王開(kāi)華

考點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理解決“分給問(wèn)題”

【例】有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽：

（1）每位學(xué)生必須參加且只能參加一項(xiàng)競(jìng)賽，有多少種不同的結(jié)果？

（2）每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，有多少種不同結(jié)果？

【自主解答】

（1）學(xué)生可以選擇競(jìng)賽項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生并無(wú)條件的限制，所以每位學(xué)生均有3個(gè)不同的機(jī)會(huì)，要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競(jìng)賽全部確定下來(lái)才行，因此需分四步，而每位學(xué)生均有3個(gè)不同機(jī)會(huì)，所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得3×3×3×3=34=81種不同結(jié)果。

（2）競(jìng)賽項(xiàng)目可挑選學(xué)生，而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一個(gè)項(xiàng)目可挑選4位學(xué)生中的一位，要完成這件事必須是每項(xiàng)競(jìng)賽所參加的學(xué)生全部確定下來(lái)才行，因此分三步，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得4×4×4=43=64種不同結(jié)果。

【搖身一變】

保持例題條件不變，若每位學(xué)生只能參加一項(xiàng)競(jìng)賽，且每項(xiàng)競(jìng)賽只許一位學(xué)生參加，則共有多少種不同結(jié)果？

解：第一個(gè)項(xiàng)目可挑選4個(gè)學(xué)生中的一位，有4種不同的選法；第二個(gè)項(xiàng)目可從剩下的3個(gè)學(xué)生中選一位，有三種不同的選法；第三個(gè)項(xiàng)目可從剩余的2位學(xué)生中選一位，有兩種不同的選法，故共有4×3×2=24種不同結(jié)果。

【規(guī)律總結(jié)】

解答此題，每位學(xué)生選定競(jìng)賽或每項(xiàng)競(jìng)賽選定學(xué)生對(duì)完成整個(gè)事件的影響至關(guān)重要，否則容易把兩問(wèn)結(jié)果混淆，其原因是對(duì)題意理解不清，對(duì)事情完成的方式有錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。

【變式之作】

（1）8本不同的書(shū)，任選其中3本分給3個(gè)學(xué)生，每人一本，有多少種不同的分法？

（2）將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？

（3）3位旅客到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

解：（1）分三步，每位學(xué)生取書(shū)一本，第1、2、3個(gè)學(xué)生分別有8、7、6種取法，因而由分布乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=8×7×6=336（種）。

（2）完成這件事可以分作四步，第一步投第一封信，可以在3個(gè)郵筒中任選一個(gè)，因此有3種投法；第二步投第二封信，同樣有3種投法；第三步投第三封信，也同樣有3種投法；第四步投第四封信，仍然有3種投法。由分布乘法計(jì)數(shù)原理，可得出不同的投法共有N=3×3×3×3=81（種）。

（3）分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而不同的方法共有N=4×4×4=64（種）。

（作者單位 甘肅省古浪縣定寧初級(jí)中學(xué)）