逯貴禎，陳濤，鄔麗云，康彤

(1.中國(guó)傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京100024；2.中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024.)

1 引言

有限元方法早期在電磁場(chǎng)應(yīng)用中，由于電磁場(chǎng)在不同媒質(zhì)交界面處切向分量連續(xù)而法向分量間斷的特性，基于節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)不能有效處理非均于介質(zhì)問(wèn)題，并且存在非物理解的問(wèn)題[1-2]，因此早期大量研究是如何克服這些電磁學(xué)中特有的有限元求解問(wèn)題。對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題的研究大致分為兩類，一類是針對(duì)節(jié)點(diǎn)基函數(shù)的問(wèn)題，提出新的基函數(shù)，包括基于棱邊的矢量有限元方法[3]。另一類是改變有限元的泛函表達(dá)式，包括使用不同的空間函數(shù)處理電磁場(chǎng)問(wèn)題[1，4-6]。在離散單元的基函數(shù)研究中，基于棱邊的矢量基函數(shù)被認(rèn)為可以很好地克服上述所提到的問(wèn)題，也是目前計(jì)算電磁學(xué)中有限元的主流方法[2]。但是，基于棱邊單元的有限元方法需要對(duì)棱邊單元進(jìn)行特殊的編號(hào)處理，而目前大部分網(wǎng)格處理軟件不支持對(duì)棱邊網(wǎng)格方法的支持。同時(shí)與相同精度的節(jié)點(diǎn)方法相比，未知量的數(shù)目要大于節(jié)點(diǎn)單元有限元方法[5]。另外，節(jié)點(diǎn)有限元方法具有棱邊有限元方法所不具有的優(yōu)點(diǎn)。首先，節(jié)點(diǎn)有限元方法的高階單元非常容易生成；其次對(duì)于多物理場(chǎng)問(wèn)題，由于物理量都是定義在節(jié)點(diǎn)上，因此節(jié)點(diǎn)有限元方法適合于多物理場(chǎng)的分析。針對(duì)節(jié)點(diǎn)有限元方法在電磁場(chǎng)問(wèn)題中的缺點(diǎn)，文[4]采用了罰函數(shù)方法消除非物理解，在罰函數(shù)方法中，通過(guò)加入無(wú)散度約束，排除了由矢量場(chǎng)散度不為零所帶來(lái)的偽解。文[1]對(duì)矢量場(chǎng)散度不為零帶來(lái)的非物理解問(wèn)題進(jìn)行了分析，認(rèn)為非物理解不是理論上的原因，而是數(shù)值計(jì)算產(chǎn)生的。因此在合適的邊界條件下，亥姆霍茲方程的解不會(huì)混合有散度和無(wú)散度方程的數(shù)值解。從而可以避免非物理解產(chǎn)生。文[5]提出了一種基于節(jié)點(diǎn)有限元，采用矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)函數(shù)計(jì)算電磁場(chǎng)的方法。該方法中矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)函數(shù)均滿足亥姆霍茲類型的方程，根據(jù)規(guī)范條件要求，提出了兩種不同的規(guī)范，其中第一種規(guī)范標(biāo)勢(shì)函數(shù)為零，對(duì)于介質(zhì)邊界，可以通過(guò)加入強(qiáng)制的邊界條件滿足電場(chǎng)法向分量不連續(xù)的要求。第二種規(guī)范中，矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)函數(shù)都是連續(xù)的，它們之間存在耦合關(guān)系，這種耦合性質(zhì)是由于介質(zhì)的非均勻性質(zhì)產(chǎn)生。因此該方法可以有效處理電場(chǎng)在介質(zhì)截面法向分量不連續(xù)的問(wèn)題。

自從有了基于A-φ方法的節(jié)點(diǎn)有限元公式以后，對(duì)實(shí)際三維工程問(wèn)題的應(yīng)用還很少在文獻(xiàn)中見(jiàn)到。對(duì)于工程問(wèn)題，需要考慮A-φ方法中矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)函數(shù)邊界條件的實(shí)現(xiàn)方法。本文分別對(duì)波導(dǎo)端口，散射吸收邊界進(jìn)行了分析，給出了相應(yīng)的邊界條件實(shí)現(xiàn)，并且與基于棱邊的矢量有限元方法進(jìn)行了比較，證明了該方法的正確性。對(duì)于不均勻介質(zhì)，分析了矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)通過(guò)不連續(xù)介質(zhì)界面的變化情況，以及電場(chǎng)通過(guò)不連續(xù)介質(zhì)的變化情況，從而更清楚地了解A-φ方法能夠處理不同媒質(zhì)交界面處場(chǎng)量不連續(xù)的特點(diǎn)。

2 標(biāo)勢(shì)與矢勢(shì)有限元公式

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，電場(chǎng)與磁場(chǎng)可以用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)函數(shù)表示為，

(1)

(2)

把1)式代入電場(chǎng)的麥克斯韋公式，得到，

(3)

▽·▽

(4)

為了唯一規(guī)定矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)函數(shù)，需要加上規(guī)范條件，Boyse[5]給出了兩種規(guī)范條件，第一種規(guī)范條件規(guī)定矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的關(guān)系為：

▽·2μφ

(5)

第一種規(guī)范條件要求矢勢(shì)函數(shù)在不連續(xù)界面有一個(gè)跳變，與通常對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)函數(shù)的要求是一樣的。在第一種規(guī)范條件下，矢勢(shì)方程與標(biāo)勢(shì)方程之間沒(méi)有耦合，同時(shí)矢勢(shì)方程與標(biāo)勢(shì)方程都是準(zhǔn)亥姆霍茲方程，它們可以給出唯一的，穩(wěn)定的無(wú)散度麥克斯韋方程解。但是仍然存在界面不連續(xù)的問(wèn)題。第二種規(guī)范條件由6)式給出：

(6)

第二種規(guī)范條件允許矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，其中包括在不連續(xù)界面，因此適合基于節(jié)點(diǎn)方法的有限元。但是矢勢(shì)方程與標(biāo)勢(shì)方程之間在非均勻介質(zhì)情況下存在耦合，同時(shí)每個(gè)節(jié)點(diǎn)需要4個(gè)自由度。同樣地，它們可以給出唯一的，穩(wěn)定的無(wú)散度麥克斯韋方程解?？紤]在第二種規(guī)范條件的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)函數(shù)滿足的方程為：

(7)

-▽·▽▽=P

(8)

第一類邊界條件，

(9a)

(9b)

φ=0

(9c)

第二類邊界條件，

(10a)

(10b)

(10c)

利用迦略金方法可以得到弱形式的有限元公式

(11)

從以上公式可以看到，當(dāng)存在不均勻介質(zhì)時(shí)，標(biāo)勢(shì)方程和矢勢(shì)方程存在互偶。

3 應(yīng)用舉例

自從Boyse提出高頻A-φ有限元方法以后，1992年給出了關(guān)于非均勻介質(zhì)中有限元計(jì)算結(jié)果[5]。當(dāng)時(shí)主要是針對(duì)二維不均勻介質(zhì)問(wèn)題。1997年Boyse給出了針對(duì)理想導(dǎo)體問(wèn)題提出了阻抗邊界條件[6]。1998年提出了基于節(jié)點(diǎn)的PML有限元方法[7]。然而對(duì)于三維電磁場(chǎng)的高頻問(wèn)題的求解還沒(méi)有在文獻(xiàn)中見(jiàn)到。本文的工作是考慮方法的三維應(yīng)用，特別是針對(duì)常見(jiàn)的工程問(wèn)題的邊界條件設(shè)置進(jìn)行了分析研究。在工程應(yīng)用中，主要是兩類問(wèn)題，一類是開(kāi)域問(wèn)題，邊界條件主要是應(yīng)用散射邊界條件；第二類是封閉區(qū)域問(wèn)題，波導(dǎo)中電波傳播是一種典型的問(wèn)題，其邊界條件主要考慮端口邊界條件。下面我們針對(duì)這兩類問(wèn)題，研究基于節(jié)點(diǎn)的有限元方法邊界條件的設(shè)置問(wèn)題，給出相應(yīng)典型問(wèn)題的應(yīng)用。

3.1 矩形波導(dǎo)

矩形波導(dǎo)是很重要的微波器件，利用有限元A-φ方法求解波導(dǎo)傳輸問(wèn)題，端口邊界條件的設(shè)置是非常重要的。利用有限元方法求解研究矩形波導(dǎo)電波傳播問(wèn)題，端口的邊界條件由12)式?jīng)Q定，

(12)

為了討論節(jié)點(diǎn)有限元處理非均勻介質(zhì)中場(chǎng)量不連續(xù)問(wèn)題的能力，研究一個(gè)波導(dǎo)中有介質(zhì)片的基本問(wèn)題?？紤]如圖1所示矩形波導(dǎo)的電波傳播問(wèn)題，矩形波導(dǎo)中有一個(gè)介質(zhì)片，相對(duì)介電常數(shù)等于10.對(duì)于該波導(dǎo)，由于存在介質(zhì)片的不均勻性，傳統(tǒng)的基于節(jié)點(diǎn)方法的有限元公式會(huì)出現(xiàn)偽解的問(wèn)題。但是采用A-φ方法，可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。圖2給出了電場(chǎng)Ez分量的場(chǎng)分布計(jì)算結(jié)果，圖2a)是采用棱邊方法計(jì)算的結(jié)果，圖2b)是采用節(jié)點(diǎn)有限元計(jì)算的結(jié)果，可以看到兩個(gè)計(jì)算結(jié)果是一致的。

圖1 理想導(dǎo)體矩形波導(dǎo)尺寸：a=1.9 cm，b=0.95 cm，l=3 cm；波導(dǎo)中心有一個(gè)介質(zhì)片，長(zhǎng)1cm，高0.75 cm，厚0.05cm，相對(duì)介電常數(shù)10

(a)理想導(dǎo)體矩形波導(dǎo)中電場(chǎng)空間分布，工作頻率15GHz，采用基于棱邊單元的有限元方法

(b)理想導(dǎo)體矩形波導(dǎo)中電場(chǎng)空間分布，工作頻率15GHz，采用基于節(jié)點(diǎn)單元的A-φ方法圖2

為了研究介質(zhì)不連續(xù)對(duì)場(chǎng)分布的影響，考慮介質(zhì)片位置如圖3所示。在圖3中所畫(huà)線段是計(jì)算中研究場(chǎng)分布的路徑，由于路徑穿過(guò)不連續(xù)介質(zhì)，電場(chǎng)的垂直分量會(huì)發(fā)生不連續(xù)的變化。在傳統(tǒng)節(jié)點(diǎn)有限元中，由于電場(chǎng)在節(jié)點(diǎn)是連續(xù)的，因此不能處理這類不連續(xù)問(wèn)題。然而，對(duì)于A-φ方法，矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)φ在節(jié)點(diǎn)都是連續(xù)函數(shù)，不連續(xù)性由φ的梯度產(chǎn)生，因此A+▽?duì)战M合在一起，可以處理這類不連續(xù)問(wèn)題。

圖3 理想導(dǎo)體與介質(zhì)片參數(shù)同圖1，介質(zhì)片平行放置，研究電場(chǎng)穿過(guò)介質(zhì)片的變化分布

從圖4的曲線可以看出，通過(guò)不均勻介質(zhì)界面時(shí)，矢勢(shì)是連續(xù)函數(shù)。由于矢勢(shì)是連續(xù)函數(shù)，因此采用基于節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)就不會(huì)出現(xiàn)傳統(tǒng)采用電場(chǎng)函數(shù)所帶來(lái)的問(wèn)題。然而，盡管矢勢(shì)是連續(xù)函數(shù)，由它和標(biāo)勢(shì)函數(shù)的梯度疊加形成的電場(chǎng)函數(shù)滿足原來(lái)的電磁場(chǎng)邊界條件。

3.2 導(dǎo)體球散射

導(dǎo)體球散射是屬于開(kāi)域問(wèn)題，散射邊界對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大。在A-φ方法中，矢勢(shì)滿足的輻射邊界條件為與電場(chǎng)滿足的邊界條件相同，標(biāo)勢(shì)在輻射邊界規(guī)定為零。導(dǎo)體邊界同樣用阻抗邊界條件進(jìn)行了處理。對(duì)于矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，相應(yīng)的輻射邊界條件為：

(a)電場(chǎng)z分量通過(guò)不連續(xù)介質(zhì)的分布曲線，工作頻率15GHz

(b)矢勢(shì)z分量通過(guò)不連續(xù)介質(zhì)的分布曲線，工作頻率15GHz

(c)標(biāo)勢(shì)梯度z分量通過(guò)不連續(xù)介質(zhì)的分布曲線，工作頻率15GHz圖4

( 13a)

φ=0

(13b)

圖5 導(dǎo)體球散射問(wèn)題，考慮散射問(wèn)題的對(duì)稱性，計(jì)算四分之一結(jié)構(gòu)，球半徑0.01米，邊界邊長(zhǎng)0.1米

圖6給出了導(dǎo)體球的歸一化散射截面隨頻率變化曲線和解析解的比較，計(jì)算結(jié)果和解析解吻合很好。

圖6 歸一化雷達(dá)散射界面隨頻率變化曲線

4 結(jié)論

論文基于A-φ節(jié)點(diǎn)有限元方法研究了波導(dǎo)中電波傳輸問(wèn)題和理想導(dǎo)體球的散射問(wèn)題。在A-φ方法中，選擇合適的洛倫茨規(guī)范可以得到適合采用基于節(jié)點(diǎn)基函數(shù)的有限元公式。該公式可以避免采用電磁場(chǎng)作為求解函數(shù)所帶來(lái)的偽解和不均勻介質(zhì)出現(xiàn)的不連續(xù)問(wèn)題。計(jì)算結(jié)果表明通過(guò)施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，基于節(jié)點(diǎn)的有限元方法可以得到與棱邊單元相同的計(jì)算結(jié)果。同時(shí)，對(duì)于非連續(xù)介質(zhì)情況，盡管矢勢(shì)通過(guò)不連續(xù)界面是連續(xù)的，但是電場(chǎng)的法向不連續(xù)性和棱邊方法電場(chǎng)的法向不連續(xù)結(jié)果是一致的。對(duì)于散射問(wèn)題，考慮的對(duì)稱性，理想導(dǎo)體邊界條件，計(jì)算區(qū)域存在90度兩面直角，對(duì)于這類導(dǎo)體問(wèn)題，節(jié)點(diǎn)方法在夾角附近存在雜散場(chǎng)解問(wèn)題，通過(guò)采用阻抗邊界條件可以有效克服這些問(wèn)題。理想球體散射A-φ節(jié)點(diǎn)有限元方法的數(shù)值結(jié)果與解析結(jié)果進(jìn)行比較，可以看到兩結(jié)果符合很好。

參考文獻(xiàn)：

[1]D R Lynch，K D Paulsen.Origin of vector parasites in numerical Maxwellsolutions [J].IEEE Trans，Microwave Theory Tech，1991，39(3)：383-394.

[2]Jianmin Jin.The finite element method in electromagnetics [M].John Wiley & Sons Inc，2002.

[3]J C Nedelec.Mixed finite elements in R3 [J].Numer Math，1980，35：315-341.

[4]B M A Rahman，J B Davies.Penalty function improvement ofwaveguide solution by finite elements [J].IEEE Trans，Microwave Theory and Tech，1984，32(8)：922-928.

[5]William E Boyse，R Lynch，Keith D Paulsen，Gerald N Minerbo.Nodal-BasedFinite-Element Modeling ofMaxwell’s Equations [J].IEEE Trans，Antennas Propagat，1992，40(6)：642-651.

[6]William E Boyse，Keith D Paulsen.Accurate Solutions of Maxwell’s Equations Around PEC Corners and Highly Curved Surfaces Using Nodal Finite Elements[J].IEEE Trans，Antennas Propagat，1997，45(12)：1758-1767.

[7]Jingwu Tang，Keith D Paulsen，Shah A Haider.Perfectly Matched Layer Mesh Terminationsfor Nodal-Based Finite-Element Methods in Electromagnetic Scattering [J].IEEE Trans，Antennas Propagat，1998，45(12)：507-516.