鄒德文

數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象，并概括為數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法。它的靈魂是數(shù)學(xué)的運(yùn)用。在高中階段培養(yǎng)學(xué)生的建模能力能提高學(xué)生將數(shù)學(xué)理論知識(shí)結(jié)合實(shí)際生活的能力。常見(jiàn)的題目主要以函數(shù)應(yīng)用題為載體，考查學(xué)生的建模能力。常見(jiàn)的類型主要有：一次函數(shù)y=ax+b（a≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），函數(shù)y=ax+■（a≠0），等等。

一、一次函數(shù)模型

例1：甲乙兩車同時(shí)沿著某條公路從A地駛往300 km外的B地，甲車先以75 km/h的速度行駛，在到達(dá)AB中點(diǎn)C處停留2 h后，再以100 km/h的速度駛往B地，乙車始終以速度v行駛。

（1）請(qǐng)將甲車離A地路程x（km）表示離開(kāi)A地時(shí)間t（h）的函數(shù)，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖象；

（2）若兩車在途中恰好相遇兩次（不包括A、B兩地），試確定乙車行駛速度v的取值范圍。

解：（1）75t，0≤t≤2；150，2

其圖象如圖折線OPQR：

■

（2）由已知：乙車離A地的路程X（km）表示為離開(kāi)A地的時(shí)間t（h）的函數(shù)為X=vt（0≤t≤■），其圖象是一條線段。

由上圖知，當(dāng)此線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，150）時(shí)，v=■（km/h）；當(dāng)此線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5.5，300）時(shí)，v=■（km/h）。即當(dāng)■

點(diǎn)評(píng)：由已知條件建立一次函數(shù)模型，再由圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，使問(wèn)題更加直觀。

二、二次函數(shù)模型

例2：某旅行社有100張普通床位，若每床日收費(fèi)10元時(shí)，床位可以全部租出；若每床日收費(fèi)提高2元，便減少10張床位租出；若再提高2元，便再減少10張床位租出，依此情況變化下去，為了投資少而獲租金最多，應(yīng)每床日收費(fèi)提高多少元？

解：設(shè)每床日提高收費(fèi)2x（x∈N+）元，則可租出（100-10x）張床位，設(shè)可獲利潤(rùn)為y元，由題意知：y=（10+2x）（100-10x），

所以y=-20（x-■）2+1125

由x∈N+，當(dāng)x=2或x=3時(shí)，ymax=1120（元）

當(dāng)x=2時(shí)，需出租床位80張；當(dāng)x=3時(shí)，需出租床位70張。即x=3時(shí)的投資小于x=2時(shí)的投資。

點(diǎn)評(píng)：由已知將此題抽象為二次函數(shù)模型。此類通常會(huì)遇到二次函數(shù)求最值問(wèn)題，常用的方法是配方，但是一定要注意變量x的取值范圍。

三、函數(shù)y=ax+■（a≠0）型

例3：某公司一年需要一種計(jì)算機(jī)元件8000個(gè)，每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī)。該元件每年分n次進(jìn)貨，每次購(gòu)買元件的數(shù)量均為x，購(gòu)一次貨需手續(xù)費(fèi)500元。已購(gòu)進(jìn)而未使用的元件要付庫(kù)存費(fèi)，可以認(rèn)為平均庫(kù)存量為■x件，每個(gè)元件的庫(kù)存費(fèi)是一年2元，請(qǐng)核算一下，每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最??？

解：設(shè)購(gòu)進(jìn)8000個(gè)元件的總費(fèi)用是F，一年總庫(kù)存費(fèi)為E，手續(xù)費(fèi)為H，其他費(fèi)用為C（C為常數(shù)），

則E=2×■x，H=500×■，x=■，

F=E+H+C=2×■x+500×■+C

=500（■+n）+C≥4000+C

當(dāng)且僅當(dāng)■=n，即n=4時(shí)，總費(fèi)用最少，故以每年進(jìn)貨4次為宜。

點(diǎn)評(píng)：由已知建立函數(shù)模型y=ax+■（a≠0），再由基本不等式求解，應(yīng)當(dāng)特別注意不等式中等號(hào)成立的條件。

四、以概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景的題目

例4：已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒(méi)患病。下面是兩種化驗(yàn)方法：

方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)。

（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；

（2）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望。

解：（1）對(duì)于甲：

■

對(duì)于乙：

■

0.2×0.4+0.2×0.8+0.2×1+0.2×1=0.64

（2）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，ξ的期望為Eξ=2

×0.4+3×0.4+4×0.2=2.8

點(diǎn)評(píng)：利用實(shí)際問(wèn)題做背景，要求學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出問(wèn)題所體現(xiàn)出來(lái)的概率統(tǒng)計(jì)意義。

五、構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型證明不等式

例5：證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（■+1）>■-■都成立。

解：令函數(shù)h（x）=x3-x2+ln（x+1），x∈（0，+∞），

則h'（x）=3x2-2x+■=■

∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）>0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）>h（0）=0，即x3-x2+ln（x+1）>0恒成立。

故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有l(wèi)n（x+1）>x2-x3。

對(duì)任意正整數(shù)n，取x=■∈（0，+∞），則有l(wèi)n（■+1）>■-■。

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，是近幾年來(lái)高考問(wèn)題的一個(gè)熱點(diǎn)，根據(jù)題目特點(diǎn)，選擇合適的函數(shù)模型，會(huì)更有利于解決問(wèn)題。