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        注重用向量線性運算的幾何意義解題

        2013-04-29 17:12:38李凌云
        新課程·下旬 2013年6期
        關(guān)鍵詞:向量

        李凌云

        摘 要:在解決向量的有關(guān)線性運算的習題時要注重用向量線性運算的幾何意義解題,把代數(shù)問題幾何化,從而達到事半功倍的效果。

        關(guān)鍵詞:向量;線性運算;幾何意義

        向量是近代數(shù)學最重要和最基本的概念之一,是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁,它具有豐富的實際背景和廣泛的應用。向量在高考中的考查主要集中在兩個方面:一是向量的基本概念和基本運算;二是向量作為工具的應用?;靖拍詈突具\算的考查主要以選擇和填空題的形式出現(xiàn),解決此問題請不要忽略用向量線性運算的幾何意義去思考,從而使代數(shù)問題幾何化,可以達到事半功倍的效果?,F(xiàn)以以下幾題為例說明:

        例1.(2013湖南卷理科第6題)已知a,b是單位向量,a·b=0。若向量c滿足c-a-b=1,則c的取值范圍是( )

        A.■-1,■+1 B.■-1,■+2

        C.1,■+1 D.1,■+2

        點評:平面向量線性運算是高考??嫉闹R點,在解題過程中善用它的幾何意義去理解、分析題意,代數(shù)問題幾何化,使要解決的問題更加清晰、明了。本題再結(jié)合圓的定義,動點C到定點D的距離為定值1,從而確定C的軌跡,使問題迎刃而解。

        圖1

        例2.(2013北京卷文科第14題)已知點A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由所有滿足■=λ■+μ■(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點P組成,則D的面積為__________

        點評:本題也可以通過設(shè)點P的坐標為(x,y)用代數(shù)的方法,得出x,y的線性約束條件,利用線性規(guī)劃知識得出可行域的面積,但這種方法有些繁瑣,而利用向量的線性運算的幾何意義可以達到事半功倍的效果,再利用課本的例題結(jié)論輕松得出結(jié)果。

        圖2

        例3.設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a·b=■,(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值等于( )

        A.■ B.■

        C.■ D.1

        點評:本題主要考查向量的數(shù)量積運算和減法運算,在解題過程中善用向量減法運算的幾何意義再結(jié)合數(shù)量積垂直的充要條件從而確定動點C的運動軌跡,使代數(shù)問題幾何化,從而快速得出結(jié)果。

        圖3

        (作者單位 江西省奉新縣冶城職業(yè)學校)

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