岳瑞華 楊學(xué)猛 徐中英

第二炮兵工程大學(xué)302教研室，西安 710025

美國標(biāo)準(zhǔn)局(NBS，現(xiàn)在為國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院NIST)提出的基于測(cè)量過程控制方法的量值傳遞方式——計(jì)量質(zhì)量保證方案(MAP)[1]，把測(cè)量看成一個(gè)全過程,通過對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的定期監(jiān)控和分析,使測(cè)量過程始終處于連續(xù)的統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)。對(duì)大型武器系統(tǒng)的測(cè)試設(shè)備而言，在MAP的實(shí)施過程中如果能利用已有數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而對(duì)預(yù)測(cè)超差的設(shè)備提前檢定校準(zhǔn)，則能夠更加及時(shí)有效地提供技術(shù)支持。

基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的機(jī)器學(xué)習(xí)方法——支持向量機(jī)(SVM，support vector machines)較好地解決了以往困擾很多學(xué)習(xí)方法的小樣本、非線性、過學(xué)習(xí)、高維數(shù)、局部極小點(diǎn)等實(shí)際問題，具有很強(qiáng)的泛化能力[2-3]，因而可以用來進(jìn)行校準(zhǔn)間隔預(yù)測(cè)[4-7]。而SVM核函數(shù)參數(shù)的選擇，對(duì)于SVM回歸估計(jì)的精度影響較大[8-9]。本文提出將粒子群優(yōu)化算法(PSO)應(yīng)用于SVM核函數(shù)參數(shù)的選擇[10]，利用改進(jìn)的PSO-SVM對(duì)測(cè)量儀器的測(cè)量值進(jìn)行預(yù)測(cè)，依據(jù)Shewhart控制圖或給定不確定度提前檢出超差值，及時(shí)對(duì)測(cè)試設(shè)備檢定校準(zhǔn)。

1 SVM回歸

設(shè)樣本集為：(y1,x1),…,(yl,xl),x∈Rn,y∈R，回歸函數(shù)用下列線性方程來表示，

f(x)=ωTx+b

(1)

最佳回歸函數(shù)通過求以下函數(shù)的最小極值得出，

(2)

其中，C是設(shè)定的懲罰因子值，ξ,ξ*為松弛變量的上限與下限。

Vapnik提出運(yùn)用下列不敏感損耗函數(shù)：

(3)

通過優(yōu)化方程：

(4)

求解：

(5)

(6)

對(duì)于非線性模型，可通過一個(gè)非線性映射將數(shù)據(jù)映射到高維的特征空間中，在其中進(jìn)行線性回歸。非線性SVR的解即可通過下面方程求出：

(7)

回歸函數(shù)f(x)則為：

(8)

其中，應(yīng)用最廣泛的是RBF核，無論是低維、高維、小樣本及大樣本等情況，RBF核函數(shù)均適用，具有較寬的收斂域。

2 粒子群優(yōu)化

粒子樣優(yōu)化算法(PSO)是一種進(jìn)化優(yōu)化算法，源于對(duì)鳥群捕食行為研究，已經(jīng)被證明是一種很好的優(yōu)化方法[10]。其數(shù)學(xué)描述如下：在連續(xù)空間坐標(biāo)系中，設(shè)粒子群個(gè)數(shù)為m，每個(gè)粒子的坐標(biāo)為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，每個(gè)粒子的飛行速度為vi=(vi1,vi2,…,viD)，每個(gè)粒子都有一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)值，對(duì)于第i個(gè)粒子，其所經(jīng)過的歷史最好位置記為pi=(pi1,pi2,…,piD)，也稱為個(gè)體極值pbest；整個(gè)群體中所有粒子發(fā)現(xiàn)的最好位置記為pg=(g1,g2,…,gD)，也稱為全局極值gbest。粒子就是根據(jù)這2個(gè)極值來不斷更新自己的速度和位置：

vij(k+1)=vij(k)+c1r1(pij-xij(k))+

c2r2(gij-xij(k))

(9)

xij(k+1)=xij(k)+vij(k+1)

(10)

其中：i=1,2,…,m，m表示粒子的總個(gè)數(shù)；j=1,2,…,D，D表示一個(gè)粒子的維數(shù)，即算法所優(yōu)化的第j個(gè)參數(shù)，根據(jù)具體的優(yōu)化問題而定；r1,r2為[0,1]之間相對(duì)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)；c1,c2為加速因子，通常在[0,2]間取值。為保證收斂性和收斂速度，加入收縮因子γ，(9)式即為：

vij(k+1)=γ{vij(k)+c1r1(pij-xij(k))+

c2r2(gij-xij(k))}

(11)

在每一次迭代過程中，每個(gè)粒子都需要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)來計(jì)算其適應(yīng)值大小，目標(biāo)函數(shù)可以是均方誤差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。然后根據(jù)適應(yīng)值來確定當(dāng)前粒子最優(yōu)位置pij(k)及群體最優(yōu)位置pgj(k)，然后根據(jù)式(10)和式(11)調(diào)整各個(gè)粒子的速度及位置。其結(jié)束條件為：

1)迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值，通常設(shè)定最大迭代次數(shù)為100代[11]；

2)群體迄今為止搜索到的最優(yōu)位置滿足預(yù)設(shè)最小適應(yīng)值，通常預(yù)設(shè)適應(yīng)值為0。

3 PSO-SVM

SVM的自選參數(shù)C，ξ和γ的選擇，對(duì)于SVM回歸估計(jì)的精度影響很大。其中參數(shù)C可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的特性，決定模型的復(fù)雜度和對(duì)大于ξ的擬合偏差的懲罰程度。ξ值過大或過小，都會(huì)使系統(tǒng)的泛化能力變差。參數(shù)表明了系統(tǒng)對(duì)估計(jì)函數(shù)在樣本數(shù)據(jù)上誤差的期望，其值影響了構(gòu)造回歸函數(shù)的支持矢量數(shù)目。ξ值過大，回歸估計(jì)精度低，支持矢量數(shù)量少，會(huì)導(dǎo)致過于平滑的估計(jì)；ξ值過小，不敏感損失函數(shù)作用變小，預(yù)測(cè)結(jié)果的魯棒性減弱。核函數(shù)的參數(shù)γ反映了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的特性，對(duì)于系統(tǒng)的泛化能力影響較大。因此，只有合理選擇參數(shù)，才可以使SVM回歸估計(jì)得到很好的擬合效果。

如何合理選擇SVM的參數(shù)，目前尚無有效的方法，一般通過交叉驗(yàn)證試算或梯度下降法求解，為此，本文采用粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對(duì)SVM參數(shù)的自動(dòng)優(yōu)化選擇。為了實(shí)現(xiàn)SVM參數(shù)的優(yōu)化選擇，首先將樣本數(shù)據(jù)分為2部分：訓(xùn)練樣本集和測(cè)試樣本集。訓(xùn)練樣本集用于回歸SVM的訓(xùn)練，即求解形如式(4)的二次優(yōu)化問題，得到SVM的回歸估計(jì)模型，將訓(xùn)練結(jié)果代入式(8)進(jìn)行預(yù)測(cè)，采用均方根誤差(MSE)作為適應(yīng)度評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(12)

本文中，PSO用來選擇解決模型選擇問題，決定用來預(yù)測(cè)測(cè)試設(shè)備校準(zhǔn)間隔的SVM回歸模型參數(shù)值[10]。SVM中參數(shù)C,ξ和高斯核函數(shù)的參數(shù)γ作為PSO算法的決策變量。因此，三維向量中，第i個(gè)粒子屬性xi=(xi1,xi2,xi3)，pi=(pi1,pi2,…,pi3)，vi=(vi1,vi2,…,vi3)分別對(duì)應(yīng)于參數(shù)C，ξ和γ。

采用帶收縮因子的局部最優(yōu)PSO模型，算法流程見圖1，具體步驟如下：

步驟1 參數(shù)初始化：視向量C，ξ和γ為粒子，確定粒子群規(guī)模m，確定加速度因子c1,c2，初始化r1,r2，設(shè)置最大迭代次數(shù)；

步驟2 將每個(gè)粒子的個(gè)體極值位置設(shè)置為當(dāng)前位置，計(jì)算每個(gè)粒子的初始適應(yīng)度，取適應(yīng)度最好的粒子所對(duì)應(yīng)的個(gè)體極值作為最初的全局極值；

步驟3 按照式(9)、式(10)和式(11)進(jìn)行迭代計(jì)算，更新粒子的位置和速度；

步驟4 由式(12)評(píng)價(jià)每個(gè)粒子的適應(yīng)值；

步驟5 將更新后的每個(gè)粒子的個(gè)體極值pbest與全局極值gbest比較，若pbest優(yōu)于gbest，則gbest=pbest，否則保留原值；

步驟6 更新迭代次數(shù)，i=i+1；

步驟7 判斷是否滿足結(jié)束條件，滿足則輸出全局最優(yōu)解作為支持向量機(jī)的最優(yōu)參數(shù)向量，否則返回步驟3；

步驟8 根據(jù)優(yōu)化的參數(shù)向量建立SVM校準(zhǔn)間隔預(yù)測(cè)模型。

圖1 粒子群優(yōu)化支持向量機(jī)算法流程圖

4 測(cè)試設(shè)備校準(zhǔn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)實(shí)例

數(shù)據(jù)來自于計(jì)量站對(duì)一大型測(cè)控設(shè)備某計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器的1kΩ電阻10年間的校準(zhǔn)記錄[12]。該標(biāo)準(zhǔn)在滿足統(tǒng)計(jì)受控條件下每年由上級(jí)計(jì)量單位進(jìn)行一次檢定，兩次檢定期間，利用更高精度的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其每月進(jìn)行一次精度核查，共得到120個(gè)校準(zhǔn)誤差數(shù)據(jù)。

圖2(a)，(b)，(c)列出了PSO-SVM與SVM預(yù)測(cè)效果對(duì)比，圖2(d)是預(yù)測(cè)性能的直觀展示。

圖2 SVM和PSO-SVM的預(yù)測(cè)結(jié)果

用于校準(zhǔn)間隔預(yù)測(cè)的傳統(tǒng)SVM方法和所提SPO-SVM方法的均方根誤差對(duì)比見表1。

表1 預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)

相比參數(shù)優(yōu)化前，MSE降低了0.1503mΩ。由此可見，本文提出基于PSO算法優(yōu)化的SVM對(duì)大型測(cè)控設(shè)備計(jì)量校準(zhǔn)間隔進(jìn)行預(yù)測(cè)不僅是可行的，而且可以獲得較好的預(yù)測(cè)，是一種有效的預(yù)測(cè)方法。

5 結(jié)語

充分利用了粒子群優(yōu)化算法對(duì)支持向量機(jī)的參數(shù)進(jìn)行全局并行尋優(yōu)能力和SVM強(qiáng)大的非線性映射功能，將PSO與SVM兩種方法進(jìn)行有機(jī)組合，提出了基于PSO-SVM的預(yù)測(cè)方法并應(yīng)用于大型測(cè)控設(shè)備的校準(zhǔn)間隔的預(yù)測(cè)。實(shí)例驗(yàn)證該方法相比SVM具有更好的預(yù)測(cè)效果，并可與Shewhart控制圖結(jié)合，將MAP中發(fā)現(xiàn)超差后的校準(zhǔn)轉(zhuǎn)變?yōu)榛诹Ｗ尤簝?yōu)化支持向量機(jī)的預(yù)測(cè)校準(zhǔn)，該方法對(duì)于提高計(jì)量質(zhì)量保障水平具有參考意義。

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