韓 鵬 單家元 孟秀云

北京理工大學(xué)飛行動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081

重復(fù)使用運(yùn)載器(Reusable Launch Vehicle, RLV)的整個(gè)再入過程可以分為3個(gè)階段：大氣層再入段，末端能量管理段與自動(dòng)著陸段(Approach & Landing,A&L)[1～3]。自動(dòng)著陸段一般從高度3000m的自動(dòng)著陸接口(Auto Landing Interface，ALI)處開始，下滑減速直到停止于跑道的整個(gè)過程[4]。由于該階段RLV作無動(dòng)力滑行，只能通過減速板和舵面進(jìn)行操縱，故要實(shí)現(xiàn)在預(yù)定軌道的精確著陸，對(duì)該階段的軌跡設(shè)計(jì)有較高要求[5]。

航天飛機(jī)自動(dòng)著陸段的高度軌跡剖面包括：陡下滑段，圓弧拉起段，指數(shù)過渡段，淺下滑段[6]。盡管航天飛機(jī)自動(dòng)著陸段的制導(dǎo)策略經(jīng)驗(yàn)證有效并可行，但是它依賴于事先離線計(jì)算并儲(chǔ)存好的若干參考軌跡。比如，當(dāng)自動(dòng)著陸段接口處RLV的重量變大時(shí)，將事先存儲(chǔ)好的標(biāo)稱陡下滑段的航跡傾角減小2°；當(dāng)遇到逆風(fēng)情況時(shí)，將標(biāo)稱陡下滑段向跑道移近300m。航天飛機(jī)的策略并不能根據(jù)當(dāng)時(shí)的狀態(tài)快速生成新的參考軌跡，在初始條件擾動(dòng)較大時(shí)缺乏魯棒性。

本文提出了一種基于迭代校正技術(shù)的軌跡生成方法，可以根據(jù)ALI處不同的初始狀態(tài)，快速生成可行的自動(dòng)著陸段軌跡，成功到達(dá)預(yù)定跑道處并滿足觸地速度要求。本文用唯一的軌跡剖面系數(shù)(航跡傾角γflare)表征整個(gè)自動(dòng)著陸段的參考軌跡。通過迭代校正法定此系數(shù)，使整個(gè)自動(dòng)著陸段的軌跡滿足端點(diǎn)處的狀態(tài)約束。

1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

在對(duì)RLV進(jìn)行自動(dòng)著陸段軌跡設(shè)計(jì)時(shí)，其縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為[7]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式(1)～(4)中，m，v分別表示RLV的質(zhì)量與速度；γ表示航跡傾角；h表示高度；x表示RLV沿著跑道方向的位置。S表示RLV的參考面積；q代表動(dòng)壓，表達(dá)式為q=1/2ρv2； 大氣密度表示為ρ=ρ0e-βh，ρ0代表海平面處的標(biāo)準(zhǔn)大氣密度，β代表大氣指數(shù)常數(shù)。D，L為RLV受到的阻力與升力，定義為：

D=CDqS

(5)

L=CLqS

(6)

上式中，CD與CL分別表示阻力系數(shù)與升力系數(shù)，本文的阻力系數(shù)CD與升力系數(shù)CL采用文獻(xiàn)[8]中介紹的模型：

CD=kD0+kD1α+kD2α2

(7)

CL=CL0+CLαα

(8)

2 軌跡剖面描述

圖1表示了本文自動(dòng)著陸段的參考軌跡，由幾段高度剖面連接而成：捕獲段、陡平衡滑翔段、圓弧拉起段、平滑著陸段。捕獲段是自動(dòng)著陸段的第一階段，RLV沿此階段的高度剖面飛行，并在xcapt處與陡平衡滑翔段相切；當(dāng)x≥xcapt時(shí)，RLV過渡到陡平衡滑翔段，此階段保持某一恒定的航跡傾角滑翔，使動(dòng)壓幾乎保持常值；當(dāng)高度下降到hPU時(shí)，RLV進(jìn)入圓弧拉起段，軌跡傾角逐漸減??；當(dāng)RLV到達(dá)xflare處時(shí)進(jìn)入平滑著陸段，此階段將RLV從高度hflare處引導(dǎo)至自動(dòng)著陸段的終點(diǎn)xTD處。各個(gè)階段接口處的高度與斜率dh/dx應(yīng)保持相等，從而使整個(gè)自動(dòng)著陸段平滑連接。

圖1 自動(dòng)著陸段參考軌跡示意圖

2.1 捕獲段

捕獲段的高度剖面用以下三次多項(xiàng)式表示：

href=a0+a1s+a2s2+a3s3

(9)

式(9)中，s表示相對(duì)ALI處的地面軌跡距離(如：s=0表示自動(dòng)著陸段的起點(diǎn))，高度相對(duì)于地面軌跡距離的導(dǎo)數(shù)為航跡傾角的正切：

(10)

a0，a1，a2，a3為多項(xiàng)式的系數(shù)，可由以下4個(gè)條件確定：

1)s=0時(shí)，捕獲段開始時(shí)RLV的高度為hALI；

2)s=0時(shí)，捕獲段開始時(shí)RLV的航跡傾角為γALI；

3)scapt=xcapt-xALI時(shí)，捕獲段結(jié)束時(shí)RLV的高度為hcapt，本文選取hcapt=2/3*hALI；

4)scapt=xcapt-xALI時(shí)，捕獲段結(jié)束時(shí)RLV的航跡傾角為γSGS。

由以上4個(gè)條件可得：

(11)

求解上式可以得到a0，a1，a2，a3四個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)。一旦得到捕獲段參考高度剖面以及航跡傾角剖面后，開環(huán)參考攻角指令便可生成。首先tanγref對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：

(12)

利用鏈?zhǔn)椒▌t，將式(10)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：

(13)

將式(2)和(4)代入到式(12)和(13)中，令式(12)與(13)相等，可得到參考升力系數(shù)：

(14)

2.2 陡平衡滑翔段

在陡平衡滑翔段，RLV保持恒定的航跡傾角γSGS滑翔，故線性的參考高度剖面為：

href=tanγSGS(x-xzero)

(15)

(16)

2.3 圓弧拉起段

當(dāng)RLV下降到高度hPU時(shí)進(jìn)入圓弧拉起段，航跡傾角從γSGS逐漸變化到γflare(如圖1所示)。參考高度剖面為：

(17)

上式中，xC與hC表示圓弧拉起段的圓心坐標(biāo)值。RLV在此階段進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的向心加速度為：

(18)

將式(2)帶入上式可得參考升力系數(shù)為：

(19)

2.4 平滑著陸段

當(dāng)x≥xflare時(shí)，RLV進(jìn)入到自動(dòng)著陸段的最后一個(gè)階段：平滑著陸段。與式(9)類似，平滑著陸段的高度剖面也采用一個(gè)三次多項(xiàng)式表示，s表示相對(duì)xflare的距離。多項(xiàng)式的4個(gè)系數(shù)可由以下4個(gè)條件確定：

1)s=0時(shí)，平滑著陸段開始時(shí)RLV的高度為hflare；

2)s=0時(shí)，平滑著陸段開始時(shí)RLV的航跡傾角為γflare；

3)sflare=xTD-xflare時(shí)，平滑著陸段結(jié)束時(shí)RLV的高度為0；

4)sflare=xTD-xflare時(shí)，平滑著陸段結(jié)束時(shí)RLV的航跡傾角γTD。

(20)

3 軌跡生成算法

本文的軌跡生成算法主要包含2部分：1)陡平衡滑翔段參數(shù)計(jì)算；2)反向軌跡推演。首先計(jì)算陡平衡滑翔段的航跡傾角γSGS，RLV在此航跡傾角下進(jìn)行“偽平衡”滑翔，使動(dòng)壓幾乎保持常值。一旦γSGS確定好之后，從需求的著陸條件進(jìn)行反向軌跡推演，一直到達(dá)圓弧拉起段的起點(diǎn)處。本文的軌跡生成算法通過迭代校正唯一的系數(shù)(平滑著陸段起點(diǎn)處的航跡傾角γflare)，直到軌跡推演終點(diǎn)處的動(dòng)壓滿足陡平衡滑翔段的動(dòng)壓值。

3.1 陡平衡滑翔段參數(shù)計(jì)算

在陡平衡滑翔段參數(shù)計(jì)算階段，需求出控制指令α，使RLV在此指令下保持恒定的航跡傾角γSGS滑翔并且動(dòng)壓幾乎保持常值。

首先將動(dòng)壓對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)：

(21)

因?yàn)?/p>

(22)

將式(1)、式(3)與式(22)代入式(21)，可得：

(23)

(24)

聯(lián)立式(23)～(24)可得到一個(gè)非線性方程組，對(duì)其進(jìn)行求解即可得到在此階段需要的攻角指令α與陡平衡滑翔段的航跡傾角γSGS。需注意的是，在實(shí)際飛行過程中，RLV在恒定的軌跡傾角γSGS下滑翔時(shí)，動(dòng)壓不會(huì)“嚴(yán)格”地保持恒定不變，這是因?yàn)榇髿饷芏葧?huì)隨著飛行高度的變化而發(fā)生輕微的變化。本文對(duì)非線性方程組進(jìn)行求解時(shí)，式中的大氣密度ρ選取某一特征高度處的密度。本文選取在陡平衡滑翔段中點(diǎn)左右處(h=1500m)的大氣密度。在實(shí)際飛行過程中，RLV在由此得到的攻角指令α進(jìn)行航跡傾角為γSGS的滑翔時(shí)，動(dòng)壓會(huì)發(fā)生輕微的變化，但“幾乎”保持常值。

3.2 反向軌跡推演

在反向軌跡推演階段，首先從已知的觸地條件反向數(shù)值積分dv/dx到平滑著陸段的起點(diǎn)處，可得到整個(gè)平滑著陸段的速度變化情況。速度微分方程dv/dx通過式(1)除以式(4)得到。

平滑著陸段的參考高度軌跡由端點(diǎn)處的高度與航跡傾角，及整個(gè)階段的地面軌跡距離決定。而觸地時(shí)的航跡傾角γTD可由需求的觸地速度與下沉率計(jì)算得到，觸地時(shí)的高度hTD顯然為0。故平滑著陸段起點(diǎn)處的高度hflare與航跡傾角γflare及地面軌跡距離sflare3個(gè)參數(shù)決定了此階段的高度剖面。為使算法簡(jiǎn)便可行，本文固定其中的2個(gè)參數(shù)而僅通過迭代一個(gè)參數(shù)γflare確定整個(gè)高度剖面。固定好的hflare選取為50m，sflare由下式確定：

(25)

式(25)為由式(9)定義高度剖面的最長地面軌跡，由式(9)～(10)計(jì)算得到。

4 軌跡跟蹤算法

4.1 系統(tǒng)組成

圖2表明了自動(dòng)著陸段的系統(tǒng)組成。方程(1)～(4)并未考慮飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程。在本文的仿真過程中，假設(shè)經(jīng)控制系統(tǒng)校正后，縱向的俯仰運(yùn)動(dòng)是一個(gè)理想的二階系統(tǒng)，俯仰角速度的控制指令由過載指令誤差的比例項(xiàng)生成：

(26)

俯仰角速度的響應(yīng)為：

(27)

其中，ωn=10，ξ=0.707。俯仰角速度經(jīng)積分后可得到俯仰角θ，減去RLV的航跡傾角γ，即可得到攻角(α=θ-γ)。接下來可對(duì)式(1)～(4)進(jìn)行數(shù)值積分，本文采用四階龍格庫塔法，步長選取為0.1s。

圖2 自動(dòng)著陸段的系統(tǒng)組成

4.2 制導(dǎo)過載指令

(28)

(29)

上式中，Δh=href-h。PID控制器的參數(shù)在整個(gè)自動(dòng)著陸段均采取常數(shù)，分別為：Kp=0.03，KI=0.003，KD=0.09。

5 仿真結(jié)果分析

5.1 標(biāo)稱情況仿真分析

表1 標(biāo)稱情況下參考高度軌跡參數(shù)

圖3表現(xiàn)了標(biāo)稱情況下動(dòng)壓的變化曲線圖，與預(yù)期一樣，在t<38s時(shí)，RLV在陡平衡滑翔條件下動(dòng)壓幾乎保持常值。圖4表現(xiàn)了標(biāo)稱情況下參考軌跡的航跡傾角γref與實(shí)際的航跡傾角γ的對(duì)比圖，圖5表現(xiàn)了標(biāo)稱情況下參考攻角指令α*與實(shí)際攻角α的對(duì)比圖。航跡傾角曲線在整個(gè)過程中取得了良好的跟蹤效果，相比之下，在參考軌跡各部分切換時(shí)，攻角跟蹤誤差較大，但是很快就能將誤差調(diào)節(jié)為0。

圖3 標(biāo)稱情況下動(dòng)壓q的變化曲線

圖4 參考軌跡的航跡傾角γref與實(shí)際航跡傾角γ的對(duì)比圖

圖5 參考攻角指令α*與實(shí)際攻角α對(duì)比圖

5.2 對(duì)初始狀態(tài)擾動(dòng)的仿真分析

為了驗(yàn)證本文的軌跡生成算法的有效性與快速性，在對(duì)自動(dòng)著陸段接口處狀態(tài)進(jìn)行一系列散布的條件下進(jìn)行仿真。表2總結(jié)了在不同的高度、速度、航跡傾角下，運(yùn)用本文的算法得到的仿真結(jié)果。其中算例4為5.1節(jié)說明的標(biāo)稱情況。

結(jié)果表明，本文的迭代校正算法在2～7次就可以收斂，成功生成可行的參考軌跡，仿真時(shí)間根據(jù)迭代次數(shù)在2～6s內(nèi)。

圖6與圖7表示表2中7個(gè)算例的高度軌跡曲線與速度曲線。從圖中可以看出實(shí)際曲線跟參考曲線幾乎重合，顯示在跟蹤過程中誤差很小。觸地時(shí)實(shí)際的速度大小在(75.5～82.2)m/s之間，相對(duì)于80m/s的需求觸地速度，末端的誤差也較小。綜上所述，本文的設(shè)計(jì)方法可滿足軌跡設(shè)計(jì)要求。

表2 自動(dòng)著陸接口處不同狀態(tài)下的仿真結(jié)果

圖6 不同初始狀態(tài)下的軌跡曲線

圖7 不同初始狀態(tài)下的速度曲線

6 結(jié)論

本文為RLV在自動(dòng)著陸段提出了一種快速的軌跡生成算法。該算法主要包括2部分內(nèi)容：1)陡平衡滑翔段航跡傾角的確定，使RLV在此階段獲得幾乎常值的動(dòng)壓；2)通過迭代校正算法確定平滑著陸段起點(diǎn)處的航跡傾角，從需求的著陸條件進(jìn)行反向軌跡推演，直到滿足陡平衡滑翔段的動(dòng)壓值。本文提出的方法的優(yōu)點(diǎn)在于并不依賴于事先離線計(jì)算好的軌跡，可根據(jù)具體的RLV狀態(tài)快速生成參考軌跡。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的快速性，有效性與魯棒性。

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