曹久瑩

(江蘇省計量科學(xué)研究院，南京 210007)

0 引言

依據(jù)JJG 643—2003《標(biāo)準表法流量標(biāo)準裝置》檢定規(guī)程，對于非定點使用的標(biāo)準流量計，使用儀表系數(shù)時，其測量A類標(biāo)準不確定度的計算方法為：

式中：eK為用最小二乘法擬合的流量-儀表系數(shù)曲線的標(biāo)準不確定度，1/m3；K為標(biāo)準流量計的常用儀表系數(shù)，1/m3。

由于規(guī)程中并沒有詳細說明最小二乘法擬合流量-儀表系數(shù)曲線的計算過程，下面主要探討一下如何使用最小二乘法進行曲線擬合及曲線標(biāo)準不確定度的確定。

1 最小二乘法

1.1 最小二乘法的基本原理

在物理實驗中經(jīng)常要觀測兩個有函數(shù)關(guān)系的物理量x和y。根據(jù)兩個量的多組觀測數(shù)據(jù)來確定它們的函數(shù)曲線，這就是實驗數(shù)據(jù)處理中的曲線擬合問題。這類問題通常有兩種情況：一種是兩個觀測量x與y之間的函數(shù)形式已知，但一些參數(shù)未知，需要確定未知參數(shù)的最佳估計值；另一種是x與y之間的函數(shù)形式也未知，需要找出它們之間的經(jīng)驗公式。后一種情況通常假設(shè)x與y之間的關(guān)系是一個待定的多項式，多項式系數(shù)就是待定的未知參數(shù)，從而可采用類似于前一種情況的處理方法。

本文討論的標(biāo)準流量計的流量-儀表系數(shù)這兩個量的函數(shù)曲線即屬于后一種情況，由于流量計種類繁多，檢定時并不能準確知道該流量計的流量-儀表系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，往往只能得到一組或多組檢測數(shù)據(jù)，為了確定其函數(shù)關(guān)系，就需先假設(shè)一個多項式，再通過解數(shù)學(xué)方程的方法求解該多項式的參數(shù)。

設(shè)x和y的函數(shù)關(guān)系為以下理論公式：

y=f(x；a1，a2，……am)

式中：a1，a2，……am是m個要通過實驗確定的參數(shù)。設(shè)有n組觀測數(shù)據(jù)，對于每組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1,2,……n)都對應(yīng)于xy平面上一個點。若不存在測量誤差，則這些數(shù)據(jù)點都準確落在理論曲線上。只要選取n組測量值代入上式，便得到方程組：

yi=f(xi；a1，a2，……am)

式中：i=1,2,……n。求n個方程的聯(lián)立解即得n個參數(shù)的數(shù)值。顯然，當(dāng)nm的情況下，上式成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得m個參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。

曲線擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1,2,……n)，確定近似函數(shù)y=f(x),使誤差ri=f(xi)-yi(i=1,2,……n)的平方和最小，即：

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(xi，yi)(i=1,2,……n)的距離平方和為最小的曲線y=f(x)。函數(shù)f(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)f(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

1.2 多項式擬合

在曲線擬合中，擬合函數(shù)可以有不同的選取方法。

當(dāng)擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足上式的fm(x)稱為最小二乘擬合多項式。當(dāng)m=1時，稱為線性擬合或直線擬合。

多項式擬合一般可歸納為以下幾個步驟：

1)確定擬合多項式的次數(shù)m；

2)寫出正規(guī)方程組，求出系數(shù)a0，a1，……am；

在多項式擬合中，當(dāng)擬合多項式的次數(shù)較高時，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，而且：

1)正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴重；

2)擬合節(jié)點分布的區(qū)間[x0,xm]偏離原點越遠，病態(tài)越嚴重；

3)xi(i=1,2,……n)的數(shù)量級相差越大，病態(tài)越嚴重。

為了克服以上缺點，一般采用以下措施：

1)盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；

下面討論幾種常用的表示兩個觀測量函數(shù)關(guān)系的多項式，來進行曲線擬合的計算方法。

1.2.1 直線擬合

曲線擬合中最基本和最常用的是直線擬合。設(shè)流量q和儀表系數(shù)k之間的函數(shù)關(guān)系為如下的直線方程：

k=a+bq

(1)

式中有兩個待定參數(shù)，a代表截距，b代表斜率。解方程組可求得直線參數(shù)a和b的最佳估計值：

(2)

(3)

相關(guān)系數(shù)：

(4)

式中：Qi為實際檢測得到的流量值(m3/h)，i=1，2，…n，n為實際檢測次數(shù)；Ki為實際檢測得到的與流量值對應(yīng)的儀表系數(shù)(1/m3)，i=1，2，……n，n為實際檢測次數(shù)。

說明：1)可用數(shù)學(xué)軟件計算出參數(shù)a、b、r的值；2)可用Excel中的函數(shù)intercept、slope和correl命令直接求得參數(shù)a、b、r的值。

1.2.2 曲線擬合

按照上述多項式擬合的方法，避免當(dāng)多項式的次數(shù)較高時其正規(guī)方程組出現(xiàn)病態(tài)，本文選取次數(shù)不超過3次的多項式，按以下幾種函數(shù)關(guān)系式進行流量q和儀表系數(shù)k的曲線擬合：

數(shù)學(xué)模型1：k=a+bq+cq2

(5)

數(shù)學(xué)模型2：k=a/q+b+cq

(6)

數(shù)學(xué)模型3：k=a/q2+b/q+c+dq+eq2

(7)

數(shù)學(xué)模型4：k=a/q3+b/q2+c/q+d+eq+fq2+gq3

(8)

其中，a、b、c、d、e、f、g均為擬合曲線的參數(shù)。

采取人工解方程組的方法來計算上述方程中的參數(shù)，工作量大且不易操作，目前較簡便的方法可通過計算機數(shù)學(xué)軟件MATLAB編制特定的程序來求得各個參數(shù)值。

2 舉例說明

以一臺G650雙腰輪標(biāo)準流量計的檢測結(jié)果數(shù)據(jù)為例，10個流量點下的儀表系數(shù)見表1。

表1 流量計流量點和儀表系數(shù)的檢測結(jié)果數(shù)據(jù)

下面按照本文中列舉的5種函數(shù)關(guān)系式，分別進行多項式擬合，并求出各擬合曲線的標(biāo)準不確定度。

2.1 直線擬合

將表1中檢測數(shù)據(jù)帶入式(2)、(3)、(4)可以得出直線擬合的各個系數(shù)的值為：

a=2022.2865，b=0.0211，r=0.9664

根據(jù)所求得的相關(guān)系數(shù)r值，可看出a和b成線性關(guān)系，將a和b的值代入式(1)，得擬合直線為：

k=a+bq=2022.2865+0.0211q

分別計算每個流量點下的ki：

ki=a+bQi

其中，ki為將實際檢測流量值Qi代入擬合直線公式中得到的擬合儀表系數(shù)，為計算過程中間量。

計算擬合曲線的標(biāo)準偏差eK：

其中，i=1，2，……n，n為實際檢測次數(shù)。

中間計算數(shù)據(jù)一覽表見表2。

表2 直線擬合的標(biāo)準偏差及中間運算數(shù)據(jù)

標(biāo)準流量計的測量A類標(biāo)準不確定度uh：

2.2 曲線擬合

按照式(5)、(6)、(7)、(8)所列的4種函數(shù)關(guān)系式分別進行流量q和儀表系數(shù)k的曲線擬合。這里使用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編程求出a～g各個系數(shù)的值，分別代入式(5)、(6)、(7)、(8)得到各函數(shù)關(guān)系式分別表示如下：

k=a+bq+cq2=2023.5251073+0.01315295q+

0.00000773q2

2020.599975+0.02306549q

k=a/q2+b/q+c+dq+eq2=

-88208.41949294/q2+2547.93984259/q+

2005.21202409+0.05244346q-

0.00001653q2

k=a/q3+b/q2+c/q+d+eq+fq2+gq3=

131270373.972628/q3-5042607.141/q2+

62933.34847/q+1702.05387+

0.74070827q-0.00071686q2+

0.00000026q3

按2.1的步驟計算出每個流量點下的ki和曲線的標(biāo)準偏差eK，并計算出標(biāo)準流量計的測量A類標(biāo)準不確定度uh，數(shù)據(jù)一覽表見表3。

表3 曲線擬合的標(biāo)準偏差和中間運算數(shù)據(jù)

續(xù)表

流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線圖和擬合曲線圖分別見圖1和圖2。

圖1 流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線和擬合曲線對比圖(1)

圖2 流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線和擬合曲線對比圖(2)

3 結(jié)束語

按照最小二乘法對流量-儀表系數(shù)進行曲線擬合可以有多種函數(shù)表達方法，從以上的計算數(shù)據(jù)和流量-儀表系數(shù)曲線圖可以看出，直線擬合使用起來最簡單，計算過程容易實現(xiàn)，但擬合曲線的不確定度較大；而曲線擬合根據(jù)所使用數(shù)學(xué)模型的次數(shù)不同有多種不同的函數(shù)表達式。本文中列舉的數(shù)據(jù)計算結(jié)果雖然隨著次數(shù)增加，擬合曲線與實際測量值的曲線越接近，擬合效果越好，擬合曲線的不確定度越小，但隨著次數(shù)越高公式越復(fù)雜，計算過程難度越高，人工計算參數(shù)有一定難度，需通過計算機軟件輔助實現(xiàn)其計算過程，而且次數(shù)越高，擬合曲線也可能會有實際并不存在的凹陷和突起，其實際應(yīng)用效果不一定很好。因此，目前通常使用較多的是不超過3次的曲線擬合，如直線擬合和對稱低次曲線擬合方法。實際工作中可以根據(jù)情況需要和檢測數(shù)據(jù)選取合適的曲線擬合函數(shù)來進行不確定度的計算。

參考文獻

[1] JJG 643—2003標(biāo)準表法流量標(biāo)準裝置檢定規(guī)程.中國計量出版社，2003

[2] 段慧明，史振東.標(biāo)準流量計的計量性能評定.計量技術(shù)，2008(9)

[3] 劉慶，邵志新.回歸分析的直線擬合不確定度探討.中國測試，2009(5)

[4] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊).第6版.高等教育出版社，2007

[5] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析.第5版.清華大學(xué)出版社，2008