楊寧寧 楊照華 余遠金

1．北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100191 2.慣性技術重點實驗室，北京 100191 3.新型慣性儀表與導航系統(tǒng)技術國防重點學科實驗室，北京 100191

隨著計算機技術發(fā)展和空間技術應用日益廣泛，小衛(wèi)星越來越受到人們的關注[1]。與普通衛(wèi)星姿態(tài)控制一樣，機械飛輪也是三軸穩(wěn)定小衛(wèi)星首選和必備的關鍵執(zhí)行機構[2-3]。由于傳統(tǒng)的機械飛輪通過滾珠軸承支撐，軸承和潤滑劑會引入摩擦干擾，由輪子的質量分布不均勻帶來動不平衡干擾也會直接傳遞給衛(wèi)星結構等，因而機械飛輪同時也是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)最主要的擾動源之一[4]。在以往的研究中，總是忽略機械飛輪動力學模型及其對控制器的影響[5]，但是小衛(wèi)星由于轉動慣量小，微弱的干擾都有可能導致控制性能的下降，所以建立機械飛輪控制系統(tǒng)模型，對機械飛輪干擾力矩進行補償是非常有必要的。文獻[6-7]給出了機械飛輪模型，但描述機械飛輪摩擦干擾的數(shù)學模型比較簡單，且沒有分析和抑制此干擾對衛(wèi)星姿態(tài)控制性能的影響。針對摩擦干擾抑制問題，目前具有代表性的2種解決方法是：1)從控制系統(tǒng)設計角度入手，設計魯棒性好的控制器去抑制摩擦干擾對控制系統(tǒng)性能的影響；文獻[8]首先采用stribeck摩擦模型去模擬系統(tǒng)的摩擦干擾，然后針對此模型提出一種模糊PID控制器去降低系統(tǒng)摩擦干擾對控制性能的影響以提高控制系統(tǒng)的跟蹤精度和魯棒性；2)對摩擦干擾進行補償。文獻[9]直接利用庫倫摩擦模型去補償機械飛輪摩擦干擾，由于真實的摩擦干擾是非常復雜的，此方法不能很好地把機械飛輪真實的摩擦干擾補償?shù)?，文獻[10]則是采用一種狀態(tài)觀測器去估計系統(tǒng)摩擦干擾的真實值并予以補償。

采用機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，不僅受到飛輪內干擾的影響，而且受到空間環(huán)境外干擾和衛(wèi)星轉動慣量不確定的影響。滑模變結構是一種對干擾和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性具有強魯棒性的控制方法，尤其是它能夠有效解決非線性對象控制問題的優(yōu)點，近年來成為衛(wèi)星姿態(tài)控制方法的研究重點[11-14]。文獻[11]提出了一種基于等效控制的滑模控制器和一種考慮控制輸入受限的自適應滑?？刂破鳎鶎崿F(xiàn)了衛(wèi)星姿態(tài)的魯棒控制。文獻[12]針對采用冗余飛輪的撓性衛(wèi)星設計了一種魯棒自適應滑模容錯姿態(tài)控制器，不僅實現(xiàn)了對外部干擾和參數(shù)不確定的魯棒性，對飛輪失效性也存在魯棒性。文獻[13]針對衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題，提出了一種模糊滑?？刂破鳎ㄟ^模糊控制，在滿足滑模到達條件下，通過實時更新加權因子減小抖振。文獻[14] 提出一種自適應滑?？刂破?，通過采用時變的加權因子增強了控制器對衛(wèi)星系統(tǒng)轉動慣量不確定的魯棒性，通過采用邊界層的厚度可變的雙曲正切函數(shù)替代符號函數(shù)，既緩和了抖振又能保證達到很好的控制性能。但是滑模變結構控制器對干擾魯棒性是有上界的，且隨著干擾的增大，會造成控制性能下降。把滑模變結構和干擾補償結合，滑?？刂朴糜谝种菩l(wèi)星外干擾和衛(wèi)星轉動慣量的不確定，并對飛輪內干擾進行補償。這樣，不僅能增強控制器的魯棒性且將改善控制的性能。

本文建立了基于機械飛輪三軸穩(wěn)定衛(wèi)星詳細的動力學模型，包括帶飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型和機械飛輪控制系統(tǒng)模型。摩擦模型選用的是Stribeck模型，提出并給出了一種考慮機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應滑模變結構控制器，其中通過設計狀態(tài)觀測器得到機械飛輪摩擦干擾的估計值實現(xiàn)對其補償，而通過前饋控制實現(xiàn)了對由電機反電動勢帶來的力矩干擾的補償，通過Lyapunov定理證明了此控制律能保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，最后仿真驗證了控制器的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

以往對以飛輪作為執(zhí)行機構的衛(wèi)星姿態(tài)控制研究，總是把基于飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程作為系統(tǒng)模型，并且基于此模型設計姿態(tài)控制器。小衛(wèi)星由于轉動慣量小，微弱的干擾都有可能導致衛(wèi)星控制系統(tǒng)的性能下降，所以忽略飛輪模型是不可取的。為了針對基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)設計一種更有效的姿態(tài)控制器，本節(jié)建立了系統(tǒng)詳細的數(shù)學模型，包括基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型和機械飛輪控制系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)方框圖

1.1 基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型

假設衛(wèi)星為單剛體結構，并安裝n個機械飛輪。固連于衛(wèi)星本體的坐標系記為Oxsyszs，慣性坐標系記為Oxiyizi,則整個系統(tǒng)的角動量矢量在Oxsyszs中的表達式為

H=Iωs+h

(1)

式中，I為整星轉動慣量矩陣，ωs為Oxsyszs相對Oxiyizi的絕對角速度向量，h為機械飛輪相對Oxsyszs的相對角動量向量，可寫為

h=CJpΩ

(2)

式中,C=[C1…Ci…Cn]，其中Ci表示第i(i=1,2,…,n)個機械飛輪的旋轉軸在Oxsyszs下的方向余弦，取決于機械飛輪在Oxsyszs的安裝方位；Ω=[Ω1…Ωi…Ωn]T為機械飛輪的轉速向量；Jp=diag(Jp1…Jpi…Jpn)為機械飛輪軸向轉動慣量對角陣。

根據(jù)角動量定理[15]，可得基于機械飛輪的衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程

(3)

考慮三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的姿態(tài)控制，軌道坐標系作為參考坐標系，記為Oxoyozo。Oxsyszs相對于Oxoyozo的角速度矢量ωe在Oxsyszs中的表達式為

(4)

(5)

將式(4)代入式(3)，可得基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程：

(6)

式中,

1.2 機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型

第i個機械飛輪轉動方程為[6]

(7)

式中，Ni為電流力矩系數(shù)，Ii為電機的電流，NiIi為驅動力矩，Tfi為摩擦力矩。兩者力矩又以反作用力矩作用在星體上。

電機的電流方程為[15]

(8)

式中，Ri為電機電阻，Ei為電機控制電壓，為反電勢系數(shù)。

假定飛輪工作在力矩模式下，結合方程式(7)和(8)可得第i個機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型

(9)

當|Ω|<ε，靜摩擦為

當|Ω|>ε，動摩擦為

Tf=[Tc+(Tmax-Tc)e-μ|Ω|]sgn(Ω)+kvΩ

式中，T(t)是驅動力矩，Tmax為最大靜摩擦力矩，Tc為庫倫摩擦力矩，kv為粘性摩擦力矩比例系數(shù)，ε和μ為非常小的、正的常數(shù)。采用Stribeck摩擦模型得到的某型號機械飛輪的摩擦力矩與飛輪轉速關系如圖2所示。

假設安裝在衛(wèi)星上的機械飛輪是一致的，則n個機械飛輪力矩模式控制系統(tǒng)模型矢量形式為

(10)

式中，σJpΩ是由電機反電動勢帶來的力矩干擾。

圖2 摩擦力矩-飛輪轉速關系圖

2 基于機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應滑模變結構控制律設計

2.1 控制目標

針對方程式(6)和(10)描述的基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)數(shù)學模型，設計一種控制律Tcw，使得t→∞時，qve→[0 0 0]T，ωe→[0 0 0]T，姿態(tài)控制閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.2 控制器模型

在文獻[14]的基礎上，再結合本文系統(tǒng)模型，得控制器

fk·Tanh[(ωe+kqve)/p2]} )

Tanh(kqve/p2)

(11)

(12)

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

下面應用Lyapunov定理證明本文提出的控制律能保證基于機械飛輪的三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

構造如下正定的Lyapunov函數(shù)：

對上式求導得

結合方程式(6)和(10)，上式可化為

結合控制器模型(11)為

令s=ωe+kqve，再次結合控制器模型，上式化為

令

同理：

由Lyapunov穩(wěn)定定理和Barbalat’s Lemma[14]可得，只要選取合適的參數(shù)γk，可以滿足，t→∞時，qve→[0 0 0]T，ωe→[0 0 0]T，姿態(tài)控制閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

為了驗證控制器的有效性，假設將4個相同的機械飛輪安裝在小衛(wèi)星上。采用3正交1斜裝的安裝方式，安裝矩陣為：

表1 某型號機械飛輪參數(shù)

衛(wèi)星受到的外界干擾取為：

仿真中參數(shù)各初始值取為qe(0)=[1 0 0 0]T，ωs(0)=[0.0087 0.0076 0.0087]T(rad/s)，Ω(0)=[-5 -5 -5 -5]T(rad/s)。p02=0.005，k(0)=0.28。

控制器參數(shù)為：α=0.2785，γk=0.001，γp=4，fk=0.025，k1=-1，k2=0.02，K=50。

下面給出仿真結果圖，其中φ，θ，ψ分別為滾動角、俯仰角和偏航角，由歐拉角與四元數(shù)的轉換關系求得[18]。

圖3 機械飛輪摩擦力矩真實值Tf

圖4 機械飛輪摩擦力矩估計值

下面分析加入機械飛輪摩擦干擾補償前后，飛輪過零摩擦對飛輪轉速和衛(wèi)星姿態(tài)控制的影響。

通過圖7可以看到，加入機械摩擦干擾補償前，飛輪轉速過0時，被摩擦力矩捕獲時間長達200s，低速摩擦對衛(wèi)星姿態(tài)角速度產(chǎn)生最大約0.015(°)/s的姿態(tài)擾動，對衛(wèi)星姿態(tài)角產(chǎn)生0.2°的姿態(tài)擾動。而由圖8可以看到，加入機械摩擦干擾補償后，飛輪轉速過0時，被摩擦力矩捕獲時間不到20s，低速摩擦對衛(wèi)星姿態(tài)角速度產(chǎn)生最大的姿態(tài)擾動≤0.005(°)/s，對衛(wèi)星姿態(tài)角產(chǎn)生最大的姿態(tài)擾動≤0.03°。

圖5 機械飛輪干擾力矩補償前

圖6 機械飛輪干擾力矩補償后

圖7 機械摩擦干擾補償前

圖8 機械摩擦干擾補償后

4 結論

通過仿真，可以看出針對帶機械飛輪的某型衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，本文提出的加入機械飛輪干擾補償?shù)淖赃m應滑?？刂品椒ㄝ^補償前，使機械飛輪轉速過零時間縮短到20s，過零摩擦力矩造成的衛(wèi)星姿態(tài)角、姿態(tài)角速度最大擾動值分別降低了85%和70%，衛(wèi)星姿態(tài)精度和穩(wěn)定度提高了近1個數(shù)量級，很大程度地改善了自適應滑模控制器的控制性能。

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