徐麗莉

【內(nèi)容摘要】模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，本文闡述了在聾校滲透方程模型思想的意義，并結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)具體討論了如何在聾校數(shù)學(xué)課堂滲透方程模型思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 方程模型思想 聾生

引言

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程內(nèi)容部分明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。

方程在數(shù)學(xué)中處于一個(gè)核心的地位，它有著悠久的歷史，它隨著實(shí)踐需要而產(chǎn)生，并且在各個(gè)領(lǐng)域都具有極其廣泛的應(yīng)用價(jià)值。從數(shù)學(xué)科學(xué)本身看，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，正是對(duì)于它的研究推動(dòng)了整個(gè)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算工具。它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力都有重要的作用，用方程描述實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)方程建模的思想，感悟用方程解決一般問(wèn)題的步驟，方程模型的建立更是建立不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。

一、理論概述

1.數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象或模擬而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可作廣義理解和狹義理解，按廣義理解，凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、方程式和算法系統(tǒng)都可稱為數(shù)學(xué)模型；按狹義理解，只有反映特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，才叫做數(shù)學(xué)模型。在現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型都作狹義的解釋，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的，主要是為了解決具體的實(shí)際問(wèn)題。

2.方程模型思想

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。它可以幫助人們更準(zhǔn)確清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。它從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)設(shè)定未知數(shù)，把問(wèn)題中的已知量與未知量的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，然后利用方程的理論或方法，使問(wèn)題得到解決。而通過(guò)構(gòu)造方程模型來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題的方法則稱為方程模型思想。

二、方程模型思想的滲透

1.在聾校滲透方程模型思想的意義

多年來(lái)，無(wú)數(shù)的聾校數(shù)學(xué)教育工作者一直在不斷地探索積極有效的教學(xué)方法。并意識(shí)到，從發(fā)展的角度來(lái)看，教學(xué)中要讓聾生經(jīng)歷分析、比較、抽象、概括、綜合、歸納、總結(jié)等思維過(guò)程，逐漸脫離單純的直觀學(xué)習(xí)方式和直觀經(jīng)驗(yàn)獲得方式。這意味著聾生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，是一個(gè)逐漸走向抽象的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模是使聾生的思維方式由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡和發(fā)展的過(guò)程。對(duì)培養(yǎng)聾生的觀察分析能力，邏輯思維能力有十分重要的意義。使聾生在學(xué)習(xí)中更靈活地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。方程（組）是中學(xué)代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，也是數(shù)學(xué)世界中的一個(gè)基本模型。它要求聾生能將語(yǔ)言描述、圖像、表格等轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，最終抽象成數(shù)學(xué)模型。對(duì)于聾生來(lái)說(shuō)，方程模型思想的滲透不僅有利于培養(yǎng)他們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，更能為他們可持續(xù)性學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

2.如何在聾校教學(xué)中滲透方程模型思想

數(shù)學(xué)建模是一種全新的數(shù)學(xué)思想，在聾校滲透方程模型思想，是一個(gè)循序漸進(jìn)的、持久的過(guò)程。

（1）提高聾生解方程的運(yùn)算技能

解方程的能力是聾生運(yùn)用方程模型思想解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)。針對(duì)聾生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，聾校的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要注重對(duì)聾生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。在培養(yǎng)聾生的運(yùn)算能力時(shí)，一定要讓聾生養(yǎng)成正確的運(yùn)算習(xí)慣和書(shū)寫(xiě)格式。首先，教師要做到在黑板上書(shū)寫(xiě)規(guī)范，做好示范作用。其次，教師應(yīng)要求聾生獨(dú)立并按規(guī)范步驟解題，還要讓聾生養(yǎng)成檢查、驗(yàn)算的習(xí)慣。聾生由于的邏輯思維和語(yǔ)言能力的障礙，在解題的時(shí)候，表達(dá)往往詞不達(dá)意。有些教師為了圖省事，只讓聾生用算式表達(dá)解題過(guò)程，殊不知，這樣不僅不能提高聾生的能力，還造成聾生在解方程時(shí)對(duì)于求解過(guò)程只知其然而不知其所以然，更會(huì)給聾生后面的學(xué)習(xí)留下障礙。

例1：解分式方程：

解：兩邊同乘以（x+3）（x-3），約去分母得：

4（x-3）+x（x+3）=（x+3）（x-3）-2x

去括號(hào)得：

4x-12+x2+3x=x2-9-2x

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：

9x=3

系數(shù)化為1得：

x=1/3

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1/3是原方程的解，所以，原方程的根為x=1/3。

這樣完整的解題過(guò)程，使聾生不僅僅學(xué)會(huì)了計(jì)算，更能讓他們理解這每一步運(yùn)算的依據(jù)，做到知其然也知其所以然。

（2）加強(qiáng)聾生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)

美國(guó)學(xué)者柯?tīng)枺–. G. Corle）歸納出的數(shù)學(xué)閱讀理論指出：“數(shù)學(xué)閱讀能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，對(duì)于解決問(wèn)題具有重要作用?！钡珜?duì)于聾生，有調(diào)查表明，剛?cè)雽W(xué)的聾生，語(yǔ)言能力甚至不到一周歲的孩子。可想而知語(yǔ)言是他們學(xué)習(xí)上最大的障礙，要提高聾生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，必須對(duì)聾生加強(qiáng)閱讀理解的訓(xùn)練。在培養(yǎng)聾生的閱讀數(shù)學(xué)題時(shí)，盡量能從以下幾步入手。第一步，從頭到尾逐字逐句地仔細(xì)通讀一遍，明確條件和問(wèn)題。第二部，把實(shí)際問(wèn)題中給出的概念、條件、數(shù)量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中有關(guān)的語(yǔ)言、符號(hào)、概念、公式、定理、方法等等。并將相關(guān)語(yǔ)言翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而確定相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系，最終建立方程模型。

（3）創(chuàng)設(shè)情境，讓聾生體會(huì)方程模型是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型

《數(shù)學(xué)課程》標(biāo)準(zhǔn)特別提出“能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型：能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理。”

培養(yǎng)聾生構(gòu)建方程模型的能力，要從以下幾方面入手。第一步，能正確分析題目中的等量關(guān)系，它是列方程的依據(jù)，這就要求聾生能將一些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系概括成關(guān)系式，如：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)、速度×?xí)r間=路程、工作效率×工作時(shí)間=工作總量、畝產(chǎn)量×畝數(shù)=總產(chǎn)量、利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)等，應(yīng)使聾生在理解的基礎(chǔ)上熟記，這對(duì)聾生掌握數(shù)量關(guān)系及尋找解題線索都是有好處的。第二步，學(xué)會(huì)巧設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)建立方程模型基礎(chǔ)，它直接關(guān)系到建立方程的難易程度，必要的時(shí)候也可以借助圖象、表格等整理信息。第三步，驗(yàn)證解在現(xiàn)實(shí)情境中的合理性。

例3：一組學(xué)生組織春游，預(yù)計(jì)共需費(fèi)用120元。后來(lái)又有2人參加進(jìn)來(lái)，費(fèi)用不變，這樣，每人可少分?jǐn)?元。問(wèn)原來(lái)這組學(xué)生的人數(shù)是多少？

分析：本題的等量關(guān)系是：原來(lái)這組學(xué)生每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用加人后該組學(xué)生每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用=3元。

設(shè)原來(lái)這組學(xué)生的人數(shù)是x人，則把體重信息整理成下表：

解：設(shè)原來(lái)這組學(xué)生的人數(shù)是x人，那么每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用是120/x元，增加2人后這組學(xué)生每人分?jǐn)偟馁M(fèi)用是120/（x+2）元。根據(jù)題意得：

方程兩邊同乘以x（x+2），整理得：

x2+2x-80=0

解這個(gè)方程，得：

x1=-10，x2=8

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x=-10不合題意，所以取x=8。

因而，這組學(xué)生原來(lái)有8人。

例4：有一張長(zhǎng)方形的桌子，長(zhǎng)2米，寬1米，將一塊長(zhǎng)方形桌布鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長(zhǎng)度相同，并且桌布的面積是桌面面積的兩倍。求桌布的長(zhǎng)和寬各式多少？

分析：本題的等量關(guān)系是：桌布面積=桌面面積的兩倍，但是由于桌布本身的長(zhǎng)寬之間的關(guān)系并不知道，所以直接設(shè)桌布的長(zhǎng)和寬為未知數(shù)都增加了列方程的難度。因此，我們不妨抓住“各邊垂下的長(zhǎng)度相等”這句話，設(shè)各邊垂下的長(zhǎng)度為x米。

解：設(shè)各邊都垂下x米，由桌子長(zhǎng)2米，寬1米，可知桌布的長(zhǎng)為2+2x米，寬為1+2x米，則桌布的面積為（2+2x）（1+2x），根據(jù)題意得：

（2+2x）（1+2x）=2×2×1

整理得：4x2+5x-2=0

解得：

顯然，x2不符合題意，取x1，從而求出桌布的長(zhǎng)與寬。

通過(guò)豐富的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生正確理解實(shí)際問(wèn)題情境，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)建模思想，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的思維方式思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。既體現(xiàn)方程模型的思想的內(nèi)涵，也體現(xiàn)了方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。它的基本思路是“實(shí)際問(wèn)題——分析抽象——建立模型——實(shí)際問(wèn)題”。這也正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的實(shí)用價(jià)值。

（4）教學(xué)多以聾生的生活經(jīng)驗(yàn)為背景，提高聾生學(xué)習(xí)的積極性

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐和已有的知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。”這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。對(duì)聾生來(lái)說(shuō)，生活中的體驗(yàn)是他們的直接經(jīng)驗(yàn)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)多從聾生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的生活背景出發(fā)，聯(lián)系生活講數(shù)學(xué)，把生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化。對(duì)于聾生來(lái)說(shuō)，如果聾生頭腦中的數(shù)學(xué)模型，是現(xiàn)實(shí)生活中他們熟悉的事物，讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，將會(huì)調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性。因此，聾校的數(shù)學(xué)課堂想要滲透模型思想，教師要多從生活中的事例入手，這樣，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。

（5）拓展應(yīng)用，使聾生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有可延續(xù)性

新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出，數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展，這不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的規(guī)律，還要為學(xué)生可持續(xù)性學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。聾校課堂想要完成這一目標(biāo)，更應(yīng)在現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展。

例5：某班舉行趣味數(shù)學(xué)主題班會(huì)，輔導(dǎo)員王老師第一個(gè)發(fā)言，他說(shuō)：“我出生年份的數(shù)字之和恰巧等于我2000年的年齡”。請(qǐng)問(wèn)王老師出生在哪一年？2000年王老師幾歲？

分析：本題的等量關(guān)系是：王老師出生年份的數(shù)字之和=王老師2000年的年齡，因?yàn)橥趵蠋煶錾攴莸臄?shù)字之和，需要用到個(gè)位和十位兩個(gè)未知數(shù)。

解：設(shè)王老師出生年份的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，則王老師出生年份的數(shù)字之和是1+9+x+y，王老師2000年的年齡是：

2000-（1000+900+10x+y）

根據(jù)題意可得：

2000-（1000+900+10x+y）

=1+9+x+y

化簡(jiǎn)得11x+2y=90

如果按照常規(guī)思維，一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，方程有無(wú)數(shù)組解，無(wú)法確定方程的解?？墒歉鶕?jù)問(wèn)題的實(shí)際情景和方程式本身來(lái)看：出生年份的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)數(shù)字均為小于10的非負(fù)正整數(shù)，且x為偶數(shù)。

取x=0，2，4，6，8代入，可得解為x=8，y=1。

因此可知王老師出生于1981年，2000年王老師19歲。

拓展應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的核心。可以增強(qiáng)聾生用數(shù)學(xué)的思維方式思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也可以增強(qiáng)他們的自信心，是聾生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的墊腳石。

建立方程模型是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它不是單一的為了解決某一類問(wèn)題，而是要我們學(xué)會(huì)用這種思想去統(tǒng)串具體知識(shí)、具體問(wèn)題的解法，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。教學(xué)中，我們應(yīng)適當(dāng)拓展學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生用方程模型解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，豐富學(xué)生解決問(wèn)題的策略，幫助聾生體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的意義，使聾生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到更好的發(fā)展。

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（作者單位：安徽省合肥市特殊教育中心）