張榆　傅元略

摘要：文章在對(duì)組合信用風(fēng)險(xiǎn)度量的因子模型和Copula方法進(jìn)行介紹的基礎(chǔ)上，指出Copula函數(shù)復(fù)雜的參數(shù)估計(jì)和計(jì)算問(wèn)題的解決方法正是因子模型，并運(yùn)用蒙特卡洛模擬的方法，說(shuō)明了兩者的相同之處。因此，在近期的研究中，研究者經(jīng)常將因子模型和copula方法等同。

關(guān)鍵詞：信用風(fēng)險(xiǎn)；因子模型；copula方法

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是一個(gè)有機(jī)的整體，在違約行為上，一個(gè)企業(yè)的違約可能造成相關(guān)的企業(yè)也隨之違約。對(duì)于商業(yè)銀行來(lái)說(shuō)，貸款組合的信用風(fēng)險(xiǎn)度量必然要考慮違約相關(guān)性。在信用風(fēng)險(xiǎn)組合管理方面，以宏觀經(jīng)濟(jì)因子作為違約相關(guān)性的影響因子，Vasicek（2002）和Gordy（2003）等發(fā)展了因子模型。正態(tài)單因子模型被用于Basel Ⅱ的資本計(jì)算公式中。除此之外，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的連接函數(shù)——Copula函數(shù)被引入到違約相關(guān)性的度量中。本文在對(duì)因子模型和Copula方法進(jìn)行介紹的基礎(chǔ)上，指出Copula函數(shù)復(fù)雜的參數(shù)估計(jì)和計(jì)算問(wèn)題的解決方法正是因子模型，并運(yùn)用蒙特卡洛模擬的方法，說(shuō)明了兩者的相同之處。因此，在近期的研究中，研究者經(jīng)常將因子模型和Copula方法等同，甚至直接稱(chēng)之為因子Copula模型（Factor Copula Model）。

一、 因子模型（Factor Models）

考察貸款組合內(nèi)貸款公司的違約相關(guān)性時(shí)，無(wú)法通過(guò)歷史違約數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)違約相關(guān)性，因?yàn)檫@些公司的違約之間有相關(guān)性，但實(shí)際上并未同時(shí)違約甚至并未違約，因此，一般用公司資產(chǎn)價(jià)值的相關(guān)性來(lái)替代違約相關(guān)性。以此為基礎(chǔ)，因子模型的基本觀點(diǎn)是：公司資產(chǎn)價(jià)值的相關(guān)性主要受到一些經(jīng)濟(jì)因素，如宏觀經(jīng)濟(jì)因素Y的影響。假設(shè)Y服從正態(tài)分布，Vasicek（2002）提出了正態(tài)因子模型。放開(kāi)這一假設(shè)，就得到其他分布因子模型。

1. 正態(tài)因子模型。Vasicek（2002）和Gordy（2003）綜合闡述了正態(tài)因子模型的基本假設(shè)和基本原理?；谛庞蔑L(fēng)險(xiǎn)度量的結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值下降到某一特定的違約邊界以下時(shí)，違約發(fā)生。假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值隨時(shí)間的變動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，以Vi表示0時(shí)刻組合內(nèi)第i家公司的資產(chǎn)價(jià)值，μi和σi分別表示該公司資產(chǎn)價(jià)值的漂移率和波動(dòng)率，而Xi是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，服從均值為零，方差為時(shí)間間隔t的正態(tài)分布。那么，t時(shí)刻公司的資產(chǎn)價(jià)值可以表示為：

Vi（t）=Viexp[？滋it-1/2？滓i2t+？滓iXi]

當(dāng)T時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)值Vi（T）小于債務(wù)到期值Ki時(shí)，違約發(fā)生。給定債務(wù)期限為1年，違約概率表示為

PDi=P[Vi（1）

正態(tài)單因子模型假定貸款組合充分分散，只受宏觀經(jīng)濟(jì)一個(gè)因素的影響。在這一假設(shè)下，組合損失分布存在閉合解。若影響相關(guān)性的因子不止一個(gè)，即多因子模型，則不存在閉合解，只能采用蒙特卡羅模擬或數(shù)值方法求解。這一模型的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是資本具有可加性。在這一模型下，對(duì)于銀行來(lái)說(shuō)，每個(gè)業(yè)務(wù)單元信用組合內(nèi)的公司特有風(fēng)險(xiǎn)均已分散，業(yè)務(wù)單元經(jīng)濟(jì)資本之和等于全行經(jīng)濟(jì)資本，因此大大簡(jiǎn)化了資本計(jì)算的復(fù)雜性。

2. 其它分布因子模型。放開(kāi)正態(tài)分布假設(shè)，其它分布下的因子模型主要包括Hull和White（2004）的雙t因子模型、Kalemanova等（2005）的正態(tài)逆高斯因子模型，均用于債務(wù)抵押債券（CDO）的定價(jià)。Escobar，F(xiàn)rielingsdorf和Zagst（2012）總結(jié)了上述文章，在Xi與Zi、Y滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系的情況下，假設(shè)Y與Zi均服從t分布和逆高斯分布（normal inverse Gaussian distribution）的情況，并提出了在Xi與Zi、Y非線(xiàn)性關(guān)系的情況下，Y與Zi均服從正態(tài)分布，而Xi服從t分布，即單t因子模型（Simple Student t Factor Model）。

在雙t因子模型中，假設(shè)Y與Zi服從自由度為ν和ωi的t分布，而

Xi的均值為零，方差為1。在這一模型中，Xi的分布較難確定。Hull和White（2004）和Kalemanova等（2005）均指出，Xi的分布需通過(guò)數(shù)值分析的方法得出，Kalemanova等（2005）認(rèn)為這一過(guò)程使計(jì)算的復(fù)雜性和計(jì)算的時(shí)間都大大增加，因此在這一模型不適合蒙特卡洛模擬。

在正態(tài)逆高斯因子模型中，Xi與Zi、Y均服從正態(tài)逆高斯分布（NIG）。

因?yàn)镹IG分布的特點(diǎn)是可加性，所以，X也服從NIG分布。

在單t因子模型中，Xi與Zi、Y非線(xiàn)性關(guān)系，Y與Zi均服從正態(tài)分布，而Xi服從t分布，

W服從逆gamma分布，參數(shù)α=β=1/2ν。

二、 Copulas方法

Copula這個(gè)詞來(lái)源于拉丁文，意思是“連接”，最早出現(xiàn)于1959年的一篇統(tǒng)計(jì)方面的文獻(xiàn)Sklar（1959）中。在這篇文獻(xiàn)中，作者指出，聯(lián)合分布可以分解為它的n個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula函數(shù)，其中，變量之間的相關(guān)性由Copula函數(shù)來(lái)體現(xiàn)。Copula函數(shù)實(shí)際上是一種將聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布連接在一起的函數(shù)，因此也有人將它稱(chēng)為連接函數(shù)（張堯庭，2002）。Schweizer和Wolff（1981）最早將Copula運(yùn)用于隨機(jī)變量的相關(guān)性研究中。而Copula的進(jìn)一步發(fā)展得益于Joe（1997）和Nelson（1999）對(duì)其的系統(tǒng)介紹。Nelson在2006年又出版了該書(shū)的第二版。在20世紀(jì)90年代后期，Copula理論開(kāi)始運(yùn)用到金融等相關(guān)領(lǐng)域，并得到快速的發(fā)展。

Sklar（1959）提出的Copula函數(shù)概念如下：

Sklar定理：令H為具有邊緣分布F和G的聯(lián)合分布函數(shù)，那么，存在一個(gè)Copula函數(shù)C，滿(mǎn)足

H（x，y）=C（F（x），G（y））

如果F和G是連續(xù)的，那么，C是唯一確定的，反之，如果C是一個(gè)Copula函數(shù)，且F和G是分布函數(shù)，那么，由上式所定義的H是邊緣分布F和G的聯(lián)合分布函數(shù)。

Sklar定理可以擴(kuò)展到多維分布的情況，詳見(jiàn)Nelson（2006）。Sklar定理實(shí)際上是將具有n個(gè)變量的聯(lián)合分布分解為它的n個(gè)邊際分布和一個(gè)Copula函數(shù)，這個(gè)函數(shù)則描述了變量間的相依性。

根據(jù)Copula函數(shù)的定義，Copula方法主要優(yōu)點(diǎn)在于，它可以將隨機(jī)變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)來(lái)研究，并且，確定了一維邊緣分布和Copula函數(shù)就可以確定聯(lián)合分布。定義合適的邊緣分布函數(shù)，并選擇合適的Copula函數(shù)，建模的過(guò)程就已完成?？梢员３诌吘壏植己瘮?shù)不變，而改變Copula函數(shù)，反之亦然。因此建立在Copula理論上的模型更實(shí)用、更有效，可以廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)管理、資產(chǎn)定價(jià)和多變量金融時(shí)間序列分析等方面，例如本文所探討的組合信用風(fēng)險(xiǎn)度量。

目前Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的主要問(wèn)題是函數(shù)形式的選擇，采用不同形式的模型可能導(dǎo)致不同的分析結(jié)果。橢圓類(lèi)Copula 和阿基米德（Archimedean）類(lèi)Copula是實(shí)際研究中常用到的類(lèi)型。橢圓Copula 主要包括正態(tài)Copula和t Copula。正態(tài)Copula 的相關(guān)結(jié)構(gòu)是最基本的相關(guān)結(jié)構(gòu)，為大多數(shù)人熟知。在N維的情況下，共有N（N+1）/2個(gè)兩兩相關(guān)系數(shù)，再加上N個(gè)邊緣分布概率，多元正態(tài)Copula函數(shù)所需參數(shù)數(shù)量為（N（N+1）/2+N）。與正態(tài)Copula函數(shù)一樣，t Copula函數(shù)也是對(duì)稱(chēng)分布的，不同的是，t Copula函數(shù)是厚尾分布。缺點(diǎn)在于，計(jì)算也很復(fù)雜。阿基米德類(lèi)Copula函數(shù)類(lèi)型主要包括Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula等。它們有一個(gè)共同的性質(zhì)是，它們都可以由一個(gè)連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)遞減的凸函數(shù)φ（t）產(chǎn)生，φ（t）稱(chēng)為生成元（Generator）。阿基米德Copula函數(shù)由它們的生成元唯一確定。它們具有構(gòu)造模型方便、計(jì)算簡(jiǎn)單、包含了各種各樣的分布特征的Copula函數(shù)。但詹原瑞，劉俊梅（2012）指出，橢圓類(lèi)Copula函數(shù)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)矩陣反映組合內(nèi)資產(chǎn)間的兩兩相關(guān)關(guān)系，而阿基米德類(lèi)Copula函數(shù)則要求組合內(nèi)資產(chǎn)間的相關(guān)關(guān)系是一致的，這是阿基米德類(lèi)Copula函數(shù)的缺陷。

Li（2000）首次將Copula函數(shù)用于違約相關(guān)性的度量，主要考慮了正態(tài)Copula函數(shù)，并指出CreditMetrics的組合管理雖然沒(méi)有明確使用Copula函數(shù)的概念，但實(shí)際運(yùn)用了正態(tài)Copula函數(shù)。Giesecke（2003）將Copula應(yīng)用于不完全信息模型下的組合管理中，討論了在信息不完全的新情景下，信用傳染問(wèn)題。國(guó)內(nèi)，朱世武（2005）對(duì)如何運(yùn)用Copula函數(shù)信用衍生品的定價(jià)和貸款組合的信用風(fēng)險(xiǎn)管理進(jìn)行了探討。徐志春（2008）運(yùn)用Copula函數(shù)來(lái)改進(jìn)CreditMetrics模型，采用Monte Carlo模擬方法來(lái)進(jìn)行研究。白保中等（2009）利用17家公司的評(píng)級(jí)轉(zhuǎn)移概率等數(shù)據(jù)，運(yùn)用Copula方法計(jì)算信用在險(xiǎn)值（VaR），并與運(yùn)用傳統(tǒng)正態(tài)模擬方法模擬的結(jié)果進(jìn)行比較。詹原瑞，劉俊梅（2012）認(rèn)為行業(yè)因素在宏觀經(jīng)濟(jì)因素和公司資產(chǎn)收益之間起到了媒介的作用，假設(shè)組合中各項(xiàng)資產(chǎn)收益只涉及一個(gè)行業(yè)，利用Copula函數(shù)對(duì)各行業(yè)的相關(guān)性建模。

三、 Copula方法與因子模型的趨同

本文以正態(tài)單因子模型和正態(tài)Copula函數(shù)為例，說(shuō)明運(yùn)用因子模型和Copula方法進(jìn)行蒙特卡洛模擬，獲得的相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)價(jià)值，結(jié)果是相同的，以此說(shuō)明二者的相通性。

擬，產(chǎn)生兩個(gè)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)價(jià)值X1和X2的過(guò)程如下：

第一步，產(chǎn)生三個(gè)服從均勻分布U（0，1）的獨(dú)立變量u、u1和u2；

第二步，令Y=N-1（u），Z1=N-1（u1），Z2=N-1（u2）；

而要產(chǎn)生相關(guān)系數(shù)為ρ、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的n個(gè)變量的方法就是產(chǎn)生n+1個(gè)服從均勻分布U（0，1）的獨(dú)立變量后進(jìn)行上述計(jì)算。

2. Copula方法的蒙特卡洛模擬。在Copula方法下，在保持相關(guān)結(jié)構(gòu)不變的前提下，將模擬n個(gè)服從F（X）分布的相關(guān)變量轉(zhuǎn)化為模擬n個(gè)服從均勻分布U（0，1）的相關(guān)變量。運(yùn)用正態(tài)Copula函數(shù)進(jìn)行蒙特卡洛模擬，產(chǎn)生兩個(gè)相關(guān)的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)價(jià)值X1和X2的過(guò)程如下：

第一步，產(chǎn)生三個(gè)服從均勻分布U（0，1）的獨(dú)立變量u、u1和u2；

第三步，令U=u，V1=N（A1），V2=N（A2），得到相關(guān)系數(shù)為ρ、服從均勻分布U（0，1）的變量U、V1和V2；

第四步，令Y=F-1（U），X1=F-1（V1），X2=F-1（V2），就得到相關(guān)系數(shù)為ρ、服從F（X）的變量Y、X1和X2。若Y、X1和X2服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么

Y=G（U）

同正態(tài)因子模型下一樣，Y表示系統(tǒng)因子，Z1=G（u1）和，Z2=G（u2）是影響X1和X2的特有因子，雖然中間的過(guò)程有所不同，但是，最終都得到相關(guān)系數(shù)為ρ、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)變量X1和X2。

假設(shè)貸款組合內(nèi)包含n筆違約概率、違約損失率、違約風(fēng)險(xiǎn)暴露和相關(guān)系數(shù)均相等的貸款，在獲得存在相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)價(jià)值后，無(wú)論是因子模型還是Copula方法，后續(xù)運(yùn)用蒙特卡洛模擬計(jì)算經(jīng)濟(jì)資本的過(guò)程如下：

第一步，將產(chǎn)生的n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化資產(chǎn)價(jià)值Xi與該組合的標(biāo)準(zhǔn)化違約邊界N-1（PD）比較，當(dāng)Xi小于它時(shí)，違約發(fā)生，設(shè)置啞變量di=1，否則di=0；

第二步，計(jì)算組合損失=ΣEAD×LGD×di；

第三步，重復(fù)上萬(wàn)次模擬，每次模擬都可以得到一個(gè)組合損失，就可以得到組合損失的分布，可以計(jì)算不同置信水平下的在險(xiǎn)值（VaR），減去預(yù)期損失ΣEAD×LGD×PD×n后，就得到組合的經(jīng)濟(jì)資本。

擴(kuò)展到其它分布，Copula方法可以讓邊緣分布和聯(lián)合分布不同，因子模型同樣能夠做到，如前述單t因子模型，Y和Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而X服從t分布。因此，在近期的研究中，研究者經(jīng)常將因子模型和Copula方法等同，甚至直接稱(chēng)之為因子Copula模型，如Hull和White（2004）。

參考文獻(xiàn)：

1.Vasicek O.The Distribution of Loan Port- folio Value.Risk，2002，（10）.

2.Escobar M， Frielingsdorf T， Zagst R. Impact of factor models on portfolio risk measu- res： a structural approach.The Journal of Credit Risk，2012，（8）：47-79.

3.Nelsen R.An Introduction to Copulas（2nd Edition）.New York： Springer-Verlag，2006.

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地基金（項(xiàng)目號(hào)：12JJD790011）。

作者簡(jiǎn)介：傅元略，廈門(mén)大學(xué)管理學(xué)院會(huì)計(jì)系教授、博士生導(dǎo)師；張榆，廈門(mén)大學(xué)管理學(xué)院博士生。

收稿日期：2013-06-08。