陳浮

[摘 要] 復(fù)習(xí)是知識的再學(xué)習(xí)，它是學(xué)生鞏固所學(xué)知識、構(gòu)建科學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)、提高問題解決能力的重要手段。通過認(rèn)真研究和反復(fù)實踐構(gòu)建出復(fù)習(xí)課的新模式，即知識結(jié)構(gòu)-知識要點-方法意識-樣例分析-檢測評鑒-總結(jié)反思。在實施過程中節(jié)約了學(xué)習(xí)時間成本，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和熱情，培養(yǎng)了學(xué)生的思考力和解題能力，從而提高了課堂教學(xué)效率。

[關(guān)鍵詞] 復(fù)習(xí)課模式；建構(gòu)；反思

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1005-4634（2013）05-0113-04

1 問題提出

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學(xué)、計算機(jī)乃至想象之中的模式”。數(shù)學(xué)是通過建構(gòu)相對獨立的量化模式并以此為直接對象從事客觀世界量性規(guī)律研究的，而且現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對象也已經(jīng)從具有明顯直觀意義的量化模式擴(kuò)展到了可能的量化模式[1]。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)具有模式化。數(shù)學(xué)教學(xué)模式是在一定教學(xué)思想指導(dǎo)下，圍繞教學(xué)活動中的某一主題所形成的相對穩(wěn)定的、系統(tǒng)化和理論化的教學(xué)范型[2]。它既體現(xiàn)一定的理論背景，同時也反映可操作性，是理論與實踐結(jié)合的產(chǎn)物[3]。目前，數(shù)學(xué)教學(xué)模式異彩紛呈。涂榮豹、楊騫、王光明通過系統(tǒng)地研究，總結(jié)出20多種數(shù)學(xué)教學(xué)模式[4]。

如何構(gòu)建有效的復(fù)習(xí)課新模式呢？張奠宙、趙小平先生指出，現(xiàn)在的公開課中難見好的復(fù)習(xí)課，大多是大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓(xùn)練課，目的是熟練，讓學(xué)生做到“一看就會，一做就對”。然而復(fù)習(xí)課的首要目的是提煉數(shù)學(xué)思想方法，啟示如何熟能生巧，上升到新的境界[5]。張奠宙一針見血地指出了當(dāng)前復(fù)習(xí)課存在的弊端：大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓(xùn)練，“做題、講題、再做題”的題海怪圈，不注重提煉數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識達(dá)不到新的境界。那么怎樣才能既提高解題能力又提高思想認(rèn)識，從而達(dá)到復(fù)習(xí)課應(yīng)有的目標(biāo)呢？

2 模式建構(gòu)

根據(jù)教學(xué)系統(tǒng)設(shè)計論原理，教學(xué)設(shè)計主要是運用系統(tǒng)方法，將學(xué)習(xí)理論與教學(xué)理論的原理轉(zhuǎn)換成對教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)策略、教學(xué)評價等環(huán)節(jié)進(jìn)行具體計劃、創(chuàng)設(shè)教與學(xué)的系統(tǒng)“過程”或“程序”，而創(chuàng)設(shè)教與學(xué)系統(tǒng)的根本目的是促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)[6]。皮連生先生設(shè)計的“六步三階段教學(xué)”模型認(rèn)為，學(xué)習(xí)有自身的獨立過程。教本無獨立過程，它是學(xué)習(xí)的外部條件，為學(xué)服務(wù)。離開了學(xué)，就沒有教[7]。因此，復(fù)習(xí)課模式的建構(gòu)也要體現(xiàn)“以學(xué)為中心”，有利于形成一個相對完善的知識和方法系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，筆者多年深入研究、實踐，不斷修正、實驗，得出復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，見圖1。

1）知識結(jié)構(gòu)——人的脊梁。知識結(jié)構(gòu)是指知識點之間的關(guān)系與聯(lián)系的一種形式。豐富的知識并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件[8]。學(xué)完每章（節(jié)）后，把知識點串起來，形成一個相互關(guān)聯(lián)、層次分明的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，像人體的脊梁，從“主干”上去整體把握。結(jié)構(gòu)化的知識更容易理解和記憶，從而能夠使學(xué)生掌握知識的來龍去脈，更好地促進(jìn)運用和遷移。這是因為結(jié)構(gòu)具備的根本性功能是利用關(guān)系、層次的形式，合理地將要素分清主次、明確地位、按層次入座，便于人的思維在有限的短時記憶中同時加工處理，一攬子把握，確切地組織它，建構(gòu)概念意義[9]。

2）要點提煉——人的臟腑。知識點分散于各小節(jié)當(dāng)中，它們?nèi)缤梭w的臟腑器官，擔(dān)負(fù)著“發(fā)動機(jī)”作用。因此，在學(xué)完每部分（階段）時，都必須及時地進(jìn)行梳理、歸類和提煉。用簡潔明快的數(shù)字或字母及順口溜、諺語、詩詞等來提煉、概括。

3）方法意識——人的脈絡(luò)。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是人們對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識熟練掌握和應(yīng)用的基礎(chǔ)上更高層次的抽象與概括。它像人的脈絡(luò)一樣貫穿于數(shù)學(xué)的每一部分內(nèi)容之中。數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)思想的具體化，是數(shù)學(xué)思想的外殼和物質(zhì)形式[10]。意識是有目的、自覺的、能為意識主體所感知的心理活動[11]。而意識的形成關(guān)鍵在于經(jīng)驗的積累、思想方法的悟透，它屬于更高層次的思維形態(tài)?？吹绞裁礂l件，就能意識到相應(yīng)的解決方法。

4）樣例分析——人的血肉。羅增儒教授指出：分析典型例題的解題過程是學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)會解題的一條有效途徑[12]。典型的例題就像人的血肉，它把各個部分內(nèi)容、知識點組織在一起，形成一個較為完整的知識鏈。已有大量的實驗證明，樣例學(xué)習(xí)法能促進(jìn)圖示知識的形成，并能節(jié)約教學(xué)時間[13]。通過對樣例的分析，使學(xué)生懂得如何解讀條件，找到條件之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，確立解題的突破口和思路，從而提高學(xué)生的解題能力。

5）檢測評鑒——人的四肢。檢測實際上就是一種測量工具或技術(shù)，運用量化行為或分?jǐn)?shù)，幫助教師理解或預(yù)測學(xué)生的行為[14]。通過對學(xué)生的檢測結(jié)果或過程進(jìn)行形成性評價和鑒賞，發(fā)現(xiàn)他們的不足之處，欣賞他們的獨到魅力，激勵他們勇于創(chuàng)新、張揚個性。這一環(huán)節(jié)就像人的四肢，沒有它，將無所事事，寸步難行。

6）總結(jié)反思——人的大腦?？偨Y(jié)是對重要知識點進(jìn)行貫穿、提煉，重組學(xué)生已形成的知識結(jié)構(gòu)并內(nèi)化為學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因為結(jié)構(gòu)化了的知識更有利于儲存、轉(zhuǎn)換、自我調(diào)節(jié)和提取[15]。反思即元認(rèn)知，是人們以自己的認(rèn)識活動過程及結(jié)果為認(rèn)識對象的認(rèn)識活動。作為對認(rèn)識的認(rèn)識，反思較一般思維活動層次更高。通過反思，人們獲得不同于感覺所得來的內(nèi)部經(jīng)驗，使自己的認(rèn)識得以升華，使自己的實踐行為趨于合理，同時在反思過程中自我得到發(fā)展，特別是形成一種反思的能力[16]。

3 模式運用

如果說理念是叢書的靈魂，那么課例就是承載理念的載體，是理念的外化形式[17]。李士锜說過，三個好的案例就是一篇很好的論文。鄭毓信指出：案例研究應(yīng)當(dāng)被看成教學(xué)研究的一個基本形式。再好的教學(xué)設(shè)計如果不能在教學(xué)實際中運用，那只是一種設(shè)想。下面為北京師范大學(xué)版必修4《平面向量》一章復(fù)習(xí)課案例的教學(xué)設(shè)計。

1）知識結(jié)構(gòu)。

師：學(xué)完平面向量，你能根據(jù)知識呈現(xiàn)的順序用圖或表的形式把本章的知識內(nèi)容羅列出來嗎？

生1：可以。（生1畫出了知識結(jié)構(gòu)框圖）

師：很好。如何概括本章的知識要點呢？

2）要點提煉。

生2：一個概念：向量；兩個定理：向量共線定理和平面向量基本定理；三個區(qū)別：零與零向量，與，相等向量與相反向量；四種運算：向量的加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運算；數(shù)量積的五條性質(zhì)：（1）==cos<，>（為單位向量）；（2）==；（3）=0；（4）cos<，>=；（5）。

師：生2的概括是否全面準(zhǔn)確？說出理由。

生3：我認(rèn)為生2說的一個概念不準(zhǔn)確，應(yīng)該是與向量有關(guān)的一組概念：向量、向量的模、零向量、相等向量、相反向量、共線向量、向量的夾角。只說一個向量概念，不全面。

師：生2同學(xué)把本章的知識點概括得非常好，生3的補充也很恰當(dāng)。請大家再全面推敲一下，把你認(rèn)為不精準(zhǔn)的地方說出來。

生4： 我認(rèn)為三個區(qū)別中后兩個不妥當(dāng)，因為我們很容易區(qū)分。應(yīng)該是向量共線與點共線和向量的夾角與內(nèi)積取值的范圍。

師：為什么？

生4：因為向量的共線包括向量的平行，而點共線必須要求所有的點都在一條直線上。由于向量的夾角可以是銳角、直角和鈍角，相應(yīng)的內(nèi)積必須是正數(shù)、零和負(fù)數(shù)，但反過來，除直角外，另外兩種未必成立，還需要注意到共線的情況。這一點最容易忽視。

師：同學(xué)們都聽清楚了嗎？生4同學(xué)的回答真是太精彩了！掌聲在哪里？（于是，全班響起熱烈的掌聲。正當(dāng)大家都非常高興的時候，生5舉手。）

評注：布魯納認(rèn)為，在教學(xué)過程中，學(xué)生是一個積極的探究者。教師的作用是要形成一種學(xué)生能獨立探究的情境，而不是提供現(xiàn)成的知識[18]。要培養(yǎng)學(xué)生自主探究、意義結(jié)構(gòu)和歸類、概括的能力，而不是“越俎代庖”、“全盤授予”。

生5：老師，前面幾個同學(xué)把本章的知識點概括得非常全面，我很贊同！不過，我想再增加一些書外的內(nèi)容，就是老師常說的一些“高級規(guī)則”。

師：很好！說說看。

生5：為了保持順序一致，就叫“六個高級規(guī)則”：（1）已知、是不共線向量，且=+，若A、B、C三點共線，則+=1。反之也成立。（2）O為內(nèi)一點，若++=，則∶∶=c∶a∶b。（3）若G是的重心，則++=，反之亦然。（4） 若O是的垂心，則==。（5）若O是的內(nèi)心，則++=。（6）若O、H分別是的外心和垂心，則=++。

師：同學(xué)們，聽明白了嗎？生5同學(xué)給了我們太多的意外，其實也是意料之中。這與生5同學(xué)在課堂上認(rèn)真聽講、課外深入鉆研分不開啊！希望還有疑問的同學(xué)課下認(rèn)真鉆研，弄個水落石出。向量兼具“數(shù)”、“形”兩個特征，本章應(yīng)該掌握哪些數(shù)學(xué)思想方法，形成哪些數(shù)學(xué)意識呢？試舉例說明。

評注：教師的教不等于包辦代替，教學(xué)要留下適當(dāng)?shù)摹翱瞻住?，由學(xué)生在課下自主探究、相互交流，在“恍然大悟”或“慢慢醒悟”中建構(gòu)完成。 3）方法意識。

生6：應(yīng)該是數(shù)形結(jié)合思想，它包含兩種意識：建系意識（坐標(biāo)意識）和幾何意識。例如：若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點M滿足=+，則通過建系很容易得出結(jié)果。這樣的例子有很多，我發(fā)現(xiàn)如果是特殊圖形，建系非常有效；如果條件特殊或條件的幾何意義明顯，則構(gòu)造出的相應(yīng)幾何圖形也很容易找到答案。

（過了幾秒鐘，課堂上響起了雷鳴般的掌聲。等到掌聲漸漸平息，生7舉起了手）

生7：我認(rèn)為是分類與整合的思想，如在直角中，，，求k的值，這里就要分為直角、為直角、為直角三種情況討論解決。

師：說得好！當(dāng)我們面臨的問題比較復(fù)雜，用傳統(tǒng)的方法無法進(jìn)行下去時，就要考慮對象包含了哪些情況，然后分而治之。但要注意兩點：一是標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；二是整合解題的結(jié)果。還有什么需要補充的嗎？

生8：我認(rèn)為還應(yīng)該掌握“算兩次”的方法，本章的核心是向量運算，對于向量的加、減、數(shù)乘、內(nèi)積運算都有“規(guī)定運算”與“坐標(biāo)運算”兩種方式，這兩種方式是針對同一種運算而言的。如求證 ，要注意到從 聯(lián)想到向量的內(nèi)積，從 聯(lián)想到向量的模，可以構(gòu)造向量利用“算兩次”的方法進(jìn)行證明（生8同學(xué)展示了自己的證明過程）。

師：生8同學(xué)的展示很簡練，推理很嚴(yán)謹(jǐn)，用事實說明了“算兩次”方法的應(yīng)用價值，應(yīng)該引起大家的重視。我們要從思想方法的高度培養(yǎng)自己“算兩次”的解題意識。還有什么需要補充的嗎？

生7：根據(jù)內(nèi)積的幾何意義，數(shù)量積等于的長度與 在 的方向上的投影的乘積。因此，題目中只要含有“垂直”這個信息，就要聯(lián)想到用內(nèi)積的幾何意義解題，這就是投影意識。例如在平行四邊形中，，垂足為，且，求的值，見圖2。

分析：過C作交的延長線于，則，（注意到在方向上的投影為）。除此之外，我認(rèn)為還應(yīng)該有對應(yīng)意識，因為向量的坐標(biāo)運算都要求“對應(yīng)”。還有結(jié)構(gòu)意識（見模必平方）、細(xì)節(jié)意識（三種區(qū)分）都需要關(guān)注。

師：以上三個同學(xué)提出了數(shù)形結(jié)合、分類整合、算兩次的數(shù)學(xué)思想方法，還強(qiáng)調(diào)了要形成建系意識（坐標(biāo)意識）、幾何意識、投影意識、結(jié)構(gòu)意識、細(xì)節(jié)意識。將本章的特點概括得非常準(zhǔn)確、完整。讓我們以熱烈的掌聲再一次表示祝賀！

評注：教學(xué)中一直關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法，而對數(shù)學(xué)意識及潛意識（直覺）的認(rèn)識往往不足，常常被忽略。研究發(fā)現(xiàn)，全球具有偉大成就的成功人士，直覺準(zhǔn)確率平均高達(dá)95%以上，普通人的直覺有60%都是錯的。通過直覺，不僅可以應(yīng)對未知的變化，辨識機(jī)遇與陷阱，從而做出正確的選擇，還可以認(rèn)識自身的各個維度，修煉強(qiáng)大的自我[19]。因此，在每一節(jié)課中，要求學(xué)生不僅能說出本章應(yīng)該掌握哪些數(shù)學(xué)思想方法、形成哪些數(shù)學(xué)意識，還要求他們舉出具體的例子，這是因為恰當(dāng)?shù)呐e例事實上也可被看成各人對于相關(guān)理論是否達(dá)到了真正理解的直接標(biāo)志[20]。

4）樣例分析（例題略）。