黃木興

不等式恒成立問題主要可分成兩類：第一類為不含參數(shù)的不等式恒成立問題；第二類為含有1個(gè)（或多個(gè)）參數(shù)的不等式恒成立問題.對(duì)于第一類問題，實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式，本文不再贅述；對(duì)于第二類，其基本解題思想是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，常見的基本解法有以下幾種.

一、分離參數(shù)，間接求最值

在不等式中求含參數(shù)范圍過程中，當(dāng)不等式中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其他變量完全分離出來，并且分離后不等式其中一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或范圍可求時(shí)，常用分離參數(shù)法.

例1：已知f（x）=ax +x（a∈R，a≠0），若x∈[0，1]時(shí)，總有|f（x）|≤1，試求a的取值范圍.

解析：當(dāng)x=0時(shí)，|f（x）|=0<1恒成立.當(dāng)x≠0時(shí)，|ax +x|≤1，可化為a≤ - ，a≥-（ + ），令 =t，∵x∈（0，1]，∴t∈（1，+∞]，∴即當(dāng)t∈（1，+∞]時(shí)恒有a≤t -ta≥-（t +t）即a≤0，a≥-2，又因?yàn)閍≠0，所以a∈[-2，0）.

點(diǎn)評(píng)：據(jù)a>f（x）恒成立？圳a>f（x） ；a

二、不分離參數(shù)，直接求最值

例2：設(shè)f（x）=（x+1）ln（x+1），若對(duì)所有x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax=（x+1）ln（x+1）-ax，原問題變?yōu)間（x）≥0對(duì)所有的x≥0恒成立，注意到g（0）=0，故問題轉(zhuǎn)化為g（x）≥g（0）在x≥0時(shí)恒成立，即函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù).于是可通過求導(dǎo)判斷g（x）的單調(diào)性，再求出使g（x）≥g（0）成立的條件.g′（x）=ln（x+1）+1-a，由g′（x）=0，得x=e -1.當(dāng)x>e -1時(shí)，g′（x）>0，g（x）為增函數(shù).當(dāng)-1

假若我們沒有注意到g（0）=0，那么在解g（x）≥0對(duì)所有的x≥0恒成立時(shí)，也可轉(zhuǎn)化為g （x）≥0（x≥0），再以導(dǎo)數(shù)為工具，稍作討論即可得解.

值得一提的是，本題還有學(xué)生采用參數(shù)分離法求解：由f（x）=（x+1）ln（x+1）≥ax對(duì)所有的x≥0恒成立可得：（1）當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；（2）當(dāng)x>0時(shí)，a≤ .設(shè)g（x）= ，問題轉(zhuǎn)化為求g（x）在開區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的最小值或下界，g′（x）= ，試圖通過g′（x）=0直接解得穩(wěn)定點(diǎn)，困難重重.退一步令h（x）=x-ln（x+1），因?yàn)閔′（x）=1- ，x>0，所以h′（x）>0，則h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，即h（x）>h（0）=0，從而g′（x）>0，于是g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故g（x）無最小值.此時(shí)，由于g（0）無意義，g（x）的下界一時(shí)也確定不了，但運(yùn)用極限知識(shí)可得：g（x）> g（x），然而求此極限卻又超出所學(xué)知識(shí)范圍，于是大部分考生被此難關(guān)掃落下馬，事實(shí)上采用洛比達(dá)法則可得： g（x）= = [ln（x+1）+1]=1，故x>0時(shí)，g（x）>1，因而a≤1.綜合（1）（2），得a的取值范圍是（-∞，1].

點(diǎn)評(píng)：采用分離參數(shù)法求解本題，最大的難點(diǎn)在于求分離后所得函數(shù)的下界.它需要學(xué)生擁有扎實(shí)的綜合素質(zhì)和過硬的極限、導(dǎo)數(shù)知識(shí)，并能靈活地運(yùn)用這些工具研究函數(shù)的性態(tài)，包括函數(shù)的單調(diào)性，極值（最值）或上下界.突出考查了函數(shù)與方程思想、有限與無限的思想.

三、數(shù)形結(jié)合

如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖像、圖形較易畫出，則可通過圖像、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.

例3：已知函數(shù)y=f（x）=3x+6，x≥-2-6-3x，x<-2，若不等式f（x）≥2x-m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x-m及y=f（x）的圖像，由于不等式f（x）≥2x-m恒成立，因此函數(shù)y=2x-m的圖像應(yīng)總在函數(shù)y=f（x）的圖像下方，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是[-4，+∞）.

注：解決不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖像，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖像.如：不等式x -log x<0，在x∈（0， ）時(shí)恒成立，求a的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時(shí)一般使用數(shù)形結(jié)合法，設(shè)f（x）=x ，g（x）=log x，然后在同一坐標(biāo)系下準(zhǔn)確地作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，借助圖像觀察便可求解.

含有參數(shù)的不等式恒成立問題是與函數(shù)最值相關(guān)的重要問題，解題中要注意方法的靈活運(yùn)用，對(duì)于無需分類討論便可實(shí)現(xiàn)參數(shù)分離的，應(yīng)首選“參數(shù)分離”，除此之外，直接求最值及數(shù)形結(jié)合也是不錯(cuò)的選擇.