鐘志華

在教學(xué)勾股定理這一章時(shí)，我在黑板上出了這樣一個(gè)填空題：

在Rt△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C 所對(duì)的邊，其中a=3，b=4，則c= 。

此時(shí)，很多學(xué)生都很快地給出了答案：c=5。我面帶微笑，但不做表態(tài)，此時(shí)有學(xué)生舉手了：“不對(duì)， c應(yīng)該是5或√7”。很快地，很多學(xué)生也反應(yīng)過(guò)來(lái)了，都覺(jué)得自己一開(kāi)始給出的答案是錯(cuò)誤的，正確答案應(yīng)該是5或√7。那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？

錯(cuò)因分析：

1.受定向思維的影響，學(xué)生一開(kāi)口就知道3、4、5是勾股數(shù)，看到有兩邊是3和4，就不假思索地認(rèn)為第三邊是5；

2.記定理記得不清楚，只知道書(shū)上的定理中有這樣一個(gè)式子：，而沒(méi)有記清式子前的文字，片面地認(rèn)為c就一定是斜邊；

3.分析題目意思不清楚，只是看到問(wèn)題的表面，沒(méi)有更深入地理解；

4.學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想還不是很熟練；

正確解答：因?yàn)轭}目并沒(méi)有說(shuō)清楚哪個(gè)角是直角，因此c有可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)勾股定理，當(dāng)c是斜邊時(shí)應(yīng)該是5，當(dāng)c是直角邊時(shí)應(yīng)該是√7。

為了更深入地研究這道題，我把這道題進(jìn)行了以下一系列的引申和反思，讓學(xué)生討論交流：

1.如果把這個(gè)題目條件弱化，把題目改為“在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，其中a=3，b=4，求c的取值范圍?！?/p>

答案：1

2.如果把這個(gè)題目條件加強(qiáng)，若此三角形是銳角三角形，那么你能求出c的取值范圍嗎？

答案：c<5。若∠C是銳角，求得1

3.如果此三角形是鈍角三角形，那你能求出c的取值范圍嗎？

按照上題的步驟求得c的取值范圍是1

4.你能將這個(gè)題目的某些條件或結(jié)論作些變化，再編出一個(gè)新的題目嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)小組討論后，編出很多很有價(jià)值的問(wèn)題。

（1）如果此三角形是等腰三角形，求c的值。

（2）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜邊上中線？

（3）如果此三角形是直角三角形，且∠C =90°。求斜邊上高線？

（4）在△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C 所對(duì)的邊，a=3、b=4，∠C =90°，求△ABC的周長(zhǎng)L和面積S的取值范圍。

幾點(diǎn)思考：

教師有必要引導(dǎo)學(xué)生在解題后做進(jìn) 一步思考與探索，使學(xué)生逐步養(yǎng)成解決問(wèn)題的一些方法和提一些新的問(wèn)題，使學(xué)生真正懂得“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”。下面筆者結(jié)合這個(gè)案例就如何引導(dǎo)學(xué)生解題后的再思考談些粗淺的見(jiàn)解，以供同行參考。

1.要引導(dǎo)學(xué)生在“觀點(diǎn)失真”處思考。課堂探究中，學(xué)生往往因自身的主觀直覺(jué)，或受思維慣性影響，而生成他們自認(rèn)為正確、而實(shí)質(zhì)上偏離真理的觀點(diǎn)。對(duì)此，為了發(fā)揮解題后的再思考在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，教師不要急于發(fā)表觀點(diǎn)，而采用延遲評(píng)價(jià)、暫停教學(xué)的方式，給學(xué)生留下冷場(chǎng)空白，留給學(xué)生充分的思考時(shí)間和空間，學(xué)生往往能夠自主洞察到原先觀點(diǎn)的缺失之處。

2.要引導(dǎo)學(xué)生從條件中去思考。在原題中，適當(dāng)削去一些條件能使結(jié)論處于動(dòng)態(tài)，而增加某些條件，能使結(jié)論得到加強(qiáng)，提高對(duì)條件的削弱和強(qiáng)化往往能挖掘出較為靈活和綜合的新題來(lái)。

在這個(gè)案例中，如果把直角三角形這一條件去掉，則∠C從確定變?yōu)椴淮_定，學(xué)生看到了一個(gè)動(dòng)態(tài)的△ABC，原來(lái)能求出的一些基本量相應(yīng)地都隨 的變化而成為變量，能求出一些基本量的范圍，如1

3.要引導(dǎo)學(xué)生從解題過(guò)程中去思考。①思考解題方法。“習(xí)題千萬(wàn)道，解后拋九霄”難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解題后的思考、方法的歸類(lèi)、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問(wèn)，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大習(xí)題的輻射面，無(wú)疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。②思考解題規(guī)律。對(duì)每個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底，能否得到一般性的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨(dú)到的見(jiàn)解，有自己的小發(fā)明？點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。長(zhǎng)期的積累，更有助于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量。

4.要引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論中去思考。①思考結(jié)論的推廣與引伸。做完一道題后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)改變?cè)}的知識(shí)元素，圍繞某一問(wèn)題進(jìn)行變換、引伸、拓展。讓學(xué)生思考解題思路和方向是否變化？可使學(xué)生不為完成任務(wù)而做題，而是通過(guò)總結(jié)、多比較，開(kāi)拓思路，把注意力放在靈活運(yùn)用知識(shí)以及鍛煉思維方法上，從而抑制“題?！睉?zhàn)術(shù)，培養(yǎng)“同中求異”和“異中求同”的思維變通能力，有利于知識(shí)歸類(lèi)和歸推理能力的提高。②思考改變題目的結(jié)論。某一問(wèn)題解決后， 教師可以提下面的問(wèn)題：“本題還可以得出那些結(jié)論”，這樣使結(jié)論待定化或多樣化，同時(shí)解決的背景被撤掉，解法就更靈活了。像案例中“在△A BC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，a=3、b=4，∠C=90°，除了求c的值”外，其實(shí)還可以求好多值。

當(dāng)然并不是所有的問(wèn)題在解題后都須再思考，解題后的再思考也沒(méi)有固定的模式。如果上課老師經(jīng)常讓學(xué)生在解題后再思考的，同時(shí)給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，可培養(yǎng)學(xué)生做到會(huì)積極思考，會(huì)提出問(wèn)題，會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，會(huì)自動(dòng)探索，會(huì)合作交流，會(huì)拓展創(chuàng)新，最終使學(xué)生能達(dá)到“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的至高境界。從而使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，而不是數(shù)學(xué)問(wèn)題的奴隸。