趙國(guó)瑞

在所有的四邊形中，正方形無疑是最完美的四邊形。它不僅是軸對(duì)稱圖形，同時(shí)還是中心對(duì)稱圖形，既具有矩形的一切性質(zhì)，又具有菱形的一切性質(zhì)，是矩形和菱形的“完美化身”。正方形的這些性質(zhì)為我們解答正方形有關(guān)的計(jì)算問題提供了便利。下面舉例說明。

例1 （2012年天津市中考題）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M是邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為（ ）

A. -1 B.3-

C. +1 D. -1

分析 因?yàn)镈G=DE=ME-DM=MC-DM=MC-1，因此只需求出MC的長(zhǎng)，可在Rt△DMC中，利用勾股定理求解。

解 在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，所以DM= AD=1。

在Rt△DMC中，由勾股定理得，MC= = = 。

所以DG=DE=ME-DM=MC-DM= -1。故答案選D。

例2 （2012年四川省宜賓市中考題）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，連接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，則DE=________。

分析 直接求DE比較困難，注意到CE平分∠ACD，聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，可先過點(diǎn)E作EF⊥CD于F，則CF=CO，且△DEF是等腰直角三角形，容易求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DF的長(zhǎng)，然后在等腰直角三角形DEF中求出DE的長(zhǎng)。

解 在正方形ABCD中，△ABC是等腰直角三角形，

所以AC= AD= 。

過點(diǎn)E作EF⊥CD于F，如圖2，則CF=CO= AC= 。

所以DF=CD-CF=1- 。

易知△DEF是等腰直角三角形，所以DE= DF= （1- ）

= -1。

點(diǎn)評(píng) 解答本題的過程中用到這樣一個(gè)結(jié)論：等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于直角邊長(zhǎng)的 倍，這個(gè)結(jié)論可以通過勾股定理推出。

例3 （2012年四川省瀘州市中考題）如圖3，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（ ）

A. a2 B. a2

C.（1- ）a2 D.（1- ）a2

分析 設(shè)B′C′與CD交于點(diǎn)E，由于S陰影=S正方形ABCD-S四邊形AB′ED=a2-S四邊形AB′ED，所以關(guān)鍵是求S四邊形AB′ED。為此，連接AE，易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°。然后利用含30°的直角三角形的三邊關(guān)系求出DE的長(zhǎng)，這樣就可以求出S△ADE，進(jìn)而求出S四邊形AB′ED，最后再求出陰影部分的面積。

解 設(shè)B′C′與CD交于點(diǎn)E，連接AE。

易證Rt△AB′E≌Rt△ADE。所以∠B′AE=∠DAE，S四邊形AB′ED=2S△ADE。

因?yàn)椤螧′AB=30°，∠BAD=90°，所以∠B′AE=∠DAE=30°。

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，所以AD= DE。所以DE= = 。

所以S四邊形AB′ED=2S△ADE =2· · ·a = a 2。

所以S陰影=S正方形ABCD-S四邊形AB′ED=a2- a2

=（1- ）a2。故答案選D。

點(diǎn)評(píng) 在解答本題的過程中用到這樣一個(gè)結(jié)論：有一個(gè)銳角為30°的直角三角形的三邊之比為1∶ ∶2，如圖4所示，這個(gè)結(jié)論可以通過勾股定理推出。

例4 （2012年貴州省銅仁市中考題）如圖5，以邊長(zhǎng)為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值是_______。

分析 由“正方形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)90°后仍與原圖形重合”易證△AOB是等腰直角三角形，因此AB= AO。要求AB的最小值，只需求AO的最小值。

解 在正方形CDEF中，OD=OE，∠ADO=∠BEO=45°。

而∠AOD=90°-∠BOD=∠BOE，

所以△AOD≌△BOE。所以O(shè)A=OB。

而∠AOB=90°，所以△AOB是等腰直角三角形。所以AB= AO。

要使線段AB最小，只需AO最小。

由“點(diǎn)到直線的線段中，垂線段最短”知，當(dāng)AO⊥CD時(shí)，AO最小。此時(shí)AO= CD=1。所以線段AB的最小值為 。