陳建洪

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般遵循這樣的步驟：領(lǐng)會知識→學(xué)習(xí)技能→積累經(jīng)驗→形成方法和策略→解決數(shù)學(xué)問題。這是一個呈現(xiàn)為螺旋式上升狀態(tài)的學(xué)習(xí)過程。在日常教學(xué)中，安排習(xí)題作業(yè)是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的主要途徑。在頻繁的解題訓(xùn)練中，學(xué)生常常會遇到一些難題，自己無從下手。待教師分析一番后學(xué)生很容易理清了思路，于是，教師和學(xué)生也就釋然了。

但是我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步反思：為什么學(xué)生總是需要教師的引領(lǐng)才能理清自己的思路，找到解決問題的辦法？為什么自己很少能夠獨立獲得解決問題的訣竅？這說明我們的數(shù)學(xué)教學(xué)存在著不足：教師總是和盤托出解決問題的思路，卻沒有將獲得思路的策略和方法傳授給學(xué)生，沒有提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的水平。長此以往，學(xué)生就總是依賴教師，變得不再思考，不能思考。數(shù)學(xué)教學(xué)也因此呈現(xiàn)出被動、沉悶、低效的狀況。

我們到底什么時候才能摒棄授之于魚的做法，讓學(xué)生學(xué)會自己捕魚呢？在此，筆者不揣淺陋，將自己的思考和認(rèn)識簡述于下，以期拋磚引玉。

波利亞在《怎樣解題》一書中指出，解題的過程分為四個階段：弄清問題、制定計劃、實行計劃、回顧。顯然，獲取解題路徑的關(guān)鍵在于前兩個階段。也就是說我們需要從厘清題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系入手，進(jìn)而尋求簡捷有效的解題思路。簡單地說，這是我們解決數(shù)學(xué)問題的基本策略。下面就此策略談?wù)劜僮魃系囊恍┓椒ā?/p>

一、理解問題，將已知條件和問題了然于胸

如何才能將已知條件和問題了然于胸。通?？梢圆扇∫韵聨追N做法：

1.反復(fù)閱讀。有些問題信息量較多，或者隱藏的條件較多，反復(fù)閱讀可以幫助我們記住到所有的已知條件，挖掘出其中的隱藏條件。比如下面這個問題：一次象棋比賽共有10名選手參加，他們分別來自甲、乙、丙3個隊，每名選手都與其余9名選手各賽一局，每局棋的勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方各得0.5分。結(jié)果甲隊選手平均得4.5分，乙隊選手平均得3.6分，丙隊選手平均得9分。那么甲、乙、丙3隊比賽的選手各有多少人？上述題目中的信息量很大，只有反復(fù)閱讀，才能把比賽規(guī)則、記分方法、各組得分情況熟記下來，并在反復(fù)閱讀中，感受到“乙隊選手平均得3.6分，丙隊選手平均得9分”這兩個特殊的平均得分，從而找到問題解決的突破口。

2.整理條件。對于文字表述的問題，初讀一遍很難做到明了。以表格、摘錄條件等方式進(jìn)行整理，有利于我們明確已知和問題。比如下面這道題目：已知鹽水若干克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度為3%，第二次又加入同樣的水后，鹽水濃度為2%，求第三次加入同樣的水后鹽水的濃度。按照操作的過程進(jìn)行整理，可以使原來的條件更加條理，利于對比和思考。

3.畫圖。兒童是借助形象來思考的。文字表述具有間接性，我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀時，腦中往往是有表象的，準(zhǔn)確地借助圖形把已知和問題表示出來，有利于我們理解問題。比如數(shù)學(xué)中的行程問題，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，和差問題、差倍問題、和倍問題、幾何圖形問題等都要借助圖形幫助自己理解題意。

當(dāng)然，這里列舉的只是理解問題時的幾種常用方法。在面對具體的問題時我們也不會孤立的運用某一種方法，而是多項并舉。

二、尋求思路，架起已知條件和問題之間的橋梁

明確了問題，我們就會進(jìn)行思考，我們往往會動員和組織我們的原有的解題經(jīng)驗，試圖類推至此，或者對已知條件進(jìn)行分離和組合，希望從眾多的已知條件中找到解決問題的關(guān)鍵條件進(jìn)行聚焦式的思考，或者將不同的條件進(jìn)行組合，以期推論出新的條件。有時我們會從已知出發(fā)，采取遞歸模式，逐步靠近問題。有時又會從問題出發(fā)，不斷分析轉(zhuǎn)化，力圖逼近已知條件。當(dāng)我們在已知條件和問題之間建起了橋梁，我們也就順利地解決了問題。這個過程是復(fù)雜的，不可能尋得解決一切問題的萬能解法。但是其間還是有章可循的。在這個尋求思路的過程中，我們通常可以做出以下努力：

1.調(diào)動原有的解題經(jīng)驗。面對一個新問題，我們往往會進(jìn)行辨認(rèn)，很自然的就會和原先熟悉的情景和問題進(jìn)行溝通，然后動員和組織原有的知識儲備和解題經(jīng)驗，試圖用自己掌握的思路去解決它。因此，獲得良好的解題思路，必然需要良好的知識儲備和豐富的解題經(jīng)驗。什么樣的解題經(jīng)驗更利于我們動員和調(diào)動？波利亞指出：良好的組織使得所提供的知識更易于用上。信息加工心理學(xué)也指出，人腦和計算機一樣之所以具備智能，關(guān)鍵在于他貯存了一系列形如“如果/那么”形式編碼規(guī)則的緣故，即產(chǎn)生式。教師與學(xué)生相比，除知識經(jīng)驗的多寡外，更重要的區(qū)別在于：教師貯存的是產(chǎn)生式系統(tǒng)，而不是簡單的事實；教師的數(shù)學(xué)知識形成了良好的組織，能夠融會貫通，而學(xué)生往往難以把握不同知識之間內(nèi)在的聯(lián)系。由此可見，良好的解題經(jīng)驗是獲取解題思路的基礎(chǔ)性條件。

2.一般問題特殊化。疊加模式是解題模式中的一種。運用時通常包括兩個步驟：第一，為了求得一般情形的解，先處理一個特殊情形；第二，利用一些指定的代數(shù)運算把一些特殊情形組合起來，從而獲得一般情形的解。簡單的講就是：一般問題特殊化。例如下面這道題目：如下圖1所示，在腰長為10厘米，面積為34平方厘米的等腰三角形底邊上任意取一點，設(shè)這個點到兩腰線段的垂直線段的長分別為a厘米和b厘米，那么a+b的長度之和是多少厘米？因為是底邊上上任意一點，學(xué)生往往感覺無法捉摸。教師在教學(xué)時不妨故意降低要求：“你覺得這一點點在什么地方你會解決，你就把點點在哪里。”學(xué)生通常會把點點在底角頂點（如下圖2）或者是底邊中點（如下圖3）。（1）點在底角頂點，學(xué)生很容易求出a的長度：34×2÷10=6.8厘米，a+b=6.8+0=6.8厘米；（2）點在底邊中點?？梢赃B接等腰三角形的頂點和底邊中點。分別求出a和b的長度：34÷2=17厘米，17×2÷10=3.4厘米，3.4+3.4=6.8厘米。（3）一般屬于特殊，有了上述兩個特殊情況的解法，學(xué)生就很容易猜測出一般情況下，a+b=6.8。同時也會受圖3的啟發(fā)，連接圖1中等腰三角形的頂點和底邊上的哪一個任意點。進(jìn)而列出10a÷2+10b÷2=34，進(jìn)而推出5a+5b=34，a+b=34÷5=6.8。

3.合情推理。解題思路的獲得并不是純邏輯的。離不開嘗試、猜想、驗證、歸納等不完全可靠的方法。這個過程需要解題者具有較好的元認(rèn)知能力：時刻明確目標(biāo)在哪里？自己在哪里？自己選擇的路徑是否可靠？同時也需要，解題者具有較好的調(diào)整能力。遇到困難時，能夠及時調(diào)整方向，能夠從自己的錯誤中尋求有益成分，而不是全盤否定。從而才能在不斷的嘗試、調(diào)整、驗證中獲得思路。比如算式迷題、數(shù)陣問題中就存在著大量這樣的問題。以下面這個問題為例，我們來看一看合情推理中的思維活動：將1—8分別填入下圖1中的四個圓以及相互交叉所形成的區(qū)域內(nèi)，使每個圓內(nèi)的三個數(shù)字之和相等，并且使這個和盡可能地小。

讀完題目，我們并不是一下子想到完美的思路。探究過程通常會經(jīng)歷下面的兩個階段：

1.調(diào)動經(jīng)驗進(jìn)行嘗試。由于8個空格分為兩類：交叉處和外圍。因此我們把1-8分成兩組，四個數(shù)填在交叉處，四個數(shù)填在外圍。由于和盡可能小，先選擇4個較小的數(shù)1、2、3、4填在交叉處（如上圖2、圖3），四個較大的數(shù)在外圍進(jìn)行嘗試，但是無論如何也不能使四個圈內(nèi)3個數(shù)的和都相等。2、反思失敗原因調(diào)整思路；失敗后，恰是尋找思路的關(guān)鍵點。錯誤并非完全沒有價值，其中往往蘊含著通往正確思路的有益成分。值得關(guān)注的是，大多數(shù)學(xué)生往往采取全盤否定，而不是尋找錯誤的原因，從錯誤走向成功。仔細(xì)分析錯誤的過程，我們會發(fā)現(xiàn)：中間四個數(shù)，有大小搭配和依次排列兩類填法（如上圖2、圖3所示）。第一類，1+4=2+3，找不到相同的數(shù)來搭配。第二類，圓內(nèi)已知兩個數(shù)的和分別是3、4、6、7，沒有連續(xù)性。而剩下的四個數(shù)5、6、7、8卻是連續(xù)的，因此無法搭配成功，只能使四個圈內(nèi)的和分別是：11、11、12、12。從第二種錯誤中，我們能夠得出四個圈的總和是46，不是4的倍數(shù)。由此聯(lián)想到，要想填出正確的結(jié)果，就要增加四個圈的總和，也就是讓中間四個數(shù)的和增加2，改為1、2、3、6。然后再進(jìn)行嘗試。很容易得到正確的填法（如上圖4所示）。探究思路的過程并不全是邏輯，離不開經(jīng)驗的運用，反思和調(diào)整，以及靈感般的頓悟。而學(xué)生最不擅長的在于反思和調(diào)整，他們往往在失敗后往往是全盤否定原來的想法，再一次回到起點沿著另一條路走下去，思路也因此與他們失之交臂。

2.從笨方法入手。很多時候好的思路是從所謂的笨方法中發(fā)現(xiàn)出來的。如教材編排解決問題的策略時，一一列舉的策略、畫圖策略和假設(shè)策略分別安排四年級下冊、五年級的上冊和六年級的上冊。實際上也存在著笨方法和巧妙思路的關(guān)系。比如，六年級上冊用假設(shè)法解決問題的例題如下：

教材就是先利用畫圖策略和一一列舉的策略，來幫助學(xué)生提煉假設(shè)策略的。

畫圖和一一列舉對學(xué)生來說是笨方法，但是學(xué)生在一一列舉的過程中，能夠體會到將一只小船調(diào)整成一只大船就可以多坐2人（反之少坐2人）。理解了這一點，也就很容易理解假設(shè)法的思路：比如假設(shè)租的10條船全是小船，一共可以坐10×3=30人，比總數(shù)42人少了42-30=12人，一只小船調(diào)整成一只大船就可以多坐2人，因此一共要租12÷2=6只大船，10-6=4只小船。使用笨方法的過程，是在獲取感性經(jīng)驗，感性經(jīng)驗充分了，自然會升華、抽象，不止步于笨方法，對笨方法進(jìn)行反思，巧妙的方法也就出來了。因此，我們要正確的看待笨方法，一味的找快捷方式往往會沒有出路的，多畫圖、多嘗試、多列舉，從已有的笨方法出發(fā)，巧妙思路才會不期而至。