黃細(xì)把

平行四邊形、矩形、菱形、正方形、直角梯形、等腰梯形都是特殊的四邊形，各有其固有的性質(zhì)。對(duì)于某些圖形問(wèn)題，從構(gòu)造這幾種特殊四邊形入手，可找到很好的解題途徑。

一、構(gòu)造平行四邊形

例1 如圖1，△ABC中，AB=5，AC=3，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)m的取值范圍是（ ）

A.0

解析 延長(zhǎng)AD到E，使ED=AD，那么四邊形ABEC是平行四邊形。

則有AB-BE

因?yàn)锽E=AC=3，AE=2AD=2m，

所以5-3<2m<5+3。

所以2<2m<8。

所以1

二、構(gòu)造矩形

例2 如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，那么 =______。

解析 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么四邊形ABEF是矩形?，F(xiàn)用DF和CE分別表示AB+AD及CB+CD。

因?yàn)椤螧AD=60°， ∠ADC=90°，

所以∠DAF=30°， ∠CDE=30°。

所以AD=2DF，CD=2CE。

所以AF= = DF，

DE= = CE。

所以AB+AD=（DF+DE）+AD=3DF+DE= （ DF+CE），

CB+CD=（AF-CE）+CD=AF+CD-CE= DF+2CE-CE= DF+CE。

所以 = = 。

三、構(gòu)造菱形

例3 如圖3，五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，那么它的面積S五邊形ABCDE =______。

解析 延長(zhǎng)EA、CB交于點(diǎn)F?？芍鱂AB是等邊三角形，且FE=FC=DE=DC=4，那么四邊形DEFC是菱形，S五邊形ABCDE=S菱形DEFC-S△ABF。為此，應(yīng)再過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G。

因?yàn)椤螩HD=90°，∠D=60°，

所以DH= CD=2，CH=2 。

所以S菱形DEFC=DE·CH=8 。

因?yàn)椤螰GA=90°，∠FAG=60°，所以AG= FA=1，F(xiàn)G= 。

所以S△ABF = AB·FG= 。所以S五邊形ABCDE =8 - =7 。

四、構(gòu)造正方形

例4 如圖4，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為CA、CB上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，DE⊥DF，AB=10，設(shè)x=DE+DF，則x的取值范圍是________。

解析 過(guò)點(diǎn)A作AG∥CB，過(guò)點(diǎn)B作BG∥CA交AG于點(diǎn)G，那么四邊形ACBG是正方形，再延長(zhǎng)ED交BG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FD交AG于點(diǎn)N。因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D是正方形ACBG的中心。

所以EM=2DE，F(xiàn)N=2DF。

因?yàn)镃B

所以2CB<2DE+2DF<2AB。

所以CB

因?yàn)镃A=CB，∠ACB=90°，AB=10，所以CB=5 ，

所以5

五、構(gòu)造直角梯形

例5 如圖5，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5- ，CD=6，則AD=______。

解析 過(guò)A作AE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)D作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么四邊形ADFE是直角梯形，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，則四邊形AEFH是矩形，AD= 。

因?yàn)锳B= ，∠ABE=45°，所以AE= ，BE= 。

因?yàn)镃D=6，∠CDF=30°，所以CF=3，DF=3 。

所以DH=DF-AE=2 ，AH=BE+BC+CF=8。

所以AD= = =2 。