考慮該行星的引力效應，并且考慮動力飛越的情形，即在探測器與行星交會時，可以對探測器施加速度脈沖(參考1.1節(jié))。此時，探測器的動力學方程如下：

(2)

其中：μp為行星引力常數；rp為探測器在以行星為中心的坐標系中的位置矢量；rp為位置標量。

1.1 動力飛越軌道

(3)

類似地，在離開交點處

(4)

(5)

(6)

由于進入段和離開段的近地點半徑相同，則

rper=a1(1-e1)=a2(1-e2)

(7)

同時轉角之間還存在如下關系

(8)

僅利用式(7)和(8)無法有效的求解e1和e2，因此需要對上述表達式作適當轉換

(9)

對方程(9)采用牛頓迭代法可以求得e2，再根據式(7)即可求得e1和rper。根據活力公式可以求得進入和離開雙曲線軌道的近星點速度大小。

(10)

由式(11)可得近地點所需施加的速度脈沖大小為

(11)

1.2 問題描述

(12)

因此，為使整個過程中消耗的燃料最小，本文引入下述性能指標：

(13)

為了求解的方便，可以將上述問題轉化為一般的非線性規(guī)劃問題[12]：

優(yōu)化指標函數：

(14)

服從的動力學特性：

(15)

需滿足的邊界條件：

τ∈I

(16)

其中τ=[t0,T1,...,TN+1]，I∈RN+2。

需滿足的段匹配約束：

?i=1,...,N+1

(17)

需滿足的約束條件：

(18)

圖1 太陽系多目標探測行星際飛越軌道求解流程圖

2 軌道優(yōu)化設計算法

優(yōu)化算法的目的是使與時變動力學系統(tǒng)相關的目標方程最小化，問題可以簡化成非線性規(guī)劃問題。通過對比現有的數值優(yōu)化方法(如列舉法、隨機試驗法、復合形法、可行方向法、進化算法)，列舉法是唯一可以保證搜索到全局最優(yōu)的算法(前提是步長要選擇的合適)，但列舉法所需的時間隨著搜索空間的維數成指數增長，針對太陽系多目標探測軌跡優(yōu)化問題的復雜性，為了減少計算時間，引入下述改進的網格搜索算法。

2.1 改進后的網格搜索算法

將改進網格搜索算法的每一步分別與太陽系多目標探測的每一段轉移軌道相對應。通過不斷調整時間序列，可以得到任務的起始時間和每一階段理想的轉移時間，進而得到滿足整個任務要求的完整軌道。應用改進的網格搜索算法，定義太陽系多目標探測每階段的優(yōu)化模型如下：

1)地球到第1個飛越天體，時間序列：τ1=[t0,T1](其中t0為地球發(fā)射時間，T1為從地球到第1個飛越天體的轉移時間)

(19)

(20)

(21)

圖2 改進的網格搜索算法流程圖

2.2 差分進化算法

差分進化算法是一種群體進化算法，具有記憶個體最優(yōu)解和種群內信息共享的特點，該算法每次隨機選擇2個或多個群體元素，比較它們性能指標的差異，從而確定解在結果空間中的走向，其本質是一種基于實數編碼的具有保優(yōu)思想的貪婪遺傳算法。

由于太陽系多目標探測軌跡優(yōu)化問題的多峰性，單純的使用差分進化算法并不能保證得到結果的最優(yōu)性。因此，本文基于改進后的網格搜索算法和差分進化算法，提出了一種組合優(yōu)化算法。該算法首先利用改進的網格搜索算法作全局搜索，保留較理想的結果，得到的理想結果分布在整個解空間中，然后用差分進化算法作局部尋優(yōu)，以改進的網格搜索算法得到的結果收縮搜索空間，將原來的搜索空間分割成n(改進后的網格搜索算法得到的結果數)份，使用差分進化算法逐一搜索各個子空間，再通過全局范圍內比較得到的各個極小值，就可以在全局范圍內找到一些比較理想的結果。

3 仿真算例

以2018～2020年太陽系多目標探測為例。任務過程中先后探測金星和木星，最后被土星引力場捕獲，形成近地點半徑rp=108950km，偏心率e=0.98的大橢圓軌道。任務過程中借助金星，地球，木星的引力，既可以達到探測器變軌的目的，節(jié)省發(fā)射能量，又能實現對多個天體的探測。

該任務是上述非線性規(guī)劃問題的一個實例，一共可以分為5個階段，因此時間序列的形式為：τ=[t0,T1,T2,T3,T4,T5]，包括地球的出發(fā)時刻(單位為MJD2000)，每階段轉移時間(單位為d)。優(yōu)化的目標函數為：

(22)

其中，Δv0為地球發(fā)射時的剩余速度，Δvi(i=1,2,3,4)為探測器飛行途中飛越大行星所需的速度脈沖，Δv5為木星捕獲所需的速度脈沖。時間序列的取值范圍如表1所示。

表1 時間序列參數取值范圍

發(fā)射能量約束：

Δv0≤4km/s

近地點半徑約束：

rp1>6351.8km

rp2>6351.8km

rp3>6778.1km

rp4>671492km

為了求解方便可以在性能指標中引入懲罰項，將有約束的軌跡優(yōu)化問題轉換成無約束的軌跡優(yōu)化問題。(其中ωi為約束的權重大小)

1)發(fā)射能量約束

(23)

2)近地點半徑約束

(24)

在仿真過程中發(fā)現使用上述介紹的改進的網格搜索算法，遍歷整個搜索空間只需很少的時間，例如同樣使用matlab作為工具，以相同的步長，列舉法需要大約一周的時間，而改進的網格搜索算法只需要2h，并且得到的理想結果與列舉法相似(步長一致)。改進的網格搜索算法得到的結果投影到一個平面上的結果如圖3所示，x軸為解空間的分布，y軸為解空間的每一點對應的太陽系多目標轉移軌道所消耗的能量。

圖3 高維解在一個切平面上的投影

表2 2018～2021年太陽系多目標探測行星際飛越軌道

從表2中可以看出前3組數據所對應的太陽系多目標探測行星際飛越軌道雖然消耗的燃料很少，但轉移時間卻達到了19年左右，這是工程任務所無法接受的。后面4組數據中盡管燃料消耗相對多一點，但任務時間均縮短一半以上。探索土星的國際卡西尼太空任務經過大約7年的飛行時間最終抵達土星[13]，表2中后4組數據所對應的太陽系多目標探測行星際飛越軌道的轉移時間大都在7年左右，并且所需的燃料也在實際工程約束范圍之內，因此，后4組軌道均是可實際應用的。

表3給出了表2中第7組數據所對應的行星際飛越軌道的詳細參數，并且表3中的速度單位都是(km/s)，從表3中可以看出，上述結果滿足發(fā)射能量約束和近地點半徑約束，這說明以第7組數據對應的軌道參數設計的太陽系多目標轉移軌道有效。使用上述參數進行仿真，最終得到太陽系多目標探測行星際飛越軌道的三維圖像如圖4所示。圖5為表2中第一組數據所對應的太陽系多目標探測行星際飛越軌道的三維圖像。圖4和圖5再次說明了本文所提出算法的有效性。

表3 發(fā)射窗口為2018年9月18日的太陽系多目標探測行星際飛越軌道的詳細參數

圖4 發(fā)射窗口為2018/09/12的太陽系多目標探測行星際飛越軌道的三維圖像

圖5 發(fā)射窗口為2018/07/25的太陽系多目標探測行星際飛越軌道的三維圖像

4 結束語

行星際探測能耗高，持續(xù)時間長，通過一次任務探測太陽系多顆行星，不僅可以節(jié)省發(fā)射成本，同時結合新技術驗證，可以推動航天科技的發(fā)展。根據我國的實際情況，考慮到我國可能于2020年左右進行的太陽系多目標深空探測任務，本文對其軌道優(yōu)化設計進行了預先研究。首先根據太陽系多目標探測行星際飛越的基本理論，建立了太陽系多目標探測的軌道優(yōu)化模型，然后將軌跡優(yōu)化問題轉換成非線性規(guī)劃問題,并且針對太陽系多目標探測軌跡優(yōu)化設計問題的復雜性和多峰性，提出了一種融合了改進的網格搜索算法和差分進化算法的組合優(yōu)化算法。該算法將整個階段分成多個子設計段，從而可以對每個子設計段進行單獨設計，減少了全局優(yōu)化所需要的計算量并可以有效的收斂到全局范圍內的最優(yōu)值。仿真結果所給出的多組2018～2020年最終環(huán)繞土星，中途探測金星，木星的轉移軌道參數可以為我國未來的太陽系多目標探測任務設計提供有價值的參考。

參 考 文 獻

[1] Broucke R A. The Celestial Mechanics of Gravity Assist [C].AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Minnesota, Aug 15-17, 1998.

[2] Louis A Damario, Larrye Bright. Galileo Trajectory Design [J]. Space Science Reviews, 1992, 60(4): 23-78.

[3] Lawden D F. Optimal Trajectories for Space Navigation [M]. Butterworths, London, 1963.

[4] Lion P M, Handelsman M. The Primer Vector on Fixed-time Impulsive Trajectories [J]. AIAA Journal, 1968, 1(6): 127-132.

[5] Petropoulos A E, Longuski J M. Shape-based Algorithm for Automated Design of Low-Thrust Gravity-Assist Trajectories [J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2004, 5(41): 787-796.

[6] 張旭輝, 劉竹生.火星探測無動力借力飛行軌道研究[J]. 宇航學報, 2008, 29(6): 1739-1746.(Zhang Xu-hui, Liu Zhu-sheng. Unpowered Swingby Flight Orbit Design for Mars Exploration[J].Journal of Astronautics, 2008, 29(6): 1739-1746.)

[7] 喬棟, 崔平遠, 徐瑞.星際探測借力飛行軌道的混合設計方法研究[J].宇航學報, 2010, 31(3): 655-661. (Qiao Dong, Cui Ping-yuan, Xu Rui. Research on Hybrid Design Method of Gravity Assists Trajectory for Interplanetary Mission [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(3):655-661.)

[8] Betts J T. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1998, 2(21): 193-207.

[9] Cage P G. Interplanetary Trajectory Optimization Using a Genetic Algorithm [C]. AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Scottsdale, Aug 1-3, 1994.

[10] Bessette C R, Spencer D B. Identifying Optimal Interplanetary Trajectories Through a Genetic Approach[C].Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Keystone, 2006.

[11] Bessette C R, Spencer D B. Optimal Space Trajectory Design: A Heuristic-Based Approach [J]. Advances in the Astronautical Sciences, 2006, 6(124): 1611-1628.

[12] V M Izzo, D Myatt, D R Nasuto, S J Bishop. Search Space Pruning and Global Optimisation of Multiple Gravity Assist Spacecraft Trajectories[J]. Journal of Global Optimization, 2007, 2(38): 283-296.

[13] Peralta F, Flanagan S. Cassini Interplanetary Trajectory Mission [J]. Control Engineering Practice, 1995, 3(11): 1603-1610.