劉權(quán)引

勾股定理揭示直角三角形的三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，可以幫助我們解決許多與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，下面就如何運(yùn)用勾股定理解決面積問(wèn)題舉例說(shuō)明，供同學(xué)們參考。

一、直接運(yùn)用

例1 如圖1，BC=4 cm，AB=3 cm，AF=12 cm，求正方形CDEF的面積。

分析 利用勾股定理求出CF 2，即是正方形CDEF的面積。

解 在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AC2=AB2+BC2=42+32=52。

同理在Rt△ACF中，CF 2=AF 2+AC 2=122+52=169，所以S正方形CDEF的面積=CF 2=169（cm2）。

例2 如圖2所示，圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，大正方形的邊長(zhǎng)為9 cm，則四個(gè)正方形A、B、C、D的面積的和是________cm2。

分析 根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，可發(fā)現(xiàn)四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積。

解 由圖形可知，四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A、B、C、D的面積之和等于81 cm2。

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)勾股定理的幾何意義，一個(gè)數(shù)的平方的幾何意義就是以該數(shù)為邊的正方形的面積。解題時(shí)要熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)換。

二、通過(guò)構(gòu)造直角三角形應(yīng)用

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。

分析 考慮∠A=60°，∠B=∠D=90°，可補(bǔ)形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其他知識(shí)來(lái)解決。

解 延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，則△ABE和△CDE均為直角三角形。

因?yàn)椤螦=60°，所以∠E=30°。

又AB=2，CD=1，

所以AE=2AB=4，CE=2CD=2。

由勾股定理得，DE==，

BE==2。

所以S四邊形ABCD =S△ABE -S△CDE=×2×2-×1×=。

例4 若a、b為正數(shù)，且，，是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積。

分析 通過(guò)觀察，該三角形不是一個(gè)特殊三角形，不宜直接求解。由根號(hào)內(nèi)的代數(shù)式是兩數(shù)的平方和，聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而想到構(gòu)造長(zhǎng)和寬分別為2a、2b的矩形，再由面積的割補(bǔ)來(lái)求解。

解 如圖4，作矩形ABCD，使E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)。設(shè)AB=2a，BC=2b，

由勾股定理知，EF==，

CF==，

CE==，

從而可知，S△EFC就是題目所要求的三角形面積，即

S△EFC=S矩形ABCD -（S△AEF+S△BEC+S△DFC）

=4ab-（ab+a·2b+b·2a）=ab。

點(diǎn)評(píng) 在解題時(shí)，當(dāng)圖中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)應(yīng)用勾股定理。

三、結(jié)合完全平方公式應(yīng)用

例5 直角三角形的斜邊長(zhǎng)為1.5 cm，周長(zhǎng)為3.6 cm，求這個(gè)直角三角形的面積。

分析 兩直角邊長(zhǎng)之和為3.6-1.5=2.1，設(shè)一條直角邊長(zhǎng)x，則另一條直角邊長(zhǎng)為2.1-x，由勾股定理得：x2+（2.1-x）2=1.52，將會(huì)用到一元二次方程，同學(xué)們沒(méi)學(xué)過(guò)一元二次方程，可考慮用關(guān)系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形。

解 因?yàn)椋╝+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，所以S三角形=[（a+b）2-c2]=（2.12-1.52）=0.54。所以這個(gè)直角三角形的面積是0.54 cm2。

點(diǎn)評(píng) 利用關(guān)系式（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+4S三角形，這說(shuō)明兩直角邊的和、斜邊的長(zhǎng)和三角形的面積之間存在聯(lián)系。同樣，在上述3個(gè)量中已知兩個(gè)量可以求出第三個(gè)量。