黃志洵

(中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024)

1 引言

自1987年J.Durnin等[1]提出Bessel波束這種獨特的波動形式以來，研究者日漸增多。由于它已用在從聲波到光波的寬廣頻域，其意義已不限于電磁波。Bessel波束在一定情況下會呈現(xiàn)出超光速性(superluminality)，這就引起了人們更大的興趣。本文是對研究狀況的簡要評述。值得注意的是，中國科學家發(fā)表了相關領域的多篇論文[2～4]，非?？上?，證明了國內(nèi)專家學者在關注科學問題方面的廣泛性。

Bessel波束技術(shù)是由理論預言到實驗成功的范例之一，它豐富了波科學和超光速物理的內(nèi)容。而它的基礎在于數(shù)學物理方法中的圓柱函數(shù)理論。

2 波科學研究中的圓柱函數(shù)[5，6]

18世紀時開始了“科學的數(shù)學化”進程。1750年以后L.Euler開始用級數(shù)方法求解某些微分方程。1759年他研究了矩形鼓膜和圓形鼓膜的振動，分別得到以下的偏微分方程：

其中(x，y)和(r，φ)是矩形膜和圓形膜上任一點的坐標，z是垂直位移，c是由膜決定的常數(shù)。Euler取下述函數(shù)試解圓形膜方程：

z=u(r)Sin(ωt+α)Sin(mφ+β)

故u(r)滿足

(1)

式中k0=ω/c；這在后來被稱為Bessel方程，其標準形式為：

(2)

式中m是方程的階；可見Euler導出的方程與Bessel方程標準形式只有微小的區(qū)別。1818年F.W.Bessel找到方程的一個特解Jm(x)，稱為m階第一類Bessel函數(shù)。它是一個無窮級數(shù)，當x較小時可寫成正冪級數(shù)形式：

(3)

式中n！=1·2·3·4……n；Jm(x)有無限多個零點，其值的變化有周期性；例如取m=0，1；即得

(4)

(5)

圖1是m=0，1，2，3時的Jm(x)函數(shù)曲線，注意只有J0(x)是在x=0時函數(shù)值不為零。

圖1 Bessel函數(shù)圖像

當x較大(例如x≥13時)，可用漸近公式計算Jm(x)：

(6)

式中

(7)

(8)

由于方程(2)的通解為

y=aJm(x)+bNm(x)

(9)

因此還應了解m階第二類Bessel函數(shù)N(x)，它簡稱Neumann函數(shù)。當m為整數(shù)時有

(10)

這時有一個稱為Weber解的級數(shù)展開式：

(11)

故把m的值(例如：0、1……)代入即可計算函數(shù)值。Nm(x)也是振蕩型的實函數(shù)；但當x=0時Jm(x)為有限值或零，而Nm(x)為無限大。在電磁理論問題中，必須考慮到不同柱函數(shù)的不同特點。

和Jm(x)一樣，在x較大時可用漸近公式：

(12)

以上就是1867年C.G.Neumann發(fā)展Bessel函數(shù)的基本內(nèi)容。

1869年H.Hankel討論了Jm(x)與Nm(x)的線性組合，結(jié)果產(chǎn)生了Hankel函數(shù)：

(13)

(14)

當x較大時，也有所謂漸近公式成立：

(15)

(16)

現(xiàn)在來看修正Bessel方程(modified Bessel equation)，這是以jx代替x之后由(2)式得出的：

(17)

它也叫虛宗量Bessel方程(Bessel equation of imaginary argument)，通解為

y=aIm(x)+bKm(x)

(18)

Im(x)是m階第一類修正Bessel函數(shù)，Km(x)是m階第二類修正Bessel函數(shù)。后者也叫Beset函數(shù)；當x為實數(shù)，Km(x)是實函數(shù)。現(xiàn)在Im(x)、Km(x)均非振蕩型，不存在實的零點。Km(x)的特點是，當x增大時函數(shù)值逐漸減小。從應用上看，Km(x)是很重要的；例如1893年J.J.Thomson對金屬壁圓波導的分析(波導出現(xiàn)于1936年，但Thomson很早就做過數(shù)學分析)，是假設一個電介質(zhì)圓柱體嵌埋在無限大的導電媒質(zhì)之中(該電介質(zhì)實際上可能是空氣)；這時他假定在介質(zhì)內(nèi)場按Bessel函數(shù)變化，在導電媒質(zhì)內(nèi)場按第二類修正Bessel函數(shù)(即Km)變化；筆者在專著《截止波導理論導論》[7]曾詳細介紹了Thomson的很有特色的數(shù)學分析過程。

Beset函數(shù)的定義為：

(19)

其冪級數(shù)展開式與Nm(x)有些相似：

(20)

而在|x|較大時Km(x)的漸近展開式為

(21)

若|x|>5～6，可簡化為

(22)

對于圓介質(zhì)波導和光纖，上述式子均可用來描寫場分布(只要把x改為徑向坐標r)，即無限遠處場為零。又如分析金屬壁圓波導的早期工作(J.J.Thomson)，也成功地運用了(22)式的表達方式?！硗猓琄m與Bessel函數(shù)有以下關系：

(23)

由此可證：

(24)

總之，函數(shù)Km(x)隨x增大而逐漸減小的特性，在電磁理論與波科學中具有獨特的應用價值。實際上它與函數(shù)e-αx有類似之處，因此消失態(tài)(evanescent states)的某些特征也能在這里找到。這也是本文后面所述的“Bessel波束超光速現(xiàn)象”的一種數(shù)學物理解釋。

3 Bessel波束的特性

光在傳播過程中因波前受物體影響而偏離直線的現(xiàn)象稱為光的衍射，具體分為近場衍射和遠場衍射。1987年美國Rochester大學的物理學家J.Durnin等[1]發(fā)表題為“無衍射波束”(diffraction-free beams)的論文，從理論上預言了一種新的波動形式。眾所周知電磁理論中的標量Helmholtz方程為

(25)

其中h2=2+k2=2+ω2εμ，=α+jβ；而波函數(shù)ψ=ψ(x，y)或ψ(r，φ)；h稱為本征值或特征值。Durnin指出，正是這個方程存在無衍射模波解(a class of diffraction-free mode solutions)；首先，各個平面波都是這種解，但并不限于此。Durnin提出以下波解[1]：

ψ(x，y，z)=J0(αρ)ejβz

(26)

圖2 Bessel波束與Gauss波束比較

這就是對Bessel波的研究的開始。Durnin等還做了實驗，J0波束其形成是用一個CW激光器，配合使用一個環(huán)狀縫隙和一個準直化透鏡，見圖3。圖中d=2.5mm，△d=10μm，R=3.5mm，f=305mm。總之，早期研究強調(diào)這種波束在大距離上保持其尖銳的成峰徑向外廓的特性。

圖3 在光頻實現(xiàn)Bessel波束的方法

在1987年-1997年期間，Bessel波束在光學、聲學方面有所應用；后來又被稱為X波(X waves)或Bessel-X脈沖(Bessel-X pulse)。1997年P.Saari等[8]在光頻對X波進行實驗測量，獲得了場的整個3D分布，并把實驗結(jié)果圖形與計算機模擬進行比較。在論文中Bessel波束可表為

EB(ρ，z，t，k)∝J0(ρSinθ)ejk0z cosθe-jωt

(27)

式中z是傳播方向，ρ是從z軸起算的橫向距離，θ是圓錐角。對于X型場，考慮不同頻率時的頻譜表達式為

(28)

這就是Bessel-X型脈沖；上式可用電腦計算(ρ，z)平面上的場分布，呈X形狀，即X shaped profile。

總之，早期關注Bessel波束振幅與z無關，傳播中形狀不變，這是不平常的特性。2005年D.Mugnai等[9]討論了Bessel波束的能量局域化和能速(energy localization and velocity of a Bessel beam)問題。他指出，研究的困難首先在于找出能描述整個系統(tǒng)的矢量場，因為過去對Bessel波束都是用標量場作近似表達。選取球坐標系(ρ，θ，φ)，則Bessel波束是包含一組平面波的組合，它們以同一角度θ0(θ0<π/2)按照下述方向傳播：

a=Sinθ0cosφ，b=Sinθ0Sinφ，c=cosθ0

(29)

對于在真空或空氣中的傳播，在點(x，y，z)的每個波可寫作：

E(x，y，z)=E0dφ·ejk0(ax+by+cz)e-jωt

(30)

其中E0是子波振幅；然而對圓柱坐標系(ρ，ψ，z)而言有：

x=ρcosψ，y=ρSinψ，z=z

因而積分后可得總場

(31)

上式是標量場；那么如何在矢量場基礎上進行分析？Mugnai等進行了探索。所用方法是另行設計一個理論上進行模擬的體系，它可產(chǎn)生一種類似矢量場表示的情形，進而可計算場強、能流和能速。但這套方法不是直接的對Maxwell方程組求解分析。

4 Bessel波束超光速現(xiàn)象

(32)

而cosθ0<1；這是與z軸垂直的波前速度(vp>c)。在無色散時Bessel脈沖的群速也是這個速度，即

(33)

這些是Bessel波束速度討論的基本出發(fā)點。Mugnai[10]論證說，信號速度(vs)也是這個值，故vs>c，信號傳播超光速。這個觀點引起很大爭議。一種看法是，Mugnai報告的超光速現(xiàn)象是由于在對稱軸上球面波前干涉所致，實際上僅僅脈沖峰作超光速傳送(only the peaks of pulses travel at superluminal speed)。T.Sauter[11]的意見如下：“無可爭辯，Bessel波束表面上造成局域化波包以超光速沿對稱軸運動。但這個運動不能與一個粒子或一個慣常的波相比擬。實際上，波包是多個以光速傳播的波互相干涉所致。這些特別的波可否用于超光速信號傳遞？這行不通。即使信息接收器安裝在軸上，發(fā)送器卻不是，實際上離開了軸，故不能沿軸發(fā)送信號。故Bessel波束不適用于超光速信號傳送”。他的意見可供參考。

對于“Bessel-X波超光速性”(superluminality of Bessel-X waves)，我們了解到的主要實驗是2000年D.Mugnai[12]在微波進行的實驗，目的是觀測Bessel波束的超光速現(xiàn)象。實驗波長λ?3.5cm，實驗裝置見圖4，顯然是對Durnin[1]的模仿；圓形縫隙平均直徑7cm(或10cm)，而球狀mirror的直徑2R=50cm，聚焦長度f=12cm。圓錐角取為16°或23°，對波速帶來增量4%或8%。這些情況與光頻實驗頗為不同，例如后者θ<1°。

圖4 微波Bessel波束超光速實驗

Mugnai等以實驗演示了超光速波傳播，這類波優(yōu)于消失模隧穿，因后者常常只在幾厘米距離上表現(xiàn)出來(消失模特性決定了距離很短)，現(xiàn)在的演示可達1m以上。圖5是測量微波傳播速度的發(fā)送與接收天線系統(tǒng)，D是圓形輻射縫隙的平均直徑，實驗時取D=7cm以及10cm。信號形式為微波脈沖，載頻f=8.6GHz(波長λ約3.5cm)，調(diào)制為矩形脈沖(升降時間均在納秒級)。用Tektronix公司的雙路數(shù)字示波器TDS680B檢測時延，實驗方法為，改變發(fā)送天線與接收天線的間距(L=0.3m～1.3m)，作時延測量。圖5中包含時延τ與距離L的關系，實際測量值用黑色圓點表示，它們聯(lián)成一條直線，其斜率比光速線略小，由此可知實際的波速比光速略大：

(34)

即比光速c大了5.3%；這個v值是平均的電磁波速度。

圖5 輻射縫隙直徑7cm時的實驗結(jié)果

圖6 輻射縫隙直徑10cm時的實驗結(jié)果

圖5和圖6是在選取不同的Slit直徑時測得的結(jié)果。很明顯，在直徑10cm時，超光速現(xiàn)象更為突出：只要L<1m，結(jié)果就都是超光速的。

2006年王智勇、熊彩東[4]的論文雖非實驗研究，但其理論分析和數(shù)值計算結(jié)果令人耳目一新。他們首先說“Bessel波即使不經(jīng)過一個隧穿區(qū)，也有超光速現(xiàn)象”。然后指出：不僅實宗量普通Bessel波如此，修正Bessel波，由虛宗量Bessel函數(shù)描寫，也有群速超光速vg>c的情況發(fā)生，并有以下特點：①當傳播距離加大時群速會增加，這與平面消失波情況類似；②波數(shù)加大時群速減小，這也與平面消失波情況類似；③在波數(shù)小時，波數(shù)加大時群速加大，這與平面消失波情況不同?！仨氈赋?，在虛宗量Bessel波的討論中，當然要用Beset函數(shù)Km(x)，見本文第2節(jié)。

當所描述的波束由r1傳播到r2，計算得到的比值vg/c與 (r2-r1)呈線性正比關系，見圖7；這與Hartman效應[13]的描述是一致的。另一方面，圖8是計算得到的比值vg/c與k的關系，可以看到在波數(shù)小(k<1.2)時的規(guī)律與波數(shù)大時(k>1.2)時的規(guī)律是不同的。在圖7中，虛線表示平面消失波的情況。(注：圖8的計算是在一定的距離之下得到的——取(r2-r1)=10)。我們注意到，計算表明vg/c之值是較大的。

圖7 群速與傳播距離的關系

圖8 群速與波數(shù)的關系

在不久前的討論中，王智勇向筆者說明了他的工作和觀點：假設有兩個半徑一樣大的金屬圓板，平行放置，二者間距為D，且二者圓心的連線與這兩個圓板垂直，即這兩個金屬圓板一起構(gòu)成一個高為D的圓柱的上下底面，但這個圓柱沒有側(cè)面，這兩個圓板的圓心在圓柱的軸線上。假設在這兩個金屬原板之間，在圓柱的軸線處，有一個電磁波的波源，產(chǎn)生的電磁波沿圓柱徑向向外傳播，波前是圓柱面(圓柱波)，這個圓柱波就是Bessel波(圓柱波是行波時，由實宗量的Bessel函數(shù)描述。)如果這兩個圓板之間的距離D足夠小(或者D固定而圓柱波的波長足夠長)，會導致這個圓柱波不再是行波，而是沿徑向呈指數(shù)衰減的波，此時的圓柱波就變成虛宗量的Bessel函數(shù)所描述的波，與光子的量子隧穿相對應。他的描述是生動的和有啟發(fā)性的。

5 結(jié)束語

近年來在科學文獻中常常出現(xiàn)“Bessel波”和“X波”這兩個詞，這是通常的論述電磁場和電磁波的理論書籍中沒有的，比較令人費解。初步的文獻追蹤表明，這一領域在眾多科學家努力下已取得顯著成績，但也留存若干待解決的問題。例如，現(xiàn)在只有Bessel—X波的標量場表達，更深刻的矢量場理論似未建立；對超光速現(xiàn)象的物理本質(zhì)也就不甚清晰。又如，對于王智勇、熊彩東論文[4]，是否可以再前進一步，看看有沒有獲得負群速的可能？因為國內(nèi)外的許多論文，從超光速群速到負群速只是一步之差。這些問題尚待研究。

作者感謝與王智勇副教授的有益討論。

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