顧黃興 齊瑞云

南京航空航天大學自動化學院，南京 210016

隨著航天技術的不斷發(fā)展，對航天器的性能提出了更高的要求，液體燃料占航天器總重量的比值不斷增大，地球同步衛(wèi)星的燃料接近總質(zhì)量的40%[1]。當貯箱部分充液時，由于航天器的平動和轉動，會使液體燃料不斷晃動，對航天器產(chǎn)生顯著的干擾力、干擾力矩和沖擊壓力，使航天器呈現(xiàn)非線性、參數(shù)時變等復雜的動力學特性，同時較低的晃動頻率容易與航天器的結構振動和姿態(tài)控制系統(tǒng)相交耦，從而對航天器的姿態(tài)控制和穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響。如何抑制液體燃料晃動對航天器的影響是一個難點，因而在航天器建模和控制系統(tǒng)的設計中，必須將液體燃料和剛體航天器加以綜合考慮。

帶液體晃動航天器的姿態(tài)控制對航天器變軌、交會對接以及姿態(tài)跟蹤目標的達成非常重要。目前針對此類問題的姿態(tài)控制方法主要有：文獻[2]針對帶液體晃動航天器設計了自適應極點配置姿態(tài)控制器；文獻[3]用一種分層滑模控制方法針對帶液體晃動航天器設計了姿態(tài)控制器；文獻[4]針對帶液體晃動的月球著陸器提出了一種基于無源性的姿態(tài)控制方法；文獻[5-8]針對帶液體晃動航天器提出了一種基于Lyapunov函數(shù)的非線性反饋控制器的設計方法；文獻[9]對液體晃動-航天器姿態(tài)耦合動力學系統(tǒng)采用極點配置間接自校正控制策略，實現(xiàn)了姿態(tài)角的鎮(zhèn)定及跟蹤；文獻[10]針對一類帶液體晃動欠驅動航天器設計了非線性反饋控制器；文獻[11]提出了一種針對充液航天器姿態(tài)的自適應非線性動態(tài)逆控制。上述文獻提供的各種控制方法，大都是基于液體燃料的質(zhì)量等相關參數(shù)不變來設計控制器，沒有考慮到液體燃料的參數(shù)可變且難以測量。為此，本文提出了采用自適應控制方法來解決這個問題。

針對有加速度條件下的帶有液體燃料晃動的航天器，本文基于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析，在文獻[5-8]提出的非線性反饋控制器的基礎上，考慮液體燃料參數(shù)的不確定性，提出了一種參數(shù)自適應非線性反饋控制方法，來抑制航天器的橫向以及俯仰運動，同時抑制液體燃料的晃動，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。仿真實例驗證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

本文研究的是零重力條件下，在有軸向加速度時，某固定平面內(nèi)帶單個貯箱的軸對稱剛體航天器的動力學和姿態(tài)控制，液體燃料使用單個的彈簧-質(zhì)量塊模型來等效，如圖1所示。

圖1 帶液體晃動航天器示意圖

建立航天器體坐標系Oxyz和慣性坐標系OXYZ，考慮航天器在X軸、Z軸平面上的運動。vx，vz分別為貯箱中心沿著x軸和z軸的速度分量；貯箱內(nèi)液體燃料等效為彈簧-質(zhì)量塊，質(zhì)量為mf，分為2部分：固定質(zhì)量m0，h0和I0分別為其相對貯箱中心的距離和轉動慣量；振動部分的液體質(zhì)量m1，h1和s分別為其相對貯箱中心的距離和振幅。k1為彈簧彈性系數(shù)；航天器姿態(tài)角θ為航天器相對于慣性坐標系X軸的角度；航天器質(zhì)量為m，相對貯箱中心轉動慣量為I；末端推力為恒力F，推力角δ為F相對體坐標系x軸的角度；M為作用于質(zhì)心的轉動力矩，M和δ是控制輸入；質(zhì)心到貯箱中心距離為b，推力F作用點到質(zhì)心距離為d；c為彈簧振子阻尼系數(shù)。

由文獻[7]可知，帶液體晃動航天器動力學方程為

(1)

(2)

M+F(b+d)sinδ

(3)

(4)

從上述方程可以看出，液體燃料與剛體航天器的耦合作用強烈，系統(tǒng)呈現(xiàn)很強的非線性。方程(1)～(3)中包含了剛體航天器和液體燃料之間力和力矩的作用，同時，控制力和力矩又都是直接作用于剛體航天器外部，因此對液體晃動的抑制只能通過內(nèi)部的耦合作用來實現(xiàn)，使得航天器整體表現(xiàn)為一個欠驅動系統(tǒng)。方程(4)體現(xiàn)了液體晃動的耗散作用，阻尼系數(shù)c的存在，使得液體每個周期的晃動都會帶來小部分能量的消耗。

在航天器做機動動作時，若推力角度、姿態(tài)角變化幅度較小，且液體晃動為小幅晃動時，軸向加速度不會顯著變化，因此方程(1)可以近似為：

(5)

令

(6)

(7)

(8)

設計目標是設計一個參數(shù)自適應非線性反饋控制器，使航天器完成給定的平面機動動作，即控制航天器的姿態(tài)角和橫向速度達到預定目標，并同時抑制液體燃料的晃動，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2 非線性自適應反饋控制器設計

根據(jù)前文的分析可知，帶液體晃動的航天器系統(tǒng)為固液耦合的復雜非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的基于線性化模型的控制方案很難取得好的控制效果。本文采用基于Lyapunov函數(shù)的非線性設計方法，直接對非線性系統(tǒng)設計Lyapunov函數(shù)，并據(jù)此設計控制器，使系統(tǒng)能得到很好的收斂性能，使用間接自適應控制的方法保證參數(shù)估計值的收斂，同時使用參數(shù)映射等手段保證參數(shù)估計值在合理的取值范圍內(nèi)，最終針對帶液體晃動的航天器系統(tǒng)設計了參數(shù)自適應非線性反饋控制器。

在上文建立系統(tǒng)模型時，采用彈簧-質(zhì)量塊模型對液體燃料進行建模，而在實際的航天器任務中，由于傳感器的精度以及建模時的誤差，很難精確測量得到等效模型的各項參數(shù)。因此對于此非線性系統(tǒng)，考慮液體燃料的具體參數(shù)的不確定性，將方程(8)改寫為如下的形式：

(9)

實際的航天器系統(tǒng)中，液體燃料的各項參數(shù)必定有界，因此等效模型的各參數(shù)也有界，故可對系統(tǒng)模型進一步作如下假設：

假設1：h∈Ω1，而Ω1={h|hmin≤h≤hmax}，即h有上下界；β>0；α∈Ω2，而Ω2={α|0<αmin≤α≤αmax}，即α有上下界，且大于0。

假設2：存在Ωα，使得α>0,?α∈Ωα。Ωα為R上凸子集，且Ω2?Ωα。

假設3：可以適當選擇正常量r3,r4，使得μ=r3-r4h2>0，?h∈Ωh。其中Ωh為R上凸子集，Ω1?Ωh；r3,r4為可以選擇的Lyapunov函數(shù)的系數(shù)。

下面先給出控制器以及投影算子，后面證明基于投影算子的自適應律的選取保證了參數(shù)估計值的有界性。定義如下的公式：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

定義如下的投影算子[12]：

(15)

δ1,δ2為選定的較小的正數(shù)，分別使Ω1?Ω1δ?Ωh，Ω2?Ω2δ?Ωα成立，其中Ω1δ={h|hmin-δ1≤h≤hmax+δ1},Ω2δ={α|αmin-δ2≤α≤αmax+δ2}。

下面通過對定理的證明來說明控制器的設計。

定理：給定正常數(shù)r1～r7,l1,l2，采用控制律式(10)及(11)和參數(shù)自適應律式(12)～(14)，能保證系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定。其中，r3，r4滿足如下條件：可以選定r3，r4，使得μ=r3-r4h2>0，?h∈Ωh。

證明：取Lyapunov函數(shù)為：

對Lyapunov函數(shù)求導可得：

將控制律式(10)和(11)代入，整理后得到：

(17)

由參數(shù)自適應律式(13)可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

將式(18)代入式(17)，再由投影算子性質(zhì)式(19)和(21)，可得

根據(jù)投影算子性質(zhì)式(20)和(22)可知，Lyapunov函數(shù)V為正定函數(shù)。由LaSalle 不變集定理[1-3]可知，對系統(tǒng)(6)～(8)施加控制律(10)和(11)，以及參數(shù)自適應律(12)～(14)時，可以使得系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定。

3 仿真

針對本文提出的參數(shù)自適應非線性反饋控制方案，本節(jié)采用數(shù)字仿真來研究其對帶液體晃動航天器的控制效果。

表1 航天器及燃料的物理參數(shù)[7]

考慮液體燃料參數(shù)的可變性，時間t為600s時，參數(shù)變動為：m1=20kg，h1=0.12m，k=80N/m，c=3.2N·s/m。

參數(shù)映射中各參數(shù)為：αmin=0.01，αmax=15，hmin=0.01，hmax=15，δ1=0.001，δ2=0.001，Ωα={α|α≥0.001}，Ωh={h|0.001≤h≤20}。

綜合考慮系統(tǒng)的響應速度，調(diào)節(jié)時間以及輸出曲線等因素，一組較合適的控制律及自適應律參數(shù)為：r1=1×10-6，r2=100，r3=10，r4=0.02，r5=0.006，r6=5×10-5，r7=5×10-5，l1=4000，l2=2000。其中，l1，l2的取值較大，是為了保證系統(tǒng)的總體收斂速度。r1對仿真結果中各狀態(tài)量和控制輸入的超調(diào)量影響較大，因此取值較小。r2,r4同樣對系統(tǒng)的收斂性有影響，同時會對仿真曲線的平滑性和上升時間有較大的影響。r5,r6,r7等與r4相關，影響各參數(shù)的收斂性。綜合考慮以上各種因素，適當?shù)倪x取各個參數(shù)，可以得到較好的仿真結果，如圖(2)～(5)所示。

圖2 vx,vz的響應曲線

圖3 θ,s的響應曲線

圖4 參數(shù)α,β,h的估計值

圖5 控制輸入δ,M

從圖(2)和(3)中可以看出，航天器的橫向速度，姿態(tài)角和彈簧振子振幅都能最終達到平衡點，同時系統(tǒng)的軸向加速度基本保持不變，符合上面簡化模型時的分析。圖(4)給出的各參數(shù)的估計值很快的收斂。從圖(5)中可看出，航天器的控制輸出，即控制力矩和推力角度曲線平滑，參數(shù)在合理的范圍內(nèi)。在600s時，液體晃動的參數(shù)發(fā)生變動，系統(tǒng)仍能最終達到平衡?？梢钥闯?，采用本文提出的控制器，系統(tǒng)能夠最終達到平衡，同時控制器輸出很平滑，沒有抖動。

4 總結

針對帶液體晃動的航天器，在給定整體系統(tǒng)數(shù)學模型的基礎上，本文針對系統(tǒng)的非線性性以及液體燃料晃動參數(shù)未知且難以精確測量等特點，基于Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性分析，設計了一種參數(shù)自適應非線性反饋控制器，按照這種方法設計的控制器可以保證系統(tǒng)最終達到漸近穩(wěn)定。這種控制方法抑制了航天器的橫向及俯仰運動，并且有效抑制了液體的晃動，達到了控制目標。最后給出的仿真實例說明了該方法的有效性和可行性。

參 考 文 獻

[1] Sidi M J. Spacecraft Dynamics and Control[M].Cambridge Aerospace Series, Cambridge University Press, 1997.

[2] Shageer H, Tao G. Modeling and Adaptive Control of Spacecraft with Fuel Slosh: Overview and Case Studies[C]. AlAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, Hiton Head, South Carolina, August 20-23, 2007.

[3] 杜輝,張洪華.一類帶液體晃動航天器的姿態(tài)控制[J].空間控制技術與應用,2010,36(2):25-30. (DU Hui, ZHANG Honghua. Attitude Control for a Kind of Spacecraft with Fuel Slosh[J]. Aerospace Control and Application, 2010,36(2):25-30.)

[4] 杜輝.基于無源性的帶液體晃動月球著陸器的姿態(tài)控制[J].空間控制技術與應用,2011,37(1):50-54. (DU Hui. Passivity Based Attitude Control for Lunar Lander with Fuel Sloshing[J]. Aerospace Control and Application,2011,37(1):50-54.)

[5] Cho S, McClamroch N H, Reyhanoglu M. Feedback Control of a Space Vehicle with Unactuated Fuel Slosh Dynamics[C]. AlAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit, Denver, CO, August 14-17, 2000.

[6] Reyhanoglu M. Maneuvering Control Problems for a Spacecraft with Unactuated Fuel Slosh Dynamics[C]. Proceedings of 2003 IEEE Conference on Control Applications, June 23-25, 2003.

[7] Reyhanoglu M, Hervas J R. Nonlinear Control of Space Vehicles with Multi-Mass Fuel Slosh Dynamics[C]. IEEE 5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies, Istanbul, Turkiye, 2011.

[8] Reyhanoglu M, Hervas J R. Nonlinear Control of a Spacecraft with Multiple Fuel Slosh Modes[C]. IEEE 50th Conference on Decision and Control and European Control Conference, Orlando, FL, USA, 2011.

[9] 梁瓊,岳寶增,于丹.充液航天器目標跟蹤自適應控制[J].空間控制技術與應用,2011, 37(1):40-44. (LIANG Qiong, YUE Baozeng, YU Dan. Adaptive Control of Target Tracking for Liquid-Filled Spacecraft[J]. Aerospace Control and Application,2011, 37(1):40-44.)

[10] 于丹,岳寶增.一類帶液體晃動欠驅動航天器的反饋控制[C].中國力學大會2011暨錢學森誕辰100周年紀念大會.哈爾濱: 中國力學學會,2011. (YU Dan, YUE Baozeng. Feedback Control of a Kind of Underactuated Spacecraft with Fuel Slosh.[C]. The Chinese Conference on Theoretical and Applied Mechanics 2011 in Memorial of Tsien Hsue-Shen’s 100th Anniversary. Harbin: The Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics,2011.)

[11] 祝樂梅,岳寶增.充液航天器姿態(tài)的自適應非線性動態(tài)逆控制[J].動力學與控制學報,2011,9(4):321-325. (ZHU Lemei, YUE Baozeng. Adaptive Nonlinear Dynamic Inversion Control for Spacecraft Attitude Filled with Fuel[J]. Journal of Dynamics and Control,2011,9(4):321-325.)

[12] Hassan K K. Adaptive Output Feedback Control of Nonlinear Systems Represented by Input-Output Models[J]. IEEE Transactions on Automatic Control (S0018-9286), 1996, 41(2): 177-188.

[13] Hassan K K.Nonlinear systems[M]. 3ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002.