于慶

新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。這些提法每一位老師都不陌生，但是提了十幾年，具有了“口號(hào)”和“教條”的嫌疑。本節(jié)課，我試圖通過自己認(rèn)為比較“實(shí)在”的課堂體現(xiàn)上述理念。

本節(jié)內(nèi)容分3個(gè)板塊：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題——解決問題——鞏固練習(xí)。第一板塊放在課前，學(xué)生通過復(fù)習(xí)、自學(xué)，提出問題，嘗試解決；第二板塊，課上通過師生、生生互動(dòng)，提出方案，解決問題；第三板塊，屬于數(shù)學(xué)課堂常見的“當(dāng)堂練習(xí)”。

一、引入課題

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過了正弦、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，今天我們將類比正弦、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，接著來(lái)研究另外一種三角函數(shù)——正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)。正切函數(shù)的圖像如何畫？正切函數(shù)具有哪些性質(zhì)？如何利用正切函數(shù)的性質(zhì)解決問題？這就是本節(jié)課要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

師：請(qǐng)大家拿出學(xué)習(xí)材料，要求課前完成的內(nèi)容你已經(jīng)完成了嗎？在接下來(lái)的提問與回答中將會(huì)一一得到檢驗(yàn)。

師：請(qǐng)大家先來(lái)說(shuō)一說(shuō)，我們已經(jīng)研究了正弦、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？

生：定義域、值域（最值）、單調(diào)性、奇偶性、周期性。

師：請(qǐng)大家就這5個(gè)方向自己提出幾個(gè)有關(guān)正切函數(shù)性質(zhì)的問題。

師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)自己提出問題，自己分析問題（從舊知入手，正切函數(shù)定義，周期函數(shù)定義，奇偶性定義、誘導(dǎo)公式等）并自己解決問題（說(shuō)清問題的答案與理由）。對(duì)于舊知能解決并達(dá)成共識(shí)的問題如：定義域、奇偶性、周期等直接得到結(jié)論，對(duì)于舊知暫時(shí)解決不了的問題如：值域、單調(diào)性等先設(shè)置懸念。

二、探討方案

師：對(duì)于我們不確定的有關(guān)正切函數(shù)性質(zhì)的問題，你們能提出一個(gè)解決的方案嗎？

生1：先畫出函數(shù)的圖像，再通過圖像觀察函數(shù)的性質(zhì)。

師：圖像直觀體現(xiàn)性質(zhì)，確實(shí)是一個(gè)很好的解決方案！那如何畫出正切函數(shù)的圖像呢？

生2：正切函數(shù)是周期函數(shù)，先畫一個(gè)周期的圖像，再平移得到其在定義域內(nèi)的圖像。

師：很好！那先畫出哪個(gè)區(qū)間的圖像更合適？

生3：（0，π）合適？（-π/2，π/2）更合適？

學(xué)生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)，畫圖區(qū)間選擇（-π/2，π/2）而非其它。

師：如何畫出正切函數(shù)在區(qū)間（-π/2，π/2）的圖像呢？

生4：直接描點(diǎn)比較困難，即使是特殊角的正切值，其坐標(biāo)也很難準(zhǔn)確找到。

師：研究一個(gè)函數(shù)之初，我們希望盡可能精確地做出函數(shù)圖像，如何達(dá)到這個(gè)要求？

生5：可以借鑒正弦函數(shù)的描點(diǎn)方式，利用單位圓中的正切線描點(diǎn)。

師：發(fā)言的同學(xué)考慮到了我們已經(jīng)得到的正切函數(shù)的一些性質(zhì)例如周期和定義域，在描點(diǎn)前對(duì)部分性質(zhì)進(jìn)行研究使我們對(duì)正切函數(shù)的圖像有了一個(gè)整體把握，從而減少了盲目性更加有效地作圖，選擇（-π/2，π/2）這個(gè)合理區(qū)間進(jìn)行描點(diǎn)作圖，而且連描點(diǎn)工具正切線也為我們準(zhǔn)備好了。

師：對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)系下，橫縱坐標(biāo)如何??？

生：可以先八等分半個(gè)圓周。在弧度制下，對(duì)應(yīng)弧的長(zhǎng)度即角的大小，而縱坐標(biāo)即為正切線長(zhǎng)，可通過平移得到。

三、動(dòng)手畫圖

學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生畫圖，親自體驗(yàn)圖像的形成過程，然后展示學(xué)生的作圖成果。教師課件演示利用正切線作正切函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)形成過程。

師：有的同學(xué)在曲線兩側(cè)作了兩條直線x=-π/2和x=π/2，請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)為什么這樣做？

生：當(dāng)角度越接近π/2，正切線向上越長(zhǎng)，正切值越大，當(dāng)角度達(dá)到π/2時(shí)，角的終邊與垂線無(wú)交點(diǎn)，正切值不存在。圖像的趨勢(shì)是越來(lái)越接近直線x=π/2。當(dāng)角度越接近-π/2，正切線向下越長(zhǎng)，正切值來(lái)越小，當(dāng)角度達(dá)到-π/2時(shí)，角的終邊與垂線無(wú)交點(diǎn)，正切值不存在。圖像的趨勢(shì)是越來(lái)越接近x=-π/2，但永遠(yuǎn)不會(huì)相交。

師：由正切函數(shù)在區(qū)間（-π/2，π/2）的圖像，如何得到正切函數(shù)在定義域上的圖像？

生3：將圖像向左、右依次平移π個(gè)單位即可得到正切函數(shù)在定義域上的圖像。

師：我們將正切函數(shù)在定義域上的圖像稱為正切曲線。請(qǐng)大家觀察正切曲線像什么？

生4：正切曲線像無(wú)數(shù)多條緩緩流動(dòng)的小溪，無(wú)聲無(wú)息，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。

生5：應(yīng)該是像從天而降的瀑布，飛流直下，一瀉千里！

師：同學(xué)們很好地抓住了正切曲線的特征：由相互平行的直線所隔開的無(wú)窮多支曲線，每支曲線向上向下不斷靠近兩條相應(yīng)的直線。

師：畫正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖我們有“五點(diǎn)法”，請(qǐng)同學(xué)們思考如何快速做出正切函數(shù)在區(qū)間（-π/2，π/2）的簡(jiǎn)圖？應(yīng)該抓住哪些特點(diǎn)？如何稱呼這種方法？

生：兩線：x=-π/2和x=π/2，三點(diǎn)：（0，0），（π/4，1），（-π/4，-1）。

學(xué)生活動(dòng)：用“三點(diǎn)兩線法”畫出正切函數(shù)的圖像。

四、完善性質(zhì)

師：現(xiàn)在我們可以借助正切函數(shù)的圖像來(lái)研究我們之前沒解決的問題如：值域、單調(diào)性等正切函數(shù)的性質(zhì)了。

學(xué)生活動(dòng)：從幾何角度和代數(shù)角度兩個(gè)方面分析正切函數(shù)的性質(zhì)。可以從圖像直觀走向看單調(diào)性、是否對(duì)稱看奇偶性、是否重復(fù)看周期性……

師：正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間都是增函數(shù)，可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù)嗎？

生：不可以，單調(diào)性是局部性質(zhì)，必須指明單調(diào)區(qū)間。（可類比反比例函數(shù)的單調(diào)性。）

五、運(yùn)用性質(zhì)

例：不通過求值比較正切值的大小

（1）tan 與tan （2）tan π與tan π

題后反思：如何不通過求值比較兩個(gè)正切值的大??？

生：先利用周期性把角化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性比較同名正切值的大小。

六、歸納整理

請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容有哪些？學(xué)到了哪些主要數(shù)學(xué)思想方法？