高云逸 康永來

北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

空射運載火箭具有發(fā)射地點機動靈活，不需要地面發(fā)射場，運載能力高于地面發(fā)射等突出優(yōu)勢，是小型衛(wèi)星發(fā)射，特別是應(yīng)急發(fā)射的優(yōu)良運載工具。載機的速度和高度可提高火箭飛行的初始高度和速度，對提高運載能力有明顯作用。運載火箭在釋放時具有與載機基本相同的高度和速度，經(jīng)過分離運動過程后，運載火箭點火，點火時的位置、速度和姿態(tài)對火箭的彈道和運載能力有重要影響。因此，有必要針對點火姿態(tài)對飛行彈道和運載能力的影響進行研究。

空射運載火箭的彈-機組合方式可分為外掛式、內(nèi)裝式、背馱式、拖曳式4種，后2種方式目前仍有很多難以解決的問題，故現(xiàn)有空射運載火箭方案多應(yīng)用前2種組合方式。外掛式空射運載火箭的典型例子是當前唯一在役的空射火箭—飛馬座運載火箭，外掛式空射火箭的點火姿態(tài)多接近于水平。而世界上首次實現(xiàn)的火箭空中發(fā)射(1975年美國從C-5A運輸機上發(fā)射民兵-1導彈)則采用了內(nèi)裝式組合方式，這種方式發(fā)射的火箭點火時俯仰角較大，接近于垂直。

本文將點火俯仰角作為設(shè)計變量，在一定的程序角模式下，采用序列二次規(guī)劃法(Sequential Quadratic Programming, SQP)進行彈道優(yōu)化，從而得到不同點火俯仰角下，同一火箭對同一目標軌道發(fā)射的最優(yōu)彈道和運載能力，并據(jù)此分析了點火俯仰角對火箭飛行過程的影響。

1 空射運載箭-機組合方式及分離特點

1.1 外掛式

運載火箭發(fā)射前由載機外部固定裝置掛載的箭機組合方式稱為外掛式。外掛式空射運載火箭點火時姿態(tài)接近水平，這種初始姿態(tài)要求火箭在一級飛行段作大攻角的爬升飛行。

1.2 內(nèi)裝式

運載火箭在發(fā)射前裝載在載機艙內(nèi)的箭機組合方式稱為內(nèi)裝式。內(nèi)裝式空射運載火箭與載機分離后，姿態(tài)變化較大。點火時間的選擇不同，火箭的俯仰角和速度傾角變化很大。不同的點火狀態(tài)對火箭運載能力有一定的影響。

2 彈道模型

考慮一枚三級固體運載火箭，三級固體發(fā)動機連續(xù)工作?；鸺w行的俯仰程序角如圖1所示。點火后，先經(jīng)過一段定軸飛行，之后開始攻角轉(zhuǎn)彎；根據(jù)點火俯仰角的大小，可能是正攻角的爬升，也可能是負攻角的下壓；到達一定的速度傾角后，攻角變?yōu)?，開始重力轉(zhuǎn)彎，一二級分離；二級工作后段開始下壓，滿足入軌速度傾角約束；三級為定軸飛行段。

圖1 俯仰程序角示意圖

彈道計算中，地球模型采用不旋轉(zhuǎn)的均質(zhì)圓球形大地，火箭采用三自由度質(zhì)點模型，火箭在重力G、推力P、氣動力A作用下飛行：

在計算中，假設(shè)載機在不同傾角的爬升飛行狀態(tài)下釋放火箭，火箭點火時攻角均為0°，點火俯仰角等于速度傾角。

火箭三級均采用耗盡關(guān)機，入軌速度依靠入軌質(zhì)量進行調(diào)節(jié)，入軌質(zhì)量越大，火箭的運載能力也越大。

在彈道計算完成后，本文采用速度損失的方法分析點火俯仰角對火箭飛行性能的影響。

式中，ΔVg為重力損失，彈道越高陡，重力損失越大；ΔVd為阻力損失，ΔVp為噴口壓力損失，彈道越低平，阻力損失和噴口壓力損失越大；ΔVα為攻角損失，推力方向偏離速度方向越大，攻角損失越大；g為當?shù)刂亓铀俣龋沪楫數(shù)厮俣葍A角；CdqSM為氣動阻力；Sep為當?shù)貒娍诖髿鈮毫Γ籔為發(fā)動機真空推力；α為攻角。

3 彈道優(yōu)化

在每個固定的點火俯仰角下，對飛行程序進行優(yōu)化，得到最大入軌質(zhì)量和最優(yōu)彈道，供分析比較。在此基礎(chǔ)上，再將點火俯仰角作為優(yōu)化變量之一，得到最優(yōu)點火俯仰角。

3.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化的目標為入軌質(zhì)量最大，因此選擇目標函數(shù)為

minJ(u)=-mt

式中，mt為三級關(guān)機時的質(zhì)量。

優(yōu)化變量是程序角的關(guān)鍵參數(shù)：

u=[tturn,αm,tαEnd,tgEnd,tdStart,tdEnd,Kd,φ0]T

式中，tturn為程序轉(zhuǎn)彎開始時間，αm為最大轉(zhuǎn)彎攻角，tαEnd為攻角轉(zhuǎn)彎結(jié)束時間，tgEnd為重力轉(zhuǎn)彎結(jié)束時間，tdStart為下壓開始時間，tdEnd為下壓結(jié)束時間，Kd為下壓斜率，φ0為點火俯仰角。

約束條件主要包括終端約束和優(yōu)化變量范圍約束，終端約束即入軌點高度、速度和傾角，每個優(yōu)化變量根據(jù)工程實際也有一定的取值范圍。

3.2 優(yōu)化方法

SQP算法的基本思想是在當前點處通過求解一個二次規(guī)劃子問題得到更好的迭代點，通過在一系列的點上進行這樣的二次規(guī)劃求解，逐步逼近最優(yōu)點。對于一個含等式約束和不等式約束的非線性規(guī)劃問題：

在迭代點xk處，對應(yīng)的二次規(guī)劃子問題可表示為

式中 ，d為搜索方向；▽f(xk),▽g(xk),▽h(xk)為函數(shù)在xk處的梯度，Bk矩陣為Lagrange函數(shù)的Hessian矩陣的良好近似[1]。

4 仿真算例及結(jié)果分析

本文主要針對如下4個問題進行仿真分析：不同點火傾角下最優(yōu)彈道的特征；不同點火傾角下速度損失分析；點火傾角的優(yōu)化；攻角誤差的影響。

算例中，目標軌道為低地球軌道，入軌點高度199km，速度7793m/s。由于入軌點很低，采用三級連續(xù)工作方案?？罩邪l(fā)射，初始速度200m/s，高度10000m。

4.1 點火傾角對彈道的影響

分別對0°到90°范圍內(nèi)的10個狀態(tài)進行彈道優(yōu)化，結(jié)果表明，不同的初始彈道傾角的影響主要體現(xiàn)在攻角轉(zhuǎn)彎段：水平點火時，需要長時間大正攻角的爬升；垂直點火時，需要大負攻角的下壓，這都會導致較大的攻角損失和阻力損失，故存在一個最優(yōu)的點火俯仰角，使入軌質(zhì)量最大。

圖2顯示了不同初始姿態(tài)下攻角的變化歷程，由上向下，點火俯仰角從0°變化到90°。

圖2 攻角隨點火俯仰角的變化

優(yōu)化中，最大攻角的絕對值限制為20°[2]，當點火俯仰角在30°以下或80°以上時，最大攻角均達到20°。在60°與70°的點火俯仰角之間，可能存在不需要攻角轉(zhuǎn)彎的“純重力轉(zhuǎn)彎彈道” 。

圖3顯示了不同初始姿態(tài)下速度傾角的變化歷程。由下向上，點火俯仰角從0°變化到90°。

圖3 速度傾角隨點火俯仰角的變化

雖然初始速度傾角不同，但經(jīng)過一段攻角轉(zhuǎn)彎之后，速度傾角趨于一致。

由于轉(zhuǎn)彎攻角和轉(zhuǎn)彎時間的差異，火箭的運載能力也隨之發(fā)生變化，與水平點火狀態(tài)相比，入軌質(zhì)量的增加量記為Δm。圖4顯示了Δm與點火俯仰角的關(guān)系。點火俯仰角為60°時，入軌質(zhì)量最大，比水平起飛時大69.89kg。點火俯仰角為50°時的入軌質(zhì)量略小于60°。點火俯仰角偏離50°～60°的范圍越遠，入軌質(zhì)量越小。

圖4 入軌質(zhì)量隨點火俯仰角的變化

初始姿態(tài)和速度的變化，不只對運載能力有影響，水平點火時的低高度大攻角爬升，還明顯地增大了最大qα值，使火箭載荷增大，結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加。圖5為各條彈道最大qα值的變化，點火俯仰角60°時qα值最小，僅為水平點火時的1/50。點火俯仰角大于60°時，最大qα值隨俯仰角的增大而增大。

圖5 最大qα隨點火俯仰角的變化

4.2 點火傾角對速度損失的影響

速度損失可以直觀地反映各因素對火箭運載能力的影響，是評價彈道性能的實用方法。針對不同點火俯仰角下的最優(yōu)彈道，計算出的各項速度損失如圖6所示。

圖6 不同點火俯仰角下的分項速度損失

每個柱體從下至上的4種色塊分別代表重力損失、阻力損失、噴口壓力損失和攻角損失。柱體的總高度代表總速度損失。由于末端速度相同，總速度損失越小，理想速度就越小，表明運載能力越大。

重力損失在總速度損失中占據(jù)最主要地位，點火俯仰角越大，重力損失越大，這與地面發(fā)射運載火箭彈道越高，重力損失越大的規(guī)律相同。由于在高空發(fā)射，各狀態(tài)的重力損失均比地面發(fā)射小。

阻力損失在地面發(fā)射彈道中通常是第2個大的速度損失因素。而空中發(fā)射提高了發(fā)射點，同等條件下，阻力損失將減小。點火俯仰角較大的彈道確實體現(xiàn)了這一現(xiàn)象。但對于水平發(fā)射和接近水平發(fā)射的彈道，由于有長時間的大攻角爬升，引起了比地面發(fā)射更大的速度損失。

噴口壓力損失在各因素中占比最小，點火俯仰角越大，噴口壓力損失越小。

攻角損失來自于攻角轉(zhuǎn)彎、下壓等飛行動作，接近于純重力轉(zhuǎn)彎的點火俯仰角為60°，70°的彈道攻角損失最小。水平發(fā)射時，攻角損失較大。

4.3 最優(yōu)點火俯角

將點火俯仰角作為優(yōu)化變量加入優(yōu)化計算，可以得到最優(yōu)點火俯仰角為55.7°，對應(yīng)的運載能力比50°和60°時提高約0.7kg?？梢娫谧顑?yōu)點火俯仰角附近，入軌質(zhì)量曲線較平。這個特性允許放大對姿態(tài)控制的誤差要求，對姿控設(shè)計有利。

最優(yōu)點火俯仰角接近于“純重力轉(zhuǎn)彎”的角度，這反映出運載能力主要受轉(zhuǎn)彎引起的速度損失影響。最優(yōu)點火俯仰角低于純重力轉(zhuǎn)彎的角度，從圖6中分析，主要原因是純重力轉(zhuǎn)彎時，彈道比較高陡，重力損失較大。

4.4 有攻角誤差時的分析

上面的分析是在點火攻角為0°的假設(shè)下進行的。而實際飛行中，由于點火前自由飛行段誤差的作用，可能無法保證以零攻角的狀態(tài)點火。

采用固定點火速度傾角的方法研究有攻角時點火的情況。在一定的點火速度傾角下，進行彈道優(yōu)化，即可得到有攻角時最優(yōu)點火俯仰角和最大入軌質(zhì)量，結(jié)果如表1所示。

表1 有攻角時的優(yōu)化結(jié)果

可見在有攻角的情況下，最優(yōu)點火俯仰角仍在50°～55°間，相對無攻角時，入軌質(zhì)量的變化也不大，僅為1kg左右。初始攻角對最優(yōu)點火俯仰角和運載能力影響較小。

5 結(jié)論

本文在點火俯仰角可變，攻角為0°的狀態(tài)下對點火俯仰角對彈道參數(shù)的影響進行了研究。以入軌質(zhì)量最大為目標，以程序角控制參數(shù)為優(yōu)化變量，采用SQP方法對每個狀態(tài)進行了彈道優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果表明點火俯仰角對運載能力有一定影響，傾斜點火的方案既能避免大攻角飛行造成的載荷問題，又能提高運載能力。

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