郭淼

摘 要：在求解偏微分方程的過程中，數(shù)值解的精度與所采用的數(shù)值解法有關(guān)。而數(shù)值解法的計算性能對于網(wǎng)格的幾何形狀有很強的依賴性。本文選用有限體積法求解典型二階線性橢圓型方程，探索所得剛度矩陣的條件數(shù)與所選結(jié)構(gòu)網(wǎng)格幾何性質(zhì)之間的關(guān)系。所得結(jié)果能夠為方程組的求解以及非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的研究提供指導(dǎo)與依據(jù)。

關(guān)鍵詞：有限體積法；條件數(shù)；網(wǎng)格幾何性質(zhì)

0 引言

在傳統(tǒng)上，不同的領(lǐng)域總是被分開獨立研究，從而使得各個領(lǐng)域的獨立性越來越大。在網(wǎng)格領(lǐng)域，用幾何度量作為檢驗網(wǎng)格質(zhì)量的標準是眾所周知的。有限體積法（Finite Volume Method，簡稱FVM），具有有限元方法的網(wǎng)格剖分靈活性，能逼近復(fù)雜的幾何區(qū)域，而且具有有限差分法在格式構(gòu)造上的多樣性，得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用如在[1，2]中。本文對剛度矩陣條件數(shù)與衡量網(wǎng)格幾何性質(zhì)的參數(shù)之間的關(guān)系進行了理論分析。所得成果能夠幫助網(wǎng)格的生成與優(yōu)化以及為線性系統(tǒng)中求解方程提供新的理解與依據(jù)。采用一次元FVM離散格式，，給出數(shù)值算例驗證理論正確性與合理性，以及對所得結(jié)論的進一步分析。

1 二階線性橢圓問題

考慮有界域ΩR2上的泊松方程：

-?u=f， & in Ωu=0， & on ?Ω （1.1）

?Ω 為有界域Ω的邊界，記作Γ，u=u（x）為所求未知量。根據(jù)一次元有限體積法（見[3]），得到如下格式

i=1t14Sqiupi-up0pi+1p0·pipi+1+upi+1-up0p0pi·pipi+1=f，ψp0

（1.2）

將其組裝成總體剛度矩陣，以此求解剛度矩陣條件數(shù)為研究所用。

2 網(wǎng)格幾何性質(zhì)與剛度矩陣條件數(shù)

由簡單的推導(dǎo)可知，對于任一三角形單元t，有t=h2sin2θ/4以及成立，在均勻的三角網(wǎng)格上可得條件數(shù)的估計范圍 c1h2sin2（2θ）≤CondK≤c2h2sin22θ。其中h為均勻網(wǎng)格中任一三角形單元t的對角線長度，θ與π/2-θ為三角形單元的兩個銳角。c1、c2c1、c2為與h與θ無關(guān)的正常量，其中h2與sin-1（2θ）成正比。

3 數(shù)值算例與分析

采用上述有限體積格式考慮如下問題：

（3.1）

Ω是一塊面積為1的方形區(qū)域， 表示方形區(qū)域的南北邊界，表示方形區(qū)域的東西邊界。該問題的精確解為.根據(jù)前文有限體積法格式在不同網(wǎng)格上計算得出的數(shù)值結(jié)果以及分析如下文所示。

3.1 在二維均勻三角形網(wǎng)格上

表1為在8192個節(jié)點的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上，不同三角形單元銳角的網(wǎng)格上所得數(shù)據(jù)可以得出總體剛度矩陣的條件數(shù)與sin-1（2θ）成正比，最大特征值與sin-1（2θ）也是成正比。對于二維問題，當網(wǎng)格總面積不變時，其最小特征值變化很小。當趨近于0或者時，最大特征值與條件數(shù)是增加的，當=即sin（2θ）時，最大特征值與條件數(shù)取到最小。表明當網(wǎng)格為正則結(jié)構(gòu)網(wǎng)格時，所得數(shù)值結(jié)果最佳。

如圖3所示，為sin-1（2θ）為橫坐標，最大特征值max（λ）與條件數(shù)Cond（K）為縱坐標。其中虛線為sin-1（2θ）與max（λ）×104的關(guān)系，實線為sin-1（2θ）與Cond（K）之間的關(guān)系。接近線性的圖形很好地驗證了理論推理的正確性。

圖3.1sin-1（2θ）與max（λ）104、Cond（K）之間的關(guān)系

如圖3.2所示在正則結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上（銳角θ=π/4），針對不同格規(guī)的網(wǎng)模所得數(shù)據(jù)，如表2所示，當網(wǎng)格橫坐標縱方向節(jié)點數(shù)增加一倍時，最大特征值變化很小，最小特征值縮小為原來四倍左右，即條件數(shù)增加為原來數(shù)據(jù)的四倍，所得結(jié)果也是滿足之前所作分析。

4 結(jié)論

本文采用一次元有限體積法求解典型二階線性橢圓型方程，通過數(shù)值算例探討了剛度矩陣條件數(shù)與結(jié)構(gòu)網(wǎng)格幾何性質(zhì)之間的關(guān)系，給出了對于均勻三角形網(wǎng)格，在選取網(wǎng)格的時候應(yīng)該避免出現(xiàn)較小角的理論分析，當網(wǎng)格為正則結(jié)構(gòu)網(wǎng)格時，所得數(shù)值結(jié)果最為理想。后續(xù)工作將集中在通過大量數(shù)值算例在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格研究的基礎(chǔ)上，探索非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的幾何性質(zhì)對剛度矩陣條件數(shù)的影響。

參考文獻

[1] Q.Du， D. Wang and L. Y. Zhu， On mesh geometry and stiffness matrix conditioning for general finite element spaces. SIAM J. NUMER. ANAL. Vol 47， No.2， pp. 1421-1444.2009.

[2] I. Fried， Bounds on the spectral and maximum norms of the finite element stiffness， flexibilityand mass matrices， Int. J. Solids Structures， 9 （1973）， pp. 1013-1034.

[3] I. Fried， Numerical Solution of Differential Equations， Academic Press， New York， 1979

[4] J. Shewchuk， What is a Good Linear Finite Element？ Interpolation， Conditioning， Anisotropyand Quality Measures， Tech. report， Department of Computer Science， University of California， Berkeley， CA， 2003.