王亮聲

一、分類討論思想

例1 已知直角三角形的兩邊的邊長(zhǎng)分別為3和5，求該三角形的第三邊的邊長(zhǎng)。

分析 已知直角三角形的兩邊，未指明是直角邊還是斜邊，因此邊5可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要進(jìn)行分類討論求解。

解 根據(jù)三角形的邊角大小關(guān)系可知，3一定是直角邊，而5可能是直角邊，也可能是斜邊，故可分類求解。

（1）當(dāng)邊5為直角邊時(shí)，三角形的第三邊為斜邊，長(zhǎng)度為==。

（2）當(dāng)邊5為斜邊時(shí)，三角形的第三邊為直角邊，長(zhǎng)度為===4。

所以這個(gè)三角形的第三邊的邊長(zhǎng)為或4。

點(diǎn)評(píng) 直角三角形的第三邊分為兩類：直角邊和斜邊。當(dāng)已知兩邊求第三邊時(shí)，要分析其邊是直角邊還是斜邊，若題目未指明，則要進(jìn)行分類討論求解。

二、方程思想

例2 如圖1所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的長(zhǎng)。

分析 折疊就是軸對(duì)稱，因?yàn)椤鰽DE與△AFE關(guān)于AE對(duì)稱，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得BF=6 cm，所求EF在

Rt△ECF和在Rt△AEF中，但都只知道一邊，不能求解。而在Rt△ECF中，F(xiàn)C=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。

解 因?yàn)椤鰽DE與△AFE關(guān)于AE對(duì)稱，所以AD=AF，DE=EF。

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，

所以BF===6 cm。

所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。

設(shè)EC=x cm，則EF=DE=（8-x）cm。

在Rt△ECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。

則EF的長(zhǎng)為5 cm。

點(diǎn)評(píng) 勾股定理只能用于已知直角三角形的兩邊求第三邊。當(dāng)在直角三角形中，只知一邊，又知另兩邊的相應(yīng)關(guān)系時(shí)，可用勾股定理建立方程（組），通過解方程（組），即可求得該三角形的邊長(zhǎng)。

三、化歸思想

例3 如圖2，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的長(zhǎng)。

分析 題中的三角形未確定是直角三角形，不能用勾股定理，由條件∠B=60°，想到構(gòu)造含30°角的直角三角形，為此作AD⊥BC于D（如圖3所示），則有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。

解 作AD⊥BC于D，因?yàn)椤螧=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。

根據(jù)勾股定理，在Rt△ABD中，AD===15。

根據(jù)勾股定理，在Rt△ACD中，CD===65。

所以BC=BD+DC=65+15=80。

點(diǎn)評(píng) 利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用。當(dāng)題目中沒有垂直條件時(shí)，經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理。

四、轉(zhuǎn)化思想

例4 如圖4所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長(zhǎng)。

分析 已知BE、CF，要求EF，但這3條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征以及三角形中線的特殊性質(zhì)，不妨先連接AD。

解 連接AD。

因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC。又因?yàn)锳D為△ABC的中線，

所以AD=DC=DB，AD⊥BC，且∠BAD=∠C=45°。

因?yàn)椤螮DA+∠ADF=90°。又因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°。

所以∠EDA=∠CDF。所以△AED≌△CFD（ASA）。

所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，

EF2=AE2+AF 2=52+122=132，所以EF=13。

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)。通過對(duì)本題的解答，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。