陳小鳳 何曉燕 張正階

摘 要：從一道求解自感系數(shù)的習(xí)題出發(fā)，指出了學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤解題方法。經(jīng)過對(duì)自感系數(shù)的定義進(jìn)行分析，理清了全磁通與交鏈的電流的關(guān)系，并給出了兩種等效的求解全磁通的方法。

關(guān)鍵詞：自感系數(shù)；全磁通；電流

一、問題的引入

在一些大學(xué)物理教材中，出現(xiàn)過下面這道習(xí)題（或類似習(xí)題）：一同軸電纜由中心導(dǎo)體圓柱和外層導(dǎo)線圓筒組成，二者半徑分別為R1和R2，圓筒和圓柱之間充以電介質(zhì)，電介質(zhì)和金屬的μr均可取作1，求此電纜通過電流I（由中心圓柱流出，由圓筒流回）時(shí)，單位長(zhǎng)度內(nèi)儲(chǔ)存的磁能，并通過和自感磁能的公式比較，求出單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)。

首先，根據(jù)安培環(huán)路定理，可得到空間磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

文獻(xiàn)對(duì)這道題給出了簡(jiǎn)略的解答。

由于Wm=■，所以有單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)為：

從上面的解答過程我們可以看到，文獻(xiàn)給出的解題思路為：首先從磁場(chǎng)能量密度公式出發(fā)，得到單位長(zhǎng)度同軸電纜所儲(chǔ)存的能量，然后再通過和自感磁能的公式Wm=■比較，得到單位長(zhǎng)度同軸電纜的自感系數(shù)為L(zhǎng)=■+■ln■，這樣思路清晰，結(jié)果明確。

但是對(duì)于自感系數(shù)的求解，有部分學(xué)生直接根據(jù)公式L=■，得到了另外一個(gè)結(jié)果。

下面給出詳細(xì)解答過程。

解：在導(dǎo)體內(nèi)部，選擇沿軸線方向長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，寬為dr構(gòu)成的矩形面積元dS=1·dr

則該面積元的磁通為：

穿過單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的磁通量為：

同理，穿過單位長(zhǎng)度內(nèi)外兩導(dǎo)體間的磁通量為：

因此，得到單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)為：

這個(gè)結(jié)果和習(xí)題集給出的解答結(jié)果不一樣。問題出在哪里呢？

二、對(duì)問題的思考

通過對(duì)問題以及兩種解題思路進(jìn)行分析得出，第一種解法，從能量密度公式出發(fā)，得到的結(jié)果具有普遍意義；第二種解法從自感系數(shù)的一般定義出發(fā)得到的結(jié)果與前一方法的結(jié)果不同，其原因是對(duì)自感系數(shù)定義的理解不準(zhǔn)確。

我們來回顧一下什么是線圈的自感系數(shù)，大學(xué)物理教材給出的定義為：當(dāng)一個(gè)回路通有電流I時(shí)，回路中的全磁通與電流成正比，這個(gè)比例系數(shù)叫回路的自感系數(shù)，即：L=■。

什么又是全磁通？文獻(xiàn)給出的定義是：實(shí)際上用到的線圈常常是許多匝串聯(lián)而成的，ψ=■Φi是穿過各匝線圈的磁通量的總和，叫穿過線圈的全磁通。當(dāng)穿過各匝線圈的磁通量相等時(shí)，N匝線圈的全磁通為ψ=NΦ，叫做磁鏈。

從以上的定義中我們可以看到，回路中的全磁通Ψ與電流I緊密相連，因此，在計(jì)算導(dǎo)體回路的自感時(shí)，電流I和對(duì)應(yīng)的全磁通Ψ的關(guān)系一定要搞清楚。

在本文的這個(gè)例題中，全磁通由兩部分組成，一部分是導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域的，一部分是兩導(dǎo)體間的。學(xué)生的做法中，對(duì)兩導(dǎo)體間的全磁通求解沒有問題。但是對(duì)導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域的全磁通的求解不正確。以下給出兩種求解導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域的全磁通方法。

1.第一種求全磁通的方法

在導(dǎo)體內(nèi)部，穿過沿軸線方向長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，寬為dr構(gòu)成的矩形面積元dS=1·dr的磁通量為dΦ1=■·d■=■dr

但是注意，該磁通并不是由全部的電流I產(chǎn)生，而是在半徑為r內(nèi)的圓內(nèi)所包圍的電流產(chǎn)生的，也就是全部電流I的一部分，即：I′=■I，也就是說，與dΦI相對(duì)應(yīng)的等效匝數(shù)為：N=■。

所以，與dΦI相對(duì)應(yīng)的磁鏈應(yīng)為：dΨ1=■dΦI=■dr

內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度的自感磁鏈總量為：

2.第二種求全磁通的方法

在導(dǎo)體內(nèi)部，半徑為r，寬為dr的電流元為：

di=■·2πrdr

與該電流元相關(guān)的單位長(zhǎng)度的磁通量（如圖中陰影部分區(qū)域）為：

內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度的有效磁鏈總量為：ψ1=■■Φdi=■■（1-■）·■2πrdr=■。

可見，只要把全磁通是與交鏈的電流的關(guān)系搞清楚了，兩種方法都可以求出內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度的總磁通。

由于內(nèi)外導(dǎo)體之間的總磁鏈仍然為：ψ2=■dΦ2=■■dr=■ln■。因此，得到單位長(zhǎng)度電纜的自感系數(shù)為：L=■=■+■ln■。

這樣，思路正確了，得到的結(jié)論也和從能量的角度出發(fā)計(jì)算出的結(jié)果完全吻合。

從以上分析可以看到，一般大學(xué)物理教材對(duì)線圈自感系數(shù)給出的定義比較粗略：當(dāng)一個(gè)電流回路通有電流I時(shí)，回路中的全磁通與電流成正比，這個(gè)比例系數(shù)叫回路的自感系數(shù)，即：L=■。這個(gè)定義，對(duì)于導(dǎo)體是一維的，也就是說當(dāng)可以忽略導(dǎo)體的橫截面積，只考慮有線電流流過導(dǎo)體時(shí)，這個(gè)定義很清晰。而對(duì)于教材中出現(xiàn)的自感系數(shù)的求解例題，一般給出的也多是一維情況，所以求出的磁通都是電流I全部產(chǎn)生的，線圈的匝數(shù)都是整數(shù)匝，沒有歧義。但是對(duì)于三維導(dǎo)體形成的回路，在導(dǎo)體內(nèi)部的磁場(chǎng)僅與部分電流有關(guān)，這時(shí)候匝數(shù)就出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)匝，而更準(zhǔn)確地說，全磁通Ψ應(yīng)該是磁感線與電流交鏈的物理量。因此，文獻(xiàn)給出的定義：設(shè)回路中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C交鏈的自感磁鏈為Ψ，則磁鏈與回路中的電流成正比關(guān)系，其比值L=■稱作回路中的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感。這個(gè)定義更為準(zhǔn)確點(diǎn)。

其實(shí)，對(duì)于三維導(dǎo)體回路的自感系數(shù)的計(jì)算方法，已經(jīng)有文獻(xiàn)指出，有三種方法。

1.磁能法

利用了公式Wm=■■■dV，即本文中的第一種解法。

2.磁鏈法

L=■，其中，ψ=■■idΦ，其中dΦ是某個(gè)元磁力管L內(nèi)的磁通，i則為與此磁力管相鏈接的電流強(qiáng)度，積分遍及所有磁力管的橫截面。這和本文中的所指出的求解全磁通的第一種解法吻合。

3.平均磁通法

ψ=■Φdi，其中，di是某個(gè)元電流管L′內(nèi)的電流強(qiáng)度，Φ則為與此電流管相鏈接的磁通，積分遍及所有電流管的橫截面，這即為本文所指出的求解全磁通的第二種解法。

方法（1）可認(rèn)為是最基本的，方法（2）（3）都從磁通與電流不完全鏈接的概念出發(fā)，對(duì)磁通匝數(shù)作了某種有權(quán)重的平均，只不過在計(jì)算中磁通與電流所處的地位對(duì)調(diào)，而且該文也證明了三種表達(dá)式是等價(jià)的。

參考文獻(xiàn)：

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[3]張三慧.大學(xué)物理學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題解答.清華大學(xué)出版社，2009-03.

[4]楊顯清.電磁場(chǎng)與電磁波.國(guó)防工業(yè)出版社，2003-07.

[5]趙凱華.也談“三維導(dǎo)體”的自感系數(shù).大學(xué)物理，1985（4）.

（作者單位 成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院應(yīng)用物理系）