蔡敏

所謂隱含條件就是在題目中沒(méi)有明確表達(dá)出來(lái)而客觀上已存在的條件，往往給學(xué)生造成條件不夠的假象.在平時(shí)練習(xí)或考試中，我們發(fā)現(xiàn)有些題目，學(xué)生由于忽視了題中的隱含條件，以致一些本來(lái)很簡(jiǎn)單的題目做不出來(lái)，或是使得求出的結(jié)果范圍擴(kuò)大，不符合題目的要求.而如果將題目的隱含條件挖掘出來(lái)，則可使問(wèn)題迎刃而解，得到正確的結(jié)果.下面就題中隱含條件的幾類題型加以簡(jiǎn)要說(shuō)明.

一、利用概念、定義、定理、公式、性質(zhì)等挖掘隱含條件

例1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f（x）= 的圖像交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)的最小值.

解析：乍一看，似乎無(wú)從著手.但仔細(xì)分析，過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)f（x）= 都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則隱含著：P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.不妨設(shè)P（m，n）為第一象限中的點(diǎn)，則點(diǎn)Q（-m，-n），且n= ，所以|PQ|= =2 ≥4，|PQ|的最小值為4.（隱含條件：P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.）

例2.定義在R上的函數(shù)y=f（x+2）的圖像關(guān)于（-2，0）對(duì)稱，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）>0（其f（x）中是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=（3 ）f（3 ），b=（log 3）f（log 3），c=（log ）f（log ），則a，b，c的大小關(guān)系是？搖 ？搖.

本題已知條件中可挖掘出四處隱含條件.隱含條件1：“定義在R上的函數(shù)的圖像y=f（x+2）關(guān)于（-2，0）對(duì)稱”這句話隱含著函數(shù)y=f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù).從題目中結(jié)構(gòu)特征挖掘隱含條件2：a，b，c的表達(dá)式結(jié)構(gòu)相同，可看成是函數(shù)y=xf（x）的三個(gè)值，由此比較a，b，c的大小可利用函數(shù)y=xf（x）的單調(diào)性.隱含條件3：f（x）+xf′（x）>0？圯[xf（x）]′>0，所以當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)y=xf（x）是增函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)y=xf（x）是減函數(shù).隱含條件4：0

二、從圖形特征中挖掘已知圖形中存在的但未指明的隱含條件

例3.如圖是函數(shù)f（x）=x +ax+b的部分圖像，則函數(shù)g（x）=lnx+f′（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）

A.（ ， ） B.（1，2） C.（ ，1） D.（2，3）

解析：學(xué)生很容易從圖像中得到f（1）=0，即1+a+b=0①，還可得出f（0）=b>0②，由①②得1+a<0，所以g（ ）=-ln2+1+a<0，但接下去就不知怎么辦了.其實(shí)，該二次函數(shù)的圖像中蘊(yùn)含一個(gè)條件.圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，則可推出對(duì)稱軸x=- ∈（0，1），可推出a∈（-2，0）.所以，g（1）=2+a>0.因此有g(shù)（ ）g（1）<0，答案為C.（隱含條件：對(duì)稱軸x=- （0，1）.）

三、從題目本身的文字表述中挖掘所蘊(yùn)藏的隱含條件

例4.已知數(shù)列{a }的前項(xiàng)和為S 且a =1，a = S ，n∈N ，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

很多學(xué)生這樣解答：由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a =（ ） .這個(gè)答案是錯(cuò)誤的，原因在于：忽視了公式a =S -S 的前提條件為n≥2.因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)n-1=0，數(shù)列中沒(méi)有第0項(xiàng).正確的解答為：a = S = ，由a -a = （S -S ）= a ，得a = a ，所以a = ·（ ） .（隱含條件：n≥2.）

例5.已知f（x）=2x -10x，是否存在t∈N ，使得方程f（x）+ =0在區(qū)間（t，t+1）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析：方程f（x）+ =0等價(jià)于方程2x -10x +37=0.設(shè)h（x）=2x -10x +37，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)h（x）在（0， ）內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)h（x）在（ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.函數(shù)的極小值h（ ）=- .由題中“t∈N ”及“（t，t+1）”這兩個(gè)式子暗示我們：t的取值在 前，t+1在 后，即t=3，計(jì)算h（3）=1>0，h（4）=5>0.所以，h（3）·h（ ）<0，h（4）·h（ ）<0.所以，方程h（x）=0在區(qū)間（3， ），（ ，4）內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，在區(qū)間（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.存在唯一的自然數(shù)t=3，使得方程f（x）+ =0在區(qū)間（t，t+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.（隱含條件：“N ”及“（t，t+1）.）

例6.已知函數(shù)f（x）=-|x|+1，若關(guān)于x的方程f （x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.m≥ B.m> C.m>- D.m<-

解析：方程可看成以f（x）為自變量的一元二次方程，那原方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，但學(xué)生容易忽視一點(diǎn)：兩根都小于1.其實(shí)，函數(shù)的解析式已經(jīng)暗示了函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，1].（隱含條件：兩根都小于1.）

解：令t=f（x）（t≤1），則原方程化為t +（2m-1）t+4-2m=0，原方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？圳t +（2m-1）t+4-2m=0在（-∞，1）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)兩根為t ，t ，則Δ>0t +t <2，∴（2m-1） -4（4-2m）>0-（2m-1）<2，解得m> 或m< m>- ，∴m> .

通過(guò)對(duì)上述幾類內(nèi)含隱含條件題目的分析，我們可以認(rèn)識(shí)到，在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)認(rèn)真審題，從多方向、多角度、多層次挖掘每個(gè)轉(zhuǎn)瞬即逝的隱含條件，方能順利地達(dá)到解題的彼岸，從而真正提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.